Bernoulli y la binomial

Una variable de Bernoulli es la más simple que existe: toma solo dos valores, uno para el éxito y cero para el fracaso. Modela un único intento con dos resultados posibles.

La binomial cuenta cuántos éxitos hay al repetir ese intento una cantidad fija de veces, de forma independiente.

Tiene cuatro condiciones y todas tienen que cumplirse. La cantidad de intentos es fija de antemano. Cada intento tiene solo dos resultados. La probabilidad de éxito es la misma en todos. Y los intentos son independientes.

Verificar esas cuatro antes de aplicar la fórmula evita el error más común del tema. El caso clásico donde falla es la extracción sin reposición, porque ahí la probabilidad cambia en cada extracción.

La fórmula tiene tres partes: un número combinatorio que cuenta de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos, la probabilidad de éxito elevada a la cantidad de éxitos, y la de fracaso elevada a la cantidad de fracasos.

La esperanza es la cantidad de intentos por la probabilidad de éxito. La varianza multiplica además por la probabilidad de fracaso.

p(x) = C_{n,x} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n-x}

E = n p

V = n p (1 - p)

Cuándo se usa

Cuando hay una cantidad fija de intentos independientes con dos resultados y probabilidad constante. Si el enunciado dice al menos uno, usá el complemento: uno menos la probabilidad de ninguno.

Ejemplo 1

Un proceso produce piezas con $10$ % de falla. Se toman $8$ piezas. Calcular la probabilidad de que exactamente $2$ salgan falladas.

Identificamos las tres piezas. $n = 8$ , $p = 0{,}1$ y $x = 2$ .
Contamos las ubicaciones posibles. $C = (8 \cdot 7) / 2 = 28$ maneras de elegir cuáles dos fallan.
Aplicamos la fórmula. $28 \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{6} \approx 0{,}1488$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}1488$

Ejemplo 2

Con el proceso anterior, calcular la esperanza y la probabilidad de que al menos una falle.

Calculamos la esperanza. $E = 8 \cdot 0{,}1 = 0{,}8$ piezas falladas en promedio.
Pasamos al complemento para la segunda pregunta. Lo contrario de «al menos una» es «ninguna»: $0{,}9^{8} \approx 0{,}4305$ .
Restamos de uno. $1 - 0{,}4305 = 0{,}5695$ .
Respuesta: $E = 0{,}8$ y $P \approx 0{,}5695$

Error típico

Usar la binomial cuando la extracción es sin reposición. Ahí la probabilidad cambia en cada intento y el modelo correcto es la hipergeométrica del subtema que sigue.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

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