La geométrica

La geométrica cuenta cuántos intentos hacen falta hasta obtener el primer éxito. A diferencia de la binomial, acá la cantidad de intentos no es fija: es justamente lo que se cuenta.

Puede tomar cualquier valor entero desde uno en adelante, así que tiene infinitos valores posibles.

Su fórmula es simple: la probabilidad de fracasar en todos los intentos anteriores multiplicada por la de acertar en el último.

Su esperanza es el inverso de la probabilidad de éxito, lo que tiene mucho sentido. Si algo pasa una vez cada diez, hay que esperar diez intentos en promedio.

Tiene una propiedad curiosa que se llama falta de memoria. La probabilidad de necesitar cinco intentos más es la misma sin importar cuántos ya se hicieron sin éxito.

Eso es exactamente lo contrario de lo que sugiere la intuición del jugador, que cree que después de muchos fracasos el éxito está cerca.

Hay una generalización, la distribución de Pascal, que cuenta los intentos hasta obtener una cantidad dada de éxitos y no solo el primero.

p(x) = (1 - p)^{x-1} \cdot p

E = 1 / p

V = (1 - p) / p^{2}

Cuándo se usa

Cuando la pregunta es cuántos intentos hacen falta hasta el primer éxito. La esperanza es el inverso de la probabilidad de éxito, que sirve como chequeo rápido.

Ejemplo 1

Un tirador acierta el $35$ % de sus tiros. Calcular la probabilidad de que el primer acierto sea en el tercer tiro.

Identificamos las piezas. $p = 0{,}35$ y $x = 3$ .
Los dos primeros tienen que fallar. $0{,}65^{2} = 0{,}4225$ .
El tercero tiene que acertar. $0{,}4225 \cdot 0{,}35 \approx 0{,}1479$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}1479$

Ejemplo 2

Con el mismo tirador, calcular cuántos tiros hacen falta en promedio y la probabilidad de necesitar más de dos.

Aplicamos la fórmula de la esperanza. $E = 1 / 0{,}35 \approx 2{,}857$ tiros.
Traducimos la segunda pregunta. Necesitar más de dos significa que los dos primeros fallaron.
Calculamos. $0{,}65^{2} = 0{,}4225$ .
Respuesta: $E \approx 2{,}857$ y $P = 0{,}4225$

Error típico

Olvidar que el exponente es x menos $1 y$ no x. Con el exponente equivocado la tabla no suma uno y el primer intento queda con menos probabilidad que el segundo.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .