Esperanza

La esperanza es el promedio de la variable a largo plazo, si el experimento se repitiera muchísimas veces.

Se calcula sumando cada valor posible multiplicado por su probabilidad. Es un promedio ponderado donde los pesos son las probabilidades.

Un detalle que sorprende: la esperanza no tiene por qué ser un valor que la variable pueda tomar. La cantidad esperada de caras en tres tiros es uno y medio, y eso no es un resultado posible.

Eso no es un error: la esperanza es un promedio, no una predicción de lo que va a pasar en una repetición concreta.

Su interpretación más útil es en juegos y apuestas. La esperanza de la ganancia dice cuánto se gana o se pierde en promedio por jugada. Un juego se llama justo si esa esperanza vale cero.

En los casinos siempre es negativa para el jugador, y eso es lo que hace que la casa gane a largo plazo aunque pierda muchas manos.

La esperanza es lineal: la de una suma es la suma de las esperanzas, sin importar si las variables son independientes o no. Esa propiedad es de las más usadas.

E(X) = \sum x \cdot p(x)

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta por el valor promedio o esperado, o si conviene un juego. Sumá cada valor por su probabilidad. Un juego es justo si la esperanza da cero.

Ejemplo 1

Una variable toma $0, 1, 2$ y $5$ con probabilidades $0{,}30, 0{,}35, 0{,}25$ y $0{,}10$ . Calcular su esperanza.

Multiplicamos cada valor por su probabilidad. $0 \cdot 0{,}30 = 0$ , $1 \cdot 0{,}35 = 0{,}35$ , $2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$ y $5 \cdot 0{,}10 = 0{,}5$ .
Sumamos. $0 + 0{,}35 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}35$ .
Interpretamos. A la larga el promedio de los resultados se acerca a $1{,}35$ , aunque la variable nunca tome ese valor.
Respuesta: $E(X) = 1{,}35$

Ejemplo 2

Un juego paga $100$ pesos si sale un as al tirar un dado y cobra $20$ pesos si no sale. Calcular la ganancia esperada por jugada.

Armamos la tabla de la ganancia. Gana $100$ con probabilidad $1/6$ y pierde $20$ con probabilidad $5/6$ .
Aplicamos la fórmula. $100 \cdot (1/6) + (-20) \cdot (5/6)$ .
Resolvemos. $(100 - 100) / 6 = 0$ . El juego es equitativo: a la larga no se gana ni se pierde.
Respuesta: $E = 0$ , el juego es justo

Error típico

Promediar los valores sin pesarlos por sus probabilidades. Con valores $0, 1, 2$ y $5$ el promedio simple da $2, y$ la esperanza puede dar cualquier otra cosa según la tabla.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

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