Varianza y desvío estándar

La varianza mide cuánto se dispersan los valores de la variable alrededor de su esperanza.

Se define como la esperanza de los cuadrados de las distancias a la media. Se elevan al cuadrado para que las desviaciones positivas y negativas no se cancelen entre sí.

Hay una fórmula alternativa mucho más práctica: la esperanza del cuadrado de la variable menos el cuadrado de la esperanza. Casi siempre conviene usar esa.

El orden importa. Es la esperanza del cuadrado menos el cuadrado de la esperanza, no al revés. Invertirlo da un número negativo, lo que es imposible para una varianza.

La varianza nunca es negativa, y vale cero solo si la variable toma siempre el mismo valor.

El desvío estándar es la raíz de la varianza, y es el que se usa para interpretar porque tiene las mismas unidades que la variable.

Al multiplicar la variable por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante. Sumarle una constante no la cambia, porque desplaza todo sin alterar la dispersión.

La varianza de una suma es la suma de las varianzas solo si las variables son independientes.

V(X) = \sum (x - \mu )^{2} \cdot p(x)

V(X) = E(X^{2}) - \mu ^{2}

Cuándo se usa

Cuando hay que medir dispersión. Usá la fórmula de la esperanza del cuadrado menos el cuadrado de la esperanza. Si te da negativa, invertiste el orden.

Ejemplo 1

Una variable toma $1, 2$ y $3$ con probabilidades $0{,}2, 0{,}5$ y $0{,}3$ . Calcular su varianza y su desvío con la fórmula corta.

Calculamos la esperanza. $E(X) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 2{,}1$ .
Calculamos la esperanza de los cuadrados. $E(X^{2}) = 1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}5 + 9 \cdot 0{,}3 = 4{,}9$ .
Restamos y sacamos raíz. $V(X) = 4{,}9 - 2{,}1^{2} = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ y $\sigma = 0{,}7$ .
Respuesta: $V(X) = 0{,}49$ , $\sigma = 0{,}7$

Ejemplo 2

Verificar el resultado anterior con la fórmula larga.

Calculamos los apartamientos. $1 - 2{,}1 = -1{,}1$ , $2 - 2{,}1 = -0{,}1$ y $3 - 2{,}1 = 0{,}9$ .
Los elevamos al cuadrado y los pesamos. $1{,}21 \cdot 0{,}2 = 0{,}242$ , $0{,}01 \cdot 0{,}5 = 0{,}005$ y $0{,}81 \cdot 0{,}3 = 0{,}243$ .
Sumamos. $0{,}242 + 0{,}005 + 0{,}243 = 0{,}49$ , el mismo valor que por la fórmula corta.
Respuesta: $V(X) = 0{,}49$

Error típico

Restar al revés en la fórmula corta y dar una varianza negativa. Va la esperanza de los cuadrados menos el cuadrado de la esperanza, en ese orden.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

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