De lo discreto a lo continuo: la densidad

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, así que sus valores posibles son infinitos.

Eso obliga a un cambio conceptual importante: la probabilidad de que tome un valor exacto es cero. No porque sea imposible, sino porque hay infinitos valores y a cada uno le tocaría una porción nula.

Entonces con variables continuas solo tienen sentido las probabilidades de intervalos.

Una consecuencia práctica es que da lo mismo si los extremos están incluidos o no. Eso es un contraste fuerte con las discretas, donde incluir un extremo cambia el resultado.

En vez de una función de probabilidad puntual se usa una función de densidad. La densidad no es una probabilidad: puede valer más que uno sin problema.

Lo que representa probabilidad es el área bajo la curva, no la altura.

Toda densidad tiene que cumplir dos condiciones: nunca ser negativa, y que el área total valga exactamente uno. Esa segunda condición es la que se usa para hallar constantes desconocidas.

f(x) \geq 0

· el área total bajo f vale

1

Cuándo se usa

Cuando la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo, como tiempo, peso o longitud. Si hay una constante desconocida en la densidad, planteá que el área total valga uno.

Ejemplo 1

Determinar si $f(x) = 2x$ en el intervalo de $0 a 1, y$ cero fuera, es una densidad.

Verificamos que no sea negativa. Entre $0$ y $1$ la función $2x$ es positiva.
Calculamos el área bajo la curva. Es un triángulo de base $1$ y altura $2$ : $1 \cdot 2 / 2 = 1$ .
Concluimos. Cumple las dos condiciones, así que es una densidad, aunque llegue a valer $2$ .
Respuesta: Sí es una densidad

Ejemplo 2

Hallar el valor de k para que $f(x) = k$ en el intervalo de $2 a 6, y$ cero fuera, sea una densidad.

Vemos qué figura queda. Es un rectángulo de base $6 - 2 = 4$ y altura $k$ .
Planteamos que el área valga uno. $4 \cdot k = 1$ .
Despejamos. $k = 1 / 4 = 0{,}25$ .
Respuesta: $k = 0{,}25$

Error típico

Rechazar una densidad porque toma valores mayores que uno. La condición es sobre el área total, no sobre la altura de la curva.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .