Ejercicios: Esperanza

2. Calculamos los productos. $1 \cdot 0{,}3333 = 0{,}3333$ · $3 \cdot 0{,}3333 \approx 1$ · $4 \cdot 0{,}1111 = 0{,}4444$ · $6 \cdot 0{,}2222 \approx 1{,}3333$

3. Sumamos. $E(X) = 0{,}3333 + 1 + 0{,}4444 + 1{,}3333 \approx 3{,}1111$

4. Interpretamos. Si el experimento se repitiera muchísimas veces, el promedio de los resultados se acercaría a $3{,}1111$. Es un promedio a largo plazo, no una predicción para una repetición.

5. El detalle que sorprende. $3{,}1111$ no es un valor que $X$ pueda tomar. La esperanza es el punto de equilibrio de la distribución, y no tiene por qué pertenecer al recorrido.

Respuesta: $E(X) = 3{,}1111$

2. Escribimos las probabilidades. $p(466) = \dfrac{1}{7} \approx 0{,}1429$ y $p(-228) = 0{,}8571$, que suman $1$.

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = 466 \cdot 0{,}1429 + (-228) \cdot 0{,}8571 \approx 66{,}5714 - 195{,}4286 \approx -128{,}8571$

4. Decidimos. La ganancia esperada por jugada es de $-128{,}8571$ pesos. Es negativa, así que a largo plazo el jugador pierde: no conviene. Un juego es justo cuando la esperanza vale cero.

5. Qué dice y qué no dice el resultado. Nada sobre una jugada particular: en una sola se gana o se pierde. La esperanza describe el promedio si se jugara muchísimas veces.

Respuesta: $E(X) = -128{,}8571$ pesos por jugada, así que no conviene

2. Primera forma: usamos la propiedad de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b = 3 \cdot 4{,}4375 + 7 = 20{,}3125$

3. Segunda forma: armamos la tabla de $Y$. $y = 10$ con $p = 0{,}1875$ · $y = 19$ con $p = 0{,}125$ · $y = 22$ con $p = 0{,}375$ · $y = 25$ con $p = 0{,}3125$. Las probabilidades se heredan sin cambio, porque $Y$ toma cada valor exactamente cuando $X$ toma el suyo.

4. Calculamos la esperanza con la tabla nueva. $E(Y) = 10 \cdot 0{,}1875 + 19 \cdot 0{,}125 + 22 \cdot 0{,}375 + 25 \cdot 0{,}3125 = 20{,}3125$

5. Comparamos. Los dos caminos dan lo mismo. La propiedad ahorra armar la tabla, y vale porque la esperanza es una suma y los factores constantes salen afuera.

6. Un aviso. Esto vale para transformaciones lineales. Con una no lineal, como $Y = X^{2}$, en general $E(Y) \neq (E(X))^{2}$ y hay que armar la tabla.

Respuesta: $E(Y) = 20{,}3125$ por los dos caminos

2. Sumamos las conocidas. $0{,}0588 + 0{,}1765 + 0{,}2941 = 0{,}5294$

3. Despejamos la que falta. $p(7) = 1 - 0{,}5294 = 0{,}4706$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}4706$ queda entre $0$ y $1$, así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos del enunciado serían inconsistentes.

5. Calculamos la esperanza con la tabla completa. $E(X) = 1 \cdot 0{,}0588 + 3 \cdot 0{,}1765 + 5 \cdot 0{,}2941 + 7 \cdot 0{,}4706 \approx 5{,}3529$

Respuesta: $p(7) = 0{,}4706$ y $E(X) = 5{,}3529$

2. Calculamos los productos. $1 \cdot 0{,}0909 = 0{,}0909$ · $2 \cdot 0{,}0909 = 0{,}1818$ · $5 \cdot 0{,}3636 \approx 1{,}8182$ · $6 \cdot 0{,}4545 \approx 2{,}7273$

3. Sumamos. $E(X) = 0{,}0909 + 0{,}1818 + 1{,}8182 + 2{,}7273 = 4{,}8182$

4. Interpretamos. Si el experimento se repitiera muchísimas veces, el promedio de los resultados se acercaría a $4{,}8182$. Es un promedio a largo plazo, no una predicción para una repetición.

5. El detalle que sorprende. $4{,}8182$ no es un valor que $X$ pueda tomar. La esperanza es el punto de equilibrio de la distribución, y no tiene por qué pertenecer al recorrido.

Respuesta: $E(X) = 4{,}8182$

2. Escribimos las probabilidades. $p(1652) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ y $p(-129) = 0{,}9$, que suman $1$.

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = 1652 \cdot 0{,}1 + (-129) \cdot 0{,}9 = 165{,}2 - 116{,}1 = 49{,}1$

4. Decidimos. La ganancia esperada por jugada es de $49{,}1$ pesos. Es positiva, así que a largo plazo el jugador gana. Un juego es justo cuando la esperanza vale cero.

5. Qué dice y qué no dice el resultado. Nada sobre una jugada particular: en una sola se gana o se pierde. La esperanza describe el promedio si se jugara muchísimas veces.

Respuesta: $E(X) = 49{,}1$ pesos por jugada, así que conviene

2. Primera forma: usamos la propiedad de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b = 4 \cdot 4{,}7273 + 15 \approx 33{,}9091$

3. Segunda forma: armamos la tabla de $Y$. $y = 19$ con $p = 0{,}0909$ · $y = 23$ con $p = 0{,}0909$ · $y = 35$ con $p = 0{,}4545$ · $y = 39$ con $p = 0{,}3636$. Las probabilidades se heredan sin cambio, porque $Y$ toma cada valor exactamente cuando $X$ toma el suyo.

4. Calculamos la esperanza con la tabla nueva. $E(Y) = 19 \cdot 0{,}0909 + 23 \cdot 0{,}0909 + 35 \cdot 0{,}4545 + 39 \cdot 0{,}3636 \approx 33{,}9091$

5. Comparamos. Los dos caminos dan lo mismo. La propiedad ahorra armar la tabla, y vale porque la esperanza es una suma y los factores constantes salen afuera.

6. Un aviso. Esto vale para transformaciones lineales. Con una no lineal, como $Y = X^{2}$, en general $E(Y) \neq (E(X))^{2}$ y hay que armar la tabla.

Respuesta: $E(Y) = 33{,}9091$ por los dos caminos

2. Sumamos las conocidas. $0{,}1667 + 0{,}0833 + 0{,}25 = 0{,}5$

3. Despejamos la que falta. $p(7) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}5$ queda entre $0$ y $1$, así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos del enunciado serían inconsistentes.

5. Calculamos la esperanza con la tabla completa. $E(X) = 1 \cdot 0{,}1667 + 2 \cdot 0{,}0833 + 6 \cdot 0{,}25 + 7 \cdot 0{,}5 = 5{,}3333$

Respuesta: $p(7) = 0{,}5$ y $E(X) = 5{,}3333$

2. Calculamos los productos. $0 \cdot 0{,}1818 = 0$ · $1 \cdot 0{,}5455 = 0{,}5455$ · $2 \cdot 0{,}1818 = 0{,}3636$ · $4 \cdot 0{,}0909 = 0{,}3636$

3. Sumamos. $E(X) = 0 + 0{,}5455 + 0{,}3636 + 0{,}3636 = 1{,}2727$

4. Interpretamos. Si el experimento se repitiera muchísimas veces, el promedio de los resultados se acercaría a $1{,}2727$. Es un promedio a largo plazo, no una predicción para una repetición.

5. El detalle que sorprende. $1{,}2727$ no es un valor que $X$ pueda tomar. La esperanza es el punto de equilibrio de la distribución, y no tiene por qué pertenecer al recorrido.

Respuesta: $E(X) = 1{,}2727$

2. Escribimos las probabilidades. $p(1254) = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ y $p(-86) = 0{,}95$, que suman $1$.

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = 1254 \cdot 0{,}05 + (-86) \cdot 0{,}95 = 62{,}7 - 81{,}7 = -19$

4. Decidimos. La ganancia esperada por jugada es de $-19$ pesos. Es negativa, así que a largo plazo el jugador pierde: no conviene. Un juego es justo cuando la esperanza vale cero.

5. Qué dice y qué no dice el resultado. Nada sobre una jugada particular: en una sola se gana o se pierde. La esperanza describe el promedio si se jugara muchísimas veces.

Respuesta: $E(X) = -19$ pesos por jugada, así que no conviene

2. Primera forma: usamos la propiedad de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b = 4 \cdot 3{,}2353 + 25 = 37{,}9412$

3. Segunda forma: armamos la tabla de $Y$. $y = 29$ con $p = 0{,}2353$ · $y = 33$ con $p = 0{,}3529$ · $y = 45$ con $p = 0{,}1765$ · $y = 49$ con $p = 0{,}2353$. Las probabilidades se heredan sin cambio, porque $Y$ toma cada valor exactamente cuando $X$ toma el suyo.

4. Calculamos la esperanza con la tabla nueva. $E(Y) = 29 \cdot 0{,}2353 + 33 \cdot 0{,}3529 + 45 \cdot 0{,}1765 + 49 \cdot 0{,}2353 \approx 37{,}9412$

5. Comparamos. Los dos caminos dan lo mismo. La propiedad ahorra armar la tabla, y vale porque la esperanza es una suma y los factores constantes salen afuera.

6. Un aviso. Esto vale para transformaciones lineales. Con una no lineal, como $Y = X^{2}$, en general $E(Y) \neq (E(X))^{2}$ y hay que armar la tabla.

Respuesta: $E(Y) = 37{,}9412$ por los dos caminos

2. Sumamos las conocidas. $0{,}25 + 0{,}1875 + 0{,}0625 = 0{,}5$

3. Despejamos la que falta. $p(5) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}5$ queda entre $0$ y $1$, así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos del enunciado serían inconsistentes.

5. Calculamos la esperanza con la tabla completa. $E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}1875 + 4 \cdot 0{,}0625 + 5 \cdot 0{,}5 = 3{,}5625$

Respuesta: $p(5) = 0{,}5$ y $E(X) = 3{,}5625$