Ejercicios: La Poisson

1. La cantidad de fallas en un cable sigue una distribución de Poisson con un promedio de $5$ fallas por metro. Calculá la probabilidad de que en un metro lleguen exactamente $1$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin una cantidad de intentos definida. Es una Poisson con parámetro $\lambda = 5$ .

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{x}}{x!}$

3. Reemplazamos. $P(X = 1) = \dfrac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1!} = \dfrac{0{,}0067 \cdot 5}{1}$

4. Calculamos. $P(X = 1) = 0{,}0337$

5. Verificamos que el parámetro esté en las unidades correctas. El promedio es por metro y la pregunta es por un metro, así que $\lambda$ se usa tal cual. Si el intervalo de la pregunta fuera otro, habría que reescalarlo antes de calcular.

Respuesta: $P(X = 1) = 0{,}0337$

2. La cantidad de mails que llegan a una casilla sigue una Poisson con un promedio de $3$ mails por hora. Calculá la probabilidad de que en un cuarto de hora lleguen exactamente $1$ .

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1. Detectamos el cambio de intervalo. El promedio está dado por hora y la pregunta es sobre un cuarto de hora. El parámetro tiene que ir en las unidades del intervalo de la pregunta.

2. Reescalamos el parámetro. $\lambda = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ mails en ese intervalo.

3. Aplicamos la fórmula. $P(X = 1) = \dfrac{e^{-0{,}75} \cdot 0{,}75^{1}}{1!} = 0{,}3543$

4. Comparamos con no reescalar. Usando $\lambda = 3$ el resultado habría sido $0{,}1494$ , muy distinto. Es el error más común del tema.

5. Por qué el reescalado es proporcional. La Poisson supone que los eventos ocurren a tasa constante, así que en la mitad del intervalo se espera la mitad de los eventos.

Respuesta: $P(X = 1) = 0{,}3543$ con $\lambda = 0{,}75$

3. La cantidad de fallas en un cable sigue una Poisson con promedio $3$ por metro. Calculá la probabilidad de que en un metro haya al menos una, y la de que haya al menos dos.

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1. Planteamos la primera por complemento. $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , porque «al menos una» y «ninguna» son complementarios.

2. Calculamos $P(X = 0)$ . $\dfrac{e^{-3} \cdot 3^{0}}{0!} = e^{-3} = 0{,}0498$

3. Restamos. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}0498 = 0{,}9502$

4. Planteamos la segunda. $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ . Falta un término más, porque ahora quedan dos casos afuera.

5. Calculamos. $P(X = 1) = 0{,}1494$ , así que $P(X \geq 2) = 1 - 0{,}0498 - 0{,}1494 \approx 0{,}8009$ .

6. Por qué siempre conviene el complemento. La Poisson tiene infinitos valores posibles, así que sumar desde el valor pedido hacia arriba no termina nunca. El complemento es siempre una cantidad finita de términos.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}9502$ y $P(X \geq 2) = 0{,}8009$

4. La cantidad de fallas en un cable se modela con una Poisson de parámetro $\lambda = 3$ por metro. Dá la esperanza y la varianza del modelo, y decidí si un registro con media $3$ y varianza $5$ es compatible con el modelo.

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1. Escribimos los momentos de la Poisson. $E(X) = \lambda = 3$ y $V(X) = \lambda = 3$ . La esperanza y la varianza coinciden, y esa es una particularidad de esta distribución.

2. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{3} \approx 1{,}7321$ fallas por metro.

3. Comparamos con los datos observados. La media observada es $3$ , que coincide. Pero la varianza observada es $5$ , o sea $1{,}67$ veces la media.

4. Concluimos. Los datos están sobredispersos respecto de una Poisson: varían más de lo que el modelo permite. La media sola no alcanza para validar el modelo.

5. Qué puede estar pasando. Que la tasa no sea constante a lo largo del tiempo, o que los eventos vengan agrupados en lugar de ocurrir de forma independiente. Las dos cosas rompen los supuestos de la Poisson.

Respuesta: $E(X) = V(X) = 3$ y $\sigma = 1{,}7321$ ; una varianza de $5$ no es compatible con el modelo

5. La cantidad de clientes que entran a un local sigue una distribución de Poisson con un promedio de $4$ clientes por hora. Calculá la probabilidad de que en un hora lleguen exactamente $2$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin una cantidad de intentos definida. Es una Poisson con parámetro $\lambda = 4$ .

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{x}}{x!}$

3. Reemplazamos. $P(X = 2) = \dfrac{e^{-4} \cdot 4^{2}}{2!} = \dfrac{0{,}0183 \cdot 16}{2}$

4. Calculamos. $P(X = 2) = 0{,}1465$

5. Verificamos que el parámetro esté en las unidades correctas. El promedio es por hora y la pregunta es por un hora, así que $\lambda$ se usa tal cual. Si el intervalo de la pregunta fuera otro, habría que reescalarlo antes de calcular.

Respuesta: $P(X = 2) = 0{,}1465$

6. La cantidad de fallas en un cable sigue una Poisson con un promedio de $7$ fallas por metro. Calculá la probabilidad de que en un cuarto de metro lleguen exactamente $1$ .

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1. Detectamos el cambio de intervalo. El promedio está dado por metro y la pregunta es sobre un cuarto de metro. El parámetro tiene que ir en las unidades del intervalo de la pregunta.

2. Reescalamos el parámetro. $\lambda = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ fallas en ese intervalo.

3. Aplicamos la fórmula. $P(X = 1) = \dfrac{e^{-1{,}75} \cdot 1{,}75^{1}}{1!} = 0{,}3041$

4. Comparamos con no reescalar. Usando $\lambda = 7$ el resultado habría sido $0{,}0064$ , muy distinto. Es el error más común del tema.

5. Por qué el reescalado es proporcional. La Poisson supone que los eventos ocurren a tasa constante, así que en la mitad del intervalo se espera la mitad de los eventos.

Respuesta: $P(X = 1) = 0{,}3041$ con $\lambda = 1{,}75$

7. La cantidad de mails que llegan a una casilla sigue una Poisson con promedio $3$ por hora. Calculá la probabilidad de que en un hora haya al menos una, y la de que haya al menos dos.

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1. Planteamos la primera por complemento. $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , porque «al menos una» y «ninguna» son complementarios.

2. Calculamos $P(X = 0)$ . $\dfrac{e^{-3} \cdot 3^{0}}{0!} = e^{-3} = 0{,}0498$

3. Restamos. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}0498 = 0{,}9502$

4. Planteamos la segunda. $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ . Falta un término más, porque ahora quedan dos casos afuera.

5. Calculamos. $P(X = 1) = 0{,}1494$ , así que $P(X \geq 2) = 1 - 0{,}0498 - 0{,}1494 \approx 0{,}8009$ .

6. Por qué siempre conviene el complemento. La Poisson tiene infinitos valores posibles, así que sumar desde el valor pedido hacia arriba no termina nunca. El complemento es siempre una cantidad finita de términos.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}9502$ y $P(X \geq 2) = 0{,}8009$

8. La cantidad de llamadas que recibe una central se modela con una Poisson de parámetro $\lambda = 7$ por hora. Dá la esperanza y la varianza del modelo, y decidí si un registro con media $7$ y varianza $11$ es compatible con el modelo.

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1. Escribimos los momentos de la Poisson. $E(X) = \lambda = 7$ y $V(X) = \lambda = 7$ . La esperanza y la varianza coinciden, y esa es una particularidad de esta distribución.

2. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{7} \approx 2{,}6458$ llamadas por hora.

3. Comparamos con los datos observados. La media observada es $7$ , que coincide. Pero la varianza observada es $11$ , o sea $1{,}57$ veces la media.

4. Concluimos. Los datos están sobredispersos respecto de una Poisson: varían más de lo que el modelo permite. La media sola no alcanza para validar el modelo.

5. Qué puede estar pasando. Que la tasa no sea constante a lo largo del tiempo, o que los eventos vengan agrupados en lugar de ocurrir de forma independiente. Las dos cosas rompen los supuestos de la Poisson.

Respuesta: $E(X) = V(X) = 7$ y $\sigma = 2{,}6458$ ; una varianza de $11$ no es compatible con el modelo

9. La cantidad de mails que llegan a una casilla sigue una distribución de Poisson con un promedio de $7$ mails por hora. Calculá la probabilidad de que en un hora lleguen exactamente $3$ .

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1. Reconocemos el modelo. Se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin una cantidad de intentos definida. Es una Poisson con parámetro $\lambda = 7$ .

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{x}}{x!}$

3. Reemplazamos. $P(X = 3) = \dfrac{e^{-7} \cdot 7^{3}}{3!} = \dfrac{0{,}0009 \cdot 343}{6}$

4. Calculamos. $P(X = 3) = 0{,}0521$

5. Verificamos que el parámetro esté en las unidades correctas. El promedio es por hora y la pregunta es por un hora, así que $\lambda$ se usa tal cual. Si el intervalo de la pregunta fuera otro, habría que reescalarlo antes de calcular.

Respuesta: $P(X = 3) = 0{,}0521$

10. La cantidad de clientes que entran a un local sigue una Poisson con un promedio de $11$ clientes por hora. Calculá la probabilidad de que en un cuarto de hora lleguen exactamente $2$ .

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1. Detectamos el cambio de intervalo. El promedio está dado por hora y la pregunta es sobre un cuarto de hora. El parámetro tiene que ir en las unidades del intervalo de la pregunta.

2. Reescalamos el parámetro. $\lambda = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$ clientes en ese intervalo.

3. Aplicamos la fórmula. $P(X = 2) = \dfrac{e^{-2{,}75} \cdot 2{,}75^{2}}{2!} = 0{,}2417$

4. Comparamos con no reescalar. Usando $\lambda = 11$ el resultado habría sido $0{,}001$ , muy distinto. Es el error más común del tema.

5. Por qué el reescalado es proporcional. La Poisson supone que los eventos ocurren a tasa constante, así que en la mitad del intervalo se espera la mitad de los eventos.

Respuesta: $P(X = 2) = 0{,}2417$ con $\lambda = 2{,}75$

11. La cantidad de clientes que entran a un local sigue una Poisson con promedio $3$ por hora. Calculá la probabilidad de que en un hora haya al menos una, y la de que haya al menos dos.

Ver solución

1. Planteamos la primera por complemento. $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , porque «al menos una» y «ninguna» son complementarios.

2. Calculamos $P(X = 0)$ . $\dfrac{e^{-3} \cdot 3^{0}}{0!} = e^{-3} = 0{,}0498$

3. Restamos. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}0498 = 0{,}9502$

4. Planteamos la segunda. $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ . Falta un término más, porque ahora quedan dos casos afuera.

5. Calculamos. $P(X = 1) = 0{,}1494$ , así que $P(X \geq 2) = 1 - 0{,}0498 - 0{,}1494 \approx 0{,}8009$ .

6. Por qué siempre conviene el complemento. La Poisson tiene infinitos valores posibles, así que sumar desde el valor pedido hacia arriba no termina nunca. El complemento es siempre una cantidad finita de términos.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}9502$ y $P(X \geq 2) = 0{,}8009$

12. La cantidad de mails que llegan a una casilla se modela con una Poisson de parámetro $\lambda = 8$ por hora. Dá la esperanza y la varianza del modelo, y decidí si un registro con media $8$ y varianza $12$ es compatible con el modelo.

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1. Escribimos los momentos de la Poisson. $E(X) = \lambda = 8$ y $V(X) = \lambda = 8$ . La esperanza y la varianza coinciden, y esa es una particularidad de esta distribución.

2. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}8284$ mails por hora.

3. Comparamos con los datos observados. La media observada es $8$ , que coincide. Pero la varianza observada es $12$ , o sea $1{,}5$ veces la media.

4. Concluimos. Los datos están sobredispersos respecto de una Poisson: varían más de lo que el modelo permite. La media sola no alcanza para validar el modelo.

5. Qué puede estar pasando. Que la tasa no sea constante a lo largo del tiempo, o que los eventos vengan agrupados en lugar de ocurrir de forma independiente. Las dos cosas rompen los supuestos de la Poisson.

Respuesta: $E(X) = V(X) = 8$ y $\sigma = 2{,}8284$ ; una varianza de $12$ no es compatible con el modelo