Ejercicios: La geométrica

1. En una serie de llamadas a clientes independientes, la probabilidad de que alguien atienda en cada intento es $0{,}5$ . Sea $X$ la cantidad de intentos hasta el primer éxito, incluido. Calculá $P(X = 3)$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuenta cuántos intentos hacen falta hasta el primer éxito. La cantidad de intentos no está fijada de antemano: es lo que se cuenta. Es una geométrica.

2. Traducimos el suceso. $X = 3$ significa fracasar en los primeros $2$ intentos y acertar en el $3$ .

3. Escribimos la fórmula. $p(x) = (1 - p)^{x-1} \cdot p$ , que es exactamente esa secuencia, usando la independencia.

4. Calculamos. $P(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$

5. Verificamos con la forma de la distribución. $P(X = 1) = 0{,}5$ es el valor más alto, y a partir de ahí siempre baja. La geométrica es decreciente: el primer intento es siempre el más probable.

Respuesta: $P(X = 3) = 0{,}125$

2. En una serie de piezas revisadas independientes, la probabilidad de encontrar una fallada en cada intento es $\dfrac{1}{8}$ . Calculá cuántos intentos se esperan hasta el primer éxito y el desvío de esa cantidad.

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1. Reconocemos el modelo. Geométrica con $p = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{8}} = 8$ intentos.

3. Interpretamos. Si la probabilidad de éxito por intento es $\dfrac{1}{8}$ , en promedio hacen falta $8$ intentos. El resultado es intuitivo: cuanto más chica la probabilidad, más intentos se esperan.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{1 - p}{p^{2}} = \dfrac{0{,}875}{0{,}0156} \approx 56$ , así que $\sigma = 7{,}4833$ .

5. Lo que dice ese desvío. Es del orden de la propia esperanza, así que la geométrica es muy dispersa: no sorprende necesitar muchos más intentos que el promedio, ni acertar en el primero.

Respuesta: $E(X) = 8$ intentos y $\sigma = 7{,}4833$

3. En una serie de tiros al blanco independientes con probabilidad $0{,}3$ de acertar en cada uno, calculá la probabilidad de que hagan falta más de $6$ intentos hasta el primer éxito.

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1. Traducimos el suceso. $X > 6$ significa que en los primeros $6$ intentos no hubo ningún éxito. Si hubiera habido alguno, la variable valdría a lo sumo ese número.

2. Calculamos directamente. $P(X > 6) = \left(\dfrac{7}{10}\right)^{6} \approx 0{,}1176$ , usando la independencia de los intentos.

3. Verificamos sumando la función de probabilidad. $P(X \leq 6) = 0{,}3 + 0{,}21 + 0{,}147 + 0{,}1029 + 0{,}072 + 0{,}0504 \approx 0{,}8824$ , y su complemento es $0{,}1176$ : coinciden.

4. Anotamos la fórmula general. $P(X > k) = (1 - p)^{k}$ . Es la forma más corta de calcular cualquier cola de una geométrica.

5. Lo que se ve en el resultado. Con $p = 0{,}3$ , la probabilidad de pasar de $6$ intentos es $0{,}1176$ . La cola cae de forma geométrica, cada vez más rápido.

Respuesta: $P(X > 6) = 0{,}1176$

4. En una serie de tiros al blanco con probabilidad $0{,}4$ de acertar en cada intento, se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de que el primer éxito ocurra justo en el intento $5$ ; (b) la probabilidad de que haya exactamente un éxito en $5$ intentos. Calculá las dos y explicá por qué dan distinto.

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1. Identificamos el modelo de cada pregunta. La primera cuenta intentos hasta el primer éxito: geométrica. La segunda cuenta éxitos en una cantidad fija de $5$ intentos: binomial.

2. Calculamos la geométrica. $P(X = 5) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} \cdot 0{,}4 \approx 0{,}0518$ . Exige fracaso en los primeros $4$ y éxito en el $5$ : una sola secuencia posible.

3. Calculamos la binomial. $P(Y = 1) = C_{5,1} \cdot 0{,}4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} = 5 \cdot 0{,}0518 \approx 0{,}2592$

4. Explicamos la diferencia. La binomial admite que el único éxito esté en cualquiera de las $5$ posiciones, y por eso su resultado es exactamente $5$ veces el de la geométrica.

5. La pregunta que separa los dos modelos. Qué es lo fijo y qué es lo que se cuenta. Si los intentos son fijos y se cuentan éxitos, binomial. Si el éxito es el que corta y se cuentan intentos, geométrica.

Respuesta: (a) $0{,}0518$ y (b) $0{,}2592$ : la binomial es $5$ veces la geométrica

5. En una serie de piezas revisadas independientes, la probabilidad de encontrar una fallada en cada intento es $0{,}2$ . Sea $X$ la cantidad de intentos hasta el primer éxito, incluido. Calculá $P(X = 5)$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuenta cuántos intentos hacen falta hasta el primer éxito. La cantidad de intentos no está fijada de antemano: es lo que se cuenta. Es una geométrica.

2. Traducimos el suceso. $X = 5$ significa fracasar en los primeros $4$ intentos y acertar en el $5$ .

3. Escribimos la fórmula. $p(x) = (1 - p)^{x-1} \cdot p$ , que es exactamente esa secuencia, usando la independencia.

4. Calculamos. $P(X = 5) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{4} \cdot 0{,}2 = 0{,}4096 \cdot 0{,}2 \approx 0{,}0819$

5. Verificamos con la forma de la distribución. $P(X = 1) = 0{,}2$ es el valor más alto, y a partir de ahí siempre baja. La geométrica es decreciente: el primer intento es siempre el más probable.

Respuesta: $P(X = 5) = 0{,}0819$

6. En una serie de intentos de conexión independientes, la probabilidad de conectarse en cada intento es $\dfrac{1}{4}$ . Calculá cuántos intentos se esperan hasta el primer éxito y el desvío de esa cantidad.

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1. Reconocemos el modelo. Geométrica con $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} = 4$ intentos.

3. Interpretamos. Si la probabilidad de éxito por intento es $\dfrac{1}{4}$ , en promedio hacen falta $4$ intentos. El resultado es intuitivo: cuanto más chica la probabilidad, más intentos se esperan.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{1 - p}{p^{2}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}0625} = 12$ , así que $\sigma = 3{,}4641$ .

5. Lo que dice ese desvío. Es del orden de la propia esperanza, así que la geométrica es muy dispersa: no sorprende necesitar muchos más intentos que el promedio, ni acertar en el primero.

Respuesta: $E(X) = 4$ intentos y $\sigma = 3{,}4641$

7. En una serie de llamadas a clientes independientes con probabilidad $0{,}3$ de que alguien atienda en cada uno, calculá la probabilidad de que hagan falta más de $6$ intentos hasta el primer éxito.

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1. Traducimos el suceso. $X > 6$ significa que en los primeros $6$ intentos no hubo ningún éxito. Si hubiera habido alguno, la variable valdría a lo sumo ese número.

2. Calculamos directamente. $P(X > 6) = \left(\dfrac{7}{10}\right)^{6} \approx 0{,}1176$ , usando la independencia de los intentos.

3. Verificamos sumando la función de probabilidad. $P(X \leq 6) = 0{,}3 + 0{,}21 + 0{,}147 + 0{,}1029 + 0{,}072 + 0{,}0504 \approx 0{,}8824$ , y su complemento es $0{,}1176$ : coinciden.

4. Anotamos la fórmula general. $P(X > k) = (1 - p)^{k}$ . Es la forma más corta de calcular cualquier cola de una geométrica.

5. Lo que se ve en el resultado. Con $p = 0{,}3$ , la probabilidad de pasar de $6$ intentos es $0{,}1176$ . La cola cae de forma geométrica, cada vez más rápido.

Respuesta: $P(X > 6) = 0{,}1176$

8. En una serie de intentos de conexión con probabilidad $0{,}3$ de conectarse en cada intento, se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de que el primer éxito ocurra justo en el intento $4$ ; (b) la probabilidad de que haya exactamente un éxito en $4$ intentos. Calculá las dos y explicá por qué dan distinto.

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1. Identificamos el modelo de cada pregunta. La primera cuenta intentos hasta el primer éxito: geométrica. La segunda cuenta éxitos en una cantidad fija de $4$ intentos: binomial.

2. Calculamos la geométrica. $P(X = 4) = \left(\dfrac{7}{10}\right)^{3} \cdot 0{,}3 = 0{,}1029$ . Exige fracaso en los primeros $3$ y éxito en el $4$ : una sola secuencia posible.

3. Calculamos la binomial. $P(Y = 1) = C_{4,1} \cdot 0{,}3 \cdot \left(\dfrac{7}{10}\right)^{3} = 4 \cdot 0{,}1029 = 0{,}4116$

4. Explicamos la diferencia. La binomial admite que el único éxito esté en cualquiera de las $4$ posiciones, y por eso su resultado es exactamente $4$ veces el de la geométrica.

5. La pregunta que separa los dos modelos. Qué es lo fijo y qué es lo que se cuenta. Si los intentos son fijos y se cuentan éxitos, binomial. Si el éxito es el que corta y se cuentan intentos, geométrica.

Respuesta: (a) $0{,}1029$ y (b) $0{,}4116$ : la binomial es $4$ veces la geométrica

9. En una serie de tiros al blanco independientes, la probabilidad de acertar en cada intento es $0{,}4$ . Sea $X$ la cantidad de intentos hasta el primer éxito, incluido. Calculá $P(X = 5)$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuenta cuántos intentos hacen falta hasta el primer éxito. La cantidad de intentos no está fijada de antemano: es lo que se cuenta. Es una geométrica.

2. Traducimos el suceso. $X = 5$ significa fracasar en los primeros $4$ intentos y acertar en el $5$ .

3. Escribimos la fórmula. $p(x) = (1 - p)^{x-1} \cdot p$ , que es exactamente esa secuencia, usando la independencia.

4. Calculamos. $P(X = 5) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} \cdot 0{,}4 = 0{,}1296 \cdot 0{,}4 \approx 0{,}0518$

5. Verificamos con la forma de la distribución. $P(X = 1) = 0{,}4$ es el valor más alto, y a partir de ahí siempre baja. La geométrica es decreciente: el primer intento es siempre el más probable.

Respuesta: $P(X = 5) = 0{,}0518$

10. En una serie de llamadas a clientes independientes, la probabilidad de que alguien atienda en cada intento es $\dfrac{1}{12}$ . Calculá cuántos intentos se esperan hasta el primer éxito y el desvío de esa cantidad.

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1. Reconocemos el modelo. Geométrica con $p = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}0833$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{12}} = 12$ intentos.

3. Interpretamos. Si la probabilidad de éxito por intento es $\dfrac{1}{12}$ , en promedio hacen falta $12$ intentos. El resultado es intuitivo: cuanto más chica la probabilidad, más intentos se esperan.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{1 - p}{p^{2}} = \dfrac{0{,}9167}{0{,}0069} \approx 132$ , así que $\sigma = 11{,}4891$ .

5. Lo que dice ese desvío. Es del orden de la propia esperanza, así que la geométrica es muy dispersa: no sorprende necesitar muchos más intentos que el promedio, ni acertar en el primero.

Respuesta: $E(X) = 12$ intentos y $\sigma = 11{,}4891$

11. En una serie de intentos de conexión independientes con probabilidad $0{,}5$ de conectarse en cada uno, calculá la probabilidad de que hagan falta más de $4$ intentos hasta el primer éxito.

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1. Traducimos el suceso. $X > 4$ significa que en los primeros $4$ intentos no hubo ningún éxito. Si hubiera habido alguno, la variable valdría a lo sumo ese número.

2. Calculamos directamente. $P(X > 4) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = 0{,}0625$ , usando la independencia de los intentos.

3. Verificamos sumando la función de probabilidad. $P(X \leq 4) = 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + 0{,}0625 = 0{,}9375$ , y su complemento es $0{,}0625$ : coinciden.

4. Anotamos la fórmula general. $P(X > k) = (1 - p)^{k}$ . Es la forma más corta de calcular cualquier cola de una geométrica.

5. Lo que se ve en el resultado. Con $p = 0{,}5$ , la probabilidad de pasar de $4$ intentos es $0{,}0625$ . La cola cae de forma geométrica, cada vez más rápido.

Respuesta: $P(X > 4) = 0{,}0625$

12. En una serie de llamadas a clientes con probabilidad $0{,}3$ de que alguien atienda en cada intento, se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de que el primer éxito ocurra justo en el intento $7$ ; (b) la probabilidad de que haya exactamente un éxito en $7$ intentos. Calculá las dos y explicá por qué dan distinto.

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1. Identificamos el modelo de cada pregunta. La primera cuenta intentos hasta el primer éxito: geométrica. La segunda cuenta éxitos en una cantidad fija de $7$ intentos: binomial.

2. Calculamos la geométrica. $P(X = 7) = \left(\dfrac{7}{10}\right)^{6} \cdot 0{,}3 \approx 0{,}0353$ . Exige fracaso en los primeros $6$ y éxito en el $7$ : una sola secuencia posible.

3. Calculamos la binomial. $P(Y = 1) = C_{7,1} \cdot 0{,}3 \cdot \left(\dfrac{7}{10}\right)^{6} = 7 \cdot 0{,}0353 = 0{,}2471$

4. Explicamos la diferencia. La binomial admite que el único éxito esté en cualquiera de las $7$ posiciones, y por eso su resultado es exactamente $7$ veces el de la geométrica.

5. La pregunta que separa los dos modelos. Qué es lo fijo y qué es lo que se cuenta. Si los intentos son fijos y se cuentan éxitos, binomial. Si el éxito es el que corta y se cuentan intentos, geométrica.

Respuesta: (a) $0{,}0353$ y (b) $0{,}2471$ : la binomial es $7$ veces la geométrica