Esperanza y varianza de una continua

En el caso continuo la esperanza se calcula con la misma idea que en el discreto, pero reemplazando la suma por una integral.

Se integra la variable multiplicada por su densidad, sobre todo el rango donde la densidad no es nula.

La varianza sigue el mismo esquema, y sigue valiendo la fórmula práctica: la esperanza del cuadrado menos el cuadrado de la esperanza.

Para calcular la esperanza del cuadrado se integra la variable al cuadrado multiplicada por la densidad.

Todas las propiedades que valían en el caso discreto valen igual acá: la linealidad de la esperanza y el comportamiento de la varianza frente a constantes.

Lo único que cambia es la técnica de cálculo, que ahora es integrar en vez de sumar.

Conviene chequear que el resultado tenga sentido. La esperanza tiene que caer dentro del rango de valores posibles de la variable: si la variable va de cero a diez y la esperanza da quince, hay un error en la cuenta.

E(X) = \int x f(x)

dx ·

V(X) = \int x^{2} f(x)

- \mu ^{2}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da una densidad y pide media o varianza. Integrá sobre el rango donde la densidad no es nula, y verificá que la esperanza caiga dentro de ese rango.

Ejemplo 1

Calcular la esperanza de la densidad $f(x) = 2x$ entre $0$ y $1$ .

Escribimos la integral. Hay que integrar $x \cdot 2x = 2x^{2}$ entre $0$ y $1$ .
Buscamos la primitiva. Es $2x^{3} / 3$ .
Evaluamos. $2 / 3 = 2/3 \approx 0{,}667$ .
Respuesta: $E(X) = 2/3$

Ejemplo 2

Con la misma densidad, calcular la varianza y el desvío.

Calculamos la esperanza de los cuadrados. Integramos $2x^{3}$ , cuya primitiva es $x^{4} / 2$ , y da $1/2$ .
Aplicamos la fórmula corta. $V(X) = 1/2 - (2/3)^{2} = 1/2 - 4/9$ .
Resolvemos. $9/18 - 8/18 = 1/18 \approx 0{,}0556$ y $\sigma \approx 0{,}2357$ .
Respuesta: $V(X) = 1/18$

Error típico

Integrar sobre todos los reales cuando la densidad vale cero fuera de un intervalo. No está mal, pero escribir mal los límites del tramo donde no es cero sí arruina la cuenta.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .