Ejercicios: Cuál modelo corresponde

1. Para cada situación, decidí qué modelo corresponde entre binomial, hipergeométrica, geométrica y Poisson: (1) De un lote de $30$ piezas con $6$ falladas se extraen $5$ sin reposición y se cuentan las falladas. (2) Se llama a clientes hasta que uno atiende y se cuenta cuántas llamadas hicieron falta. (3) Se cuentan los mensajes que llegan a un servidor en cinco minutos. (4) Se revisan $50$ productos de una producción enorme y se cuentan los defectuosos.

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1. Ordenamos las preguntas que deciden. Primero: qué se cuenta. Éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo. Segundo, si se cuentan éxitos: si hay reposición o el conjunto es enorme va binomial, y si es sin reposición de un conjunto finito va hipergeométrica.

2. Analizamos la (1). Corresponde una hipergeométrica, porque se cuentan elementos de un tipo extraídos sin reposición de un conjunto finito, así que la probabilidad cambia en cada extracción.

3. Analizamos la (2). Corresponde una geométrica, porque se cuentan intentos hasta el primer éxito, y la cantidad de intentos no está fijada.

4. Analizamos la (3). Corresponde una Poisson, porque se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin cantidad de intentos definida.

5. Analizamos la (4). Corresponde una binomial, porque la población es tan grande que sacar $50$ no cambia las proporciones, así que la probabilidad se puede tomar constante.

6. Por qué este paso importa tanto. Ninguna de las cuatro fórmulas avisa cuando se aplica mal: todas devuelven un número plausible. El control tiene que hacerse antes de calcular.

Respuesta: (1) hipergeométrica; (2) geométrica; (3) Poisson; (4) binomial

2. De una población de $40$ elementos, $10$ son de cierto tipo. Se extraen $6$ sin reposición. Decidí si conviene modelar la cantidad de elementos de ese tipo con una binomial o con una hipergeométrica.

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1. Vemos qué modelo es exacto. Como la extracción es sin reposición de un conjunto finito, el modelo exacto es siempre la hipergeométrica: cada extracción cambia la composición de lo que queda.

2. Vemos cuándo se puede simplificar. Si la muestra es chica frente a la población, sacar unos pocos casi no mueve las proporciones y las extracciones se parecen a ser independientes.

3. Calculamos la fracción de muestreo. $\dfrac{n}{N} = \dfrac{6}{40} = 0{,}15$ , o sea el $15\%$ de la población.

4. Aplicamos la regla práctica. La regla habitual acepta la binomial si la muestra no llega al $5\%$ . Acá $15\%$ supera el $5\%$ .

5. Decidimos. Corresponde usar la hipergeométrica.

6. El costo de equivocarse. Usar la binomial cuando la muestra es grande frente a la población sobreestima la varianza, porque ignora el efecto de agotamiento.

Respuesta: Corresponde la hipergeométrica: la muestra es el $15\%$ de la población

3. En una serie de intentos independientes con probabilidad de éxito $0{,}2$ se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de tener exactamente $2$ éxitos en $5$ intentos; (b) la probabilidad de que el primer éxito llegue recién en el intento $5$ . Identificá el modelo de cada una y calculalas.

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1. Analizamos la primera. La cantidad de intentos está fija en $5$ y se cuentan éxitos. Es una binomial.

2. Calculamos la primera. $P(X = 2) = C_{5,2} \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2} \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{3} = 0{,}2048$

3. Analizamos la segunda. Acá lo que se cuenta son intentos hasta el primer éxito, y esa cantidad no está fijada de antemano. Es una geométrica.

4. Calculamos la segunda. $P(Y = 5) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{4} \cdot 0{,}2 \approx 0{,}0819$

5. Comparamos. $0{,}2048$ contra $0{,}0819$ : son preguntas distintas sobre el mismo experimento, y la diferencia está en qué es fijo y qué se cuenta.

6. La señal en el enunciado. «En $n$ intentos» apunta a binomial. «Hasta que» o «recién en el intento» apunta a geométrica.

Respuesta: (a) binomial, $0{,}2048$ . (b) geométrica, $0{,}0819$

4. Se revisan $12$ productos de una producción muy grande, en la que una fracción $0{,}4$ sale fallada. Elegí el modelo adecuado y calculá la probabilidad de encontrar exactamente $3$ fallados.

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1. Identificamos qué se cuenta. Antes de tocar ninguna fórmula hay que decidir si se cuentan éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo.

2. Elegimos el modelo. Corresponde una binomial, porque la cantidad de intentos está fija en $12$ , son independientes y la probabilidad es constante.

3. Escribimos la fórmula del modelo elegido. $p(x) = C_{n,x} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n-x}$

4. Reemplazamos y calculamos. $C_{12,3} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{9} = 0{,}1419$

5. El control final. El resultado $0{,}1419$ queda entre $0$ y $1$ . Ese chequeo no detecta un modelo mal elegido, y por eso la elección tiene que justificarse antes.

Respuesta: Corresponde una binomial y la probabilidad es $0{,}1419$

5. Para cada situación, decidí qué modelo corresponde entre binomial, hipergeométrica, geométrica y Poisson: (1) De un lote de $30$ piezas con $6$ falladas se extraen $5$ sin reposición y se cuentan las falladas. (2) Se tiran $20$ dados y se cuenta cuántos salen as. (3) Se revisan $50$ productos de una producción enorme y se cuentan los defectuosos. (4) Se cuentan los mensajes que llegan a un servidor en cinco minutos.

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1. Ordenamos las preguntas que deciden. Primero: qué se cuenta. Éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo. Segundo, si se cuentan éxitos: si hay reposición o el conjunto es enorme va binomial, y si es sin reposición de un conjunto finito va hipergeométrica.

2. Analizamos la (1). Corresponde una hipergeométrica, porque se cuentan elementos de un tipo extraídos sin reposición de un conjunto finito, así que la probabilidad cambia en cada extracción.

3. Analizamos la (2). Corresponde una binomial, porque se cuentan éxitos en una cantidad fija de intentos independientes, con probabilidad constante.

4. Analizamos la (3). Corresponde una binomial, porque la población es tan grande que sacar $50$ no cambia las proporciones, así que la probabilidad se puede tomar constante.

5. Analizamos la (4). Corresponde una Poisson, porque se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin cantidad de intentos definida.

6. Por qué este paso importa tanto. Ninguna de las cuatro fórmulas avisa cuando se aplica mal: todas devuelven un número plausible. El control tiene que hacerse antes de calcular.

Respuesta: (1) hipergeométrica; (2) binomial; (3) binomial; (4) Poisson

6. De una población de $60$ elementos, $17$ son de cierto tipo. Se extraen $10$ sin reposición. Decidí si conviene modelar la cantidad de elementos de ese tipo con una binomial o con una hipergeométrica.

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1. Vemos qué modelo es exacto. Como la extracción es sin reposición de un conjunto finito, el modelo exacto es siempre la hipergeométrica: cada extracción cambia la composición de lo que queda.

2. Vemos cuándo se puede simplificar. Si la muestra es chica frente a la población, sacar unos pocos casi no mueve las proporciones y las extracciones se parecen a ser independientes.

3. Calculamos la fracción de muestreo. $\dfrac{n}{N} = \dfrac{10}{60} \approx 0{,}1667$ , o sea el $16{,}67\%$ de la población.

4. Aplicamos la regla práctica. La regla habitual acepta la binomial si la muestra no llega al $5\%$ . Acá $16{,}67\%$ supera el $5\%$ .

5. Decidimos. Corresponde usar la hipergeométrica.

6. El costo de equivocarse. Usar la binomial cuando la muestra es grande frente a la población sobreestima la varianza, porque ignora el efecto de agotamiento.

Respuesta: Corresponde la hipergeométrica: la muestra es el $16{,}67\%$ de la población

7. En una serie de intentos independientes con probabilidad de éxito $0{,}2$ se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de tener exactamente $3$ éxitos en $5$ intentos; (b) la probabilidad de que el primer éxito llegue recién en el intento $5$ . Identificá el modelo de cada una y calculalas.

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1. Analizamos la primera. La cantidad de intentos está fija en $5$ y se cuentan éxitos. Es una binomial.

2. Calculamos la primera. $P(X = 3) = C_{5,3} \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{2} = 0{,}0512$

3. Analizamos la segunda. Acá lo que se cuenta son intentos hasta el primer éxito, y esa cantidad no está fijada de antemano. Es una geométrica.

4. Calculamos la segunda. $P(Y = 5) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{4} \cdot 0{,}2 \approx 0{,}0819$

5. Comparamos. $0{,}0512$ contra $0{,}0819$ : son preguntas distintas sobre el mismo experimento, y la diferencia está en qué es fijo y qué se cuenta.

6. La señal en el enunciado. «En $n$ intentos» apunta a binomial. «Hasta que» o «recién en el intento» apunta a geométrica.

Respuesta: (a) binomial, $0{,}0512$ . (b) geométrica, $0{,}0819$

8. De un grupo de $24$ postulantes, $8$ tienen experiencia previa. Se eligen $4$ al azar sin reposición. Elegí el modelo adecuado y calculá la probabilidad de que exactamente $1$ tengan experiencia.

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1. Identificamos qué se cuenta. Antes de tocar ninguna fórmula hay que decidir si se cuentan éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo.

2. Elegimos el modelo. Corresponde una hipergeométrica, porque la extracción es sin reposición de un conjunto finito de $24$ , así que la probabilidad cambia en cada paso.

3. Escribimos la fórmula del modelo elegido. $p(x) = \dfrac{C_{K,x} \cdot C_{N-K,\,n-x}}{C_{N,n}}$

4. Reemplazamos y calculamos. $\dfrac{C_{8,1} \cdot C_{16,3}}{C_{24,4}} = 0{,}4216$

5. El control final. El resultado $0{,}4216$ queda entre $0$ y $1$ . Ese chequeo no detecta un modelo mal elegido, y por eso la elección tiene que justificarse antes.

Respuesta: Corresponde una hipergeométrica y la probabilidad es $0{,}4216$

9. Para cada situación, decidí qué modelo corresponde entre binomial, hipergeométrica, geométrica y Poisson: (1) De un lote de $30$ piezas con $6$ falladas se extraen $5$ sin reposición y se cuentan las falladas. (2) Se llama a clientes hasta que uno atiende y se cuenta cuántas llamadas hicieron falta. (3) Se cuentan los mensajes que llegan a un servidor en cinco minutos. (4) Se tiran $20$ dados y se cuenta cuántos salen as.

Ver solución

1. Ordenamos las preguntas que deciden. Primero: qué se cuenta. Éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo. Segundo, si se cuentan éxitos: si hay reposición o el conjunto es enorme va binomial, y si es sin reposición de un conjunto finito va hipergeométrica.

2. Analizamos la (1). Corresponde una hipergeométrica, porque se cuentan elementos de un tipo extraídos sin reposición de un conjunto finito, así que la probabilidad cambia en cada extracción.

3. Analizamos la (2). Corresponde una geométrica, porque se cuentan intentos hasta el primer éxito, y la cantidad de intentos no está fijada.

4. Analizamos la (3). Corresponde una Poisson, porque se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin cantidad de intentos definida.

5. Analizamos la (4). Corresponde una binomial, porque se cuentan éxitos en una cantidad fija de intentos independientes, con probabilidad constante.

6. Por qué este paso importa tanto. Ninguna de las cuatro fórmulas avisa cuando se aplica mal: todas devuelven un número plausible. El control tiene que hacerse antes de calcular.

Respuesta: (1) hipergeométrica; (2) geométrica; (3) Poisson; (4) binomial

10. De una población de $40$ elementos, $7$ son de cierto tipo. Se extraen $7$ sin reposición. Decidí si conviene modelar la cantidad de elementos de ese tipo con una binomial o con una hipergeométrica.

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1. Vemos qué modelo es exacto. Como la extracción es sin reposición de un conjunto finito, el modelo exacto es siempre la hipergeométrica: cada extracción cambia la composición de lo que queda.

2. Vemos cuándo se puede simplificar. Si la muestra es chica frente a la población, sacar unos pocos casi no mueve las proporciones y las extracciones se parecen a ser independientes.

3. Calculamos la fracción de muestreo. $\dfrac{n}{N} = \dfrac{7}{40} = 0{,}175$ , o sea el $17{,}5\%$ de la población.

4. Aplicamos la regla práctica. La regla habitual acepta la binomial si la muestra no llega al $5\%$ . Acá $17{,}5\%$ supera el $5\%$ .

5. Decidimos. Corresponde usar la hipergeométrica.

6. El costo de equivocarse. Usar la binomial cuando la muestra es grande frente a la población sobreestima la varianza, porque ignora el efecto de agotamiento.

Respuesta: Corresponde la hipergeométrica: la muestra es el $17{,}5\%$ de la población

11. En una serie de intentos independientes con probabilidad de éxito $0{,}2$ se plantean dos preguntas: (a) la probabilidad de tener exactamente $2$ éxitos en $7$ intentos; (b) la probabilidad de que el primer éxito llegue recién en el intento $7$ . Identificá el modelo de cada una y calculalas.

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1. Analizamos la primera. La cantidad de intentos está fija en $7$ y se cuentan éxitos. Es una binomial.

2. Calculamos la primera. $P(X = 2) = C_{7,2} \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2} \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{5} = 0{,}2753$

3. Analizamos la segunda. Acá lo que se cuenta son intentos hasta el primer éxito, y esa cantidad no está fijada de antemano. Es una geométrica.

4. Calculamos la segunda. $P(Y = 7) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{6} \cdot 0{,}2 \approx 0{,}0524$

5. Comparamos. $0{,}2753$ contra $0{,}0524$ : son preguntas distintas sobre el mismo experimento, y la diferencia está en qué es fijo y qué se cuenta.

6. La señal en el enunciado. «En $n$ intentos» apunta a binomial. «Hasta que» o «recién en el intento» apunta a geométrica.

Respuesta: (a) binomial, $0{,}2753$ . (b) geométrica, $0{,}0524$

12. A una central llegan en promedio $3$ pedidos por hora. Elegí el modelo adecuado y calculá la probabilidad de que en una hora lleguen exactamente $1$ .

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1. Identificamos qué se cuenta. Antes de tocar ninguna fórmula hay que decidir si se cuentan éxitos en intentos fijos, intentos hasta el primer éxito, o eventos en un intervalo.

2. Elegimos el modelo. Corresponde una Poisson, porque se cuentan ocurrencias en un intervalo fijo, sin una cantidad de intentos definida.

3. Escribimos la fórmula del modelo elegido. $p(x) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{x}}{x!}$

4. Reemplazamos y calculamos. $\dfrac{e^{-3} \cdot 3^{1}}{1!} = 0{,}1494$

5. El control final. El resultado $0{,}1494$ queda entre $0$ y $1$ . Ese chequeo no detecta un modelo mal elegido, y por eso la elección tiene que justificarse antes.

Respuesta: Corresponde una Poisson y la probabilidad es $0{,}1494$