Ejercicios: De lo discreto a lo continuo: la densidad

1. Una variable continua modela el tiempo de atención, en horas y su densidad es $f(x) = k$ en el intervalo $[0; 5]$ , y vale $0$ fuera. Hallá el valor de $k$ .

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1. Escribimos la condición que define a una densidad. El área total bajo $f$ tiene que valer $1$ : $\int f(x) \, dx = 1$ sobre todo el rango.

2. Planteamos la integral. $\displaystyle\int_{0}^{5} k \, dx = k \cdot \left[x\right]_{0}^{5} = k \cdot 5$

3. Igualamos a uno y despejamos. $k \cdot 5 = 1$ , así que $k = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .

4. Verificamos que la densidad sea no negativa. $k > 0$ y $x \geq 0$ en el intervalo, así que $f(x) \geq 0$ en todo el rango. Las dos condiciones de una densidad son esa y que el área valga uno.

5. Un detalle que confunde. $f$ puede tomar valores mayores que $1$ : acá el máximo es $f(5) = 0{,}2$ . La densidad no es una probabilidad; lo que nunca pasa de uno es el área bajo ella.

Respuesta: $k = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$

2. Una variable continua que modela la proporción de un tanque que se usa por día tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{4}$ en $[0; 4]$ y $0$ fuera. Calculá $P(0 \leq X \leq 1)$ .

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1. Recordamos qué es una probabilidad en el caso continuo. Es el área bajo la densidad en ese intervalo, o sea la integral de $f$ entre los dos extremos.

2. Planteamos la integral. $P(0 \leq X \leq 1) = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{4} \, dx$

3. Calculamos la primitiva. Una primitiva de $f$ es $\dfrac{x}{4}$ .

4. Evaluamos entre los límites. $\left[\dfrac{x}{4}\right]_{0}^{1} = 0{,}25 - 0 = 0{,}25$

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Y el área total del intervalo $[0; 4]$ vale $1$ , así que cualquier subintervalo tiene que dar menos.

6. El detalle que separa lo discreto de lo continuo. $P(0 \leq X \leq 1)$ y $P(0 < X < 1)$ valen lo mismo, porque los extremos aportan área cero.

Respuesta: $P(0 \leq X \leq 1) = 0{,}25$

3. Una variable continua se reparte de forma uniforme en el intervalo $[0; \dfrac{2}{5}]$ , así que su densidad es constante. Calculá el valor de esa constante, la probabilidad de que $X$ valga exactamente $\dfrac{1}{5}$ , y explicá los dos resultados.

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1. Calculamos la altura de la densidad. El área tiene que valer $1$ y la base mide $\dfrac{2}{5}$ , así que la altura es $f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{2}{5}} = 2{,}5$ .

2. Observamos el valor obtenido. $2{,}5 > 1$ . Una densidad puede superar a uno sin ningún problema: no es una probabilidad, es una probabilidad por unidad de longitud.

3. Calculamos la probabilidad de un valor exacto. $P(X = \dfrac{1}{5}) = \displaystyle\int_{\dfrac{1}{5}}^{\dfrac{1}{5}} f(x) \, dx = 0$ : un intervalo de ancho cero encierra área cero.

4. Interpretamos ese cero. No significa que sea imposible obtener $\dfrac{1}{5}$ . Significa que hay infinitos valores posibles y a cada uno le tocaría una porción nula del total.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Con variables continuas solo tienen sentido las probabilidades de intervalos. Por ejemplo $P(\dfrac{1}{5} \leq X \leq \dfrac{2}{5}) = 0{,}5$ , que sí es distinto de cero.

Respuesta: La densidad vale $2{,}5$ , que es mayor que $1$ , y $P(X = \dfrac{1}{5}) = 0$

4. Decidí si $f(x) = \dfrac{x}{8} \ \text{en} \ [0; 4]$ y $0$ fuera del intervalo es una función de densidad válida.

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1. Escribimos las dos condiciones. Una densidad tiene que cumplir $f(x) \geq 0$ para todo $x$ , y que el área total bajo la curva valga $1$ .

2. Revisamos el signo. Hay que mirar si la función se hace negativa en algún punto del intervalo donde está definida.

3. Calculamos el área. La integral sobre el intervalo da $1$ .

4. Concluimos. Es válida, porque es no negativa en todo el intervalo y su integral vale $\dfrac{16}{16} = 1$ .

5. Qué hacer si el área no da uno. Si la función es no negativa pero el área no vale $1$ , alcanza con dividirla por ese área para normalizarla. Si toma valores negativos, no hay arreglo posible: no puede ser una densidad.

Respuesta: Es válida: es no negativa en todo el intervalo y su integral vale $\dfrac{16}{16} = 1$

5. Una variable continua modela el error de medición, en milímetros y su densidad es $f(x) = k$ en el intervalo $[0; 3]$ , y vale $0$ fuera. Hallá el valor de $k$ .

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1. Escribimos la condición que define a una densidad. El área total bajo $f$ tiene que valer $1$ : $\int f(x) \, dx = 1$ sobre todo el rango.

2. Planteamos la integral. $\displaystyle\int_{0}^{3} k \, dx = k \cdot \left[x\right]_{0}^{3} = k \cdot 3$

3. Igualamos a uno y despejamos. $k \cdot 3 = 1$ , así que $k = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$ .

4. Verificamos que la densidad sea no negativa. $k > 0$ y $x \geq 0$ en el intervalo, así que $f(x) \geq 0$ en todo el rango. Las dos condiciones de una densidad son esa y que el área valga uno.

5. Un detalle que confunde. $f$ puede tomar valores mayores que $1$ : acá el máximo es $f(3) = 0{,}3333$ . La densidad no es una probabilidad; lo que nunca pasa de uno es el área bajo ella.

Respuesta: $k = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

6. Una variable continua que modela el tiempo de atención, en horas tiene densidad $f(x) = \dfrac{3}{8} \, x^{2}$ en $[0; 2]$ y $0$ fuera. Calculá $P(0 \leq X \leq 2)$ .

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1. Recordamos qué es una probabilidad en el caso continuo. Es el área bajo la densidad en ese intervalo, o sea la integral de $f$ entre los dos extremos.

2. Planteamos la integral. $P(0 \leq X \leq 2) = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{3}{8} \, x^{2} \, dx$

3. Calculamos la primitiva. Una primitiva de $f$ es $\dfrac{x^{3}}{8}$ .

4. Evaluamos entre los límites. $\left[\dfrac{x^{3}}{8}\right]_{0}^{2} = 1 - 0 = 1$

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Y el área total del intervalo $[0; 2]$ vale $1$ , así que cualquier subintervalo tiene que dar menos.

6. El detalle que separa lo discreto de lo continuo. $P(0 \leq X \leq 2)$ y $P(0 < X < 2)$ valen lo mismo, porque los extremos aportan área cero.

Respuesta: $P(0 \leq X \leq 2) = 1$

7. Una variable continua se reparte de forma uniforme en el intervalo $[0; \dfrac{1}{2}]$ , así que su densidad es constante. Calculá el valor de esa constante, la probabilidad de que $X$ valga exactamente $\dfrac{1}{4}$ , y explicá los dos resultados.

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1. Calculamos la altura de la densidad. El área tiene que valer $1$ y la base mide $\dfrac{1}{2}$ , así que la altura es $f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$ .

2. Observamos el valor obtenido. $2 > 1$ . Una densidad puede superar a uno sin ningún problema: no es una probabilidad, es una probabilidad por unidad de longitud.

3. Calculamos la probabilidad de un valor exacto. $P(X = \dfrac{1}{4}) = \displaystyle\int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{1}{4}} f(x) \, dx = 0$ : un intervalo de ancho cero encierra área cero.

4. Interpretamos ese cero. No significa que sea imposible obtener $\dfrac{1}{4}$ . Significa que hay infinitos valores posibles y a cada uno le tocaría una porción nula del total.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Con variables continuas solo tienen sentido las probabilidades de intervalos. Por ejemplo $P(\dfrac{1}{4} \leq X \leq \dfrac{1}{2}) = 0{,}5$ , que sí es distinto de cero.

Respuesta: La densidad vale $2$ , que es mayor que $1$ , y $P(X = \dfrac{1}{4}) = 0$

8. Decidí si $f(x) = \dfrac{x}{4} \ \text{en} \ [0; 4]$ y $0$ fuera del intervalo es una función de densidad válida.

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1. Escribimos las dos condiciones. Una densidad tiene que cumplir $f(x) \geq 0$ para todo $x$ , y que el área total bajo la curva valga $1$ .

2. Revisamos el signo. Hay que mirar si la función se hace negativa en algún punto del intervalo donde está definida.

3. Calculamos el área. La integral sobre el intervalo da $2$ .

4. Concluimos. No es válida, porque es no negativa, pero su integral vale $\dfrac{16}{8} = 2$ , así que el área total no es $1$ .

5. Qué hacer si el área no da uno. Si la función es no negativa pero el área no vale $1$ , alcanza con dividirla por ese área para normalizarla. Si toma valores negativos, no hay arreglo posible: no puede ser una densidad.

Respuesta: No es válida: es no negativa, pero su integral vale $\dfrac{16}{8} = 2$ , así que el área total no es $1$

9. Una variable continua modela la duración de una llamada, en minutos y su densidad es $f(x) = k \, x$ en el intervalo $[0; 5]$ , y vale $0$ fuera. Hallá el valor de $k$ .

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1. Escribimos la condición que define a una densidad. El área total bajo $f$ tiene que valer $1$ : $\int f(x) \, dx = 1$ sobre todo el rango.

2. Planteamos la integral. $\displaystyle\int_{0}^{5} k \, x \, dx = k \cdot \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{5} = k \cdot \dfrac{5^{2}}{2} = k \cdot 25/2$

3. Igualamos a uno y despejamos. $k \cdot \dfrac{5^{2}}{2} = k \cdot 25/2 = 1$ , así que $k = \dfrac{2}{25} = 0{,}08$ .

4. Verificamos que la densidad sea no negativa. $k > 0$ y $x \geq 0$ en el intervalo, así que $f(x) \geq 0$ en todo el rango. Las dos condiciones de una densidad son esa y que el área valga uno.

5. Un detalle que confunde. $f$ puede tomar valores mayores que $1$ : acá el máximo es $f(5) = 0{,}08$ . La densidad no es una probabilidad; lo que nunca pasa de uno es el área bajo ella.

Respuesta: $k = \dfrac{2}{25} = 0{,}08$

10. Una variable continua que modela el error de medición, en milímetros tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{72} \, x^{2}$ en $[0; 6]$ y $0$ fuera. Calculá $P(3 \leq X \leq 5)$ .

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1. Recordamos qué es una probabilidad en el caso continuo. Es el área bajo la densidad en ese intervalo, o sea la integral de $f$ entre los dos extremos.

2. Planteamos la integral. $P(3 \leq X \leq 5) = \displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{1}{72} \, x^{2} \, dx$

3. Calculamos la primitiva. Una primitiva de $f$ es $\dfrac{x^{3}}{216}$ .

4. Evaluamos entre los límites. $\left[\dfrac{x^{3}}{216}\right]_{3}^{5} = 0{,}5787 - 0{,}125 = 0{,}4537$

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Y el área total del intervalo $[0; 6]$ vale $1$ , así que cualquier subintervalo tiene que dar menos.

6. El detalle que separa lo discreto de lo continuo. $P(3 \leq X \leq 5)$ y $P(3 < X < 5)$ valen lo mismo, porque los extremos aportan área cero.

Respuesta: $P(3 \leq X \leq 5) = 0{,}4537$

11. Una variable continua se reparte de forma uniforme en el intervalo $[0; \dfrac{1}{4}]$ , así que su densidad es constante. Calculá el valor de esa constante, la probabilidad de que $X$ valga exactamente $\dfrac{1}{8}$ , y explicá los dos resultados.

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1. Calculamos la altura de la densidad. El área tiene que valer $1$ y la base mide $\dfrac{1}{4}$ , así que la altura es $f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} = 4$ .

2. Observamos el valor obtenido. $4 > 1$ . Una densidad puede superar a uno sin ningún problema: no es una probabilidad, es una probabilidad por unidad de longitud.

3. Calculamos la probabilidad de un valor exacto. $P(X = \dfrac{1}{8}) = \displaystyle\int_{\dfrac{1}{8}}^{\dfrac{1}{8}} f(x) \, dx = 0$ : un intervalo de ancho cero encierra área cero.

4. Interpretamos ese cero. No significa que sea imposible obtener $\dfrac{1}{8}$ . Significa que hay infinitos valores posibles y a cada uno le tocaría una porción nula del total.

5. Sacamos la consecuencia práctica. Con variables continuas solo tienen sentido las probabilidades de intervalos. Por ejemplo $P(\dfrac{1}{8} \leq X \leq \dfrac{1}{4}) = 0{,}5$ , que sí es distinto de cero.

Respuesta: La densidad vale $4$ , que es mayor que $1$ , y $P(X = \dfrac{1}{8}) = 0$

12. Decidí si $f(x) = x - 2 \ \text{en} \ [0; 3]$ y $0$ fuera del intervalo es una función de densidad válida.

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1. Escribimos las dos condiciones. Una densidad tiene que cumplir $f(x) \geq 0$ para todo $x$ , y que el área total bajo la curva valga $1$ .

2. Revisamos el signo. Hay que mirar si la función se hace negativa en algún punto del intervalo donde está definida.

3. Calculamos el área. La integral sobre el intervalo da $0$ .

4. Concluimos. No es válida, porque toma valores negativos entre $0$ y $2$ , y una densidad no puede ser negativa.

5. Qué hacer si el área no da uno. Si la función es no negativa pero el área no vale $1$ , alcanza con dividirla por ese área para normalizarla. Si toma valores negativos, no hay arreglo posible: no puede ser una densidad.

Respuesta: No es válida: toma valores negativos entre $0$ y $2$ , y una densidad no puede ser negativa