Ejercicios: Varianza y desvío estándar

1. Una variable discreta tiene función de probabilidad $p(1) = 0{,}1765$ · $p(2) = 0{,}3529$ · $p(3) = 0{,}3529$ · $p(5) = 0{,}1176$ . Calculá su varianza por la definición y por la fórmula práctica, y dá el desvío estándar.

Ver solución

1. Calculamos la esperanza. $\mu = E(X) = 1 \cdot 0{,}1765 + 2 \cdot 0{,}3529 + 3 \cdot 0{,}3529 + 5 \cdot 0{,}1176 \approx 2{,}5294$

2. Aplicamos la definición. $V(X) = \sum (x - \mu)^{2} \cdot p(x)$ : $(1 - 2{,}5294)^{2} \cdot 0{,}1765 \approx 0{,}4128$ · $(2 - 2{,}5294)^{2} \cdot 0{,}3529 \approx 0{,}0989$ · $(3 - 2{,}5294)^{2} \cdot 0{,}3529 \approx 0{,}0782$ · $(5 - 2{,}5294)^{2} \cdot 0{,}1176 \approx 0{,}7181$ , que suman $1{,}308$ .

3. Aplicamos la fórmula práctica. $E(X^{2}) = 1 \cdot 0{,}1765 + 4 \cdot 0{,}3529 + 9 \cdot 0{,}3529 + 25 \cdot 0{,}1176 \approx 7{,}7059$ , así que $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2} = 7{,}7059 - 6{,}3979 = 1{,}308$ .

4. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo. La segunda es más corta porque no obliga a restar la media en cada término, y es la que conviene usar.

5. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{1{,}308} \approx 1{,}1437$ , en las mismas unidades que $X$ .

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza queda en unidades al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí.

Respuesta: $V(X) = 1{,}308$ y $\sigma = 1{,}1437$

2. Dos variables tienen la misma función de probabilidad $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ , pero distintos valores: $X$ toma $\{1; 3; 5\}$ e $Y$ toma $\{-3; 3; 9\}$ . Calculá esperanza y desvío de cada una y compará.

Ver solución

1. Calculamos las dos esperanzas. $E(X) = 3$ y $E(Y) = 3$ : son iguales, porque las dos distribuciones están centradas en $3$ .

2. Calculamos la varianza de $X$ . $(1 - 3)^{2} \cdot 0{,}25 = 1$ · $(3 - 3)^{2} \cdot 0{,}5 = 0$ · $(5 - 3)^{2} \cdot 0{,}25 = 1$ , que suman $V(X) = 2$ .

3. Calculamos la de $Y$ . $V(Y) = 18$ , con el mismo procedimiento.

4. Calculamos los desvíos. $\sigma_X = 1{,}4142$ y $\sigma_Y = 4{,}2426$ .

5. Comparamos. Misma esperanza y desvíos muy distintos: $Y$ se desparrama $3$ veces más que $X$ .

6. La conclusión que deja el ejercicio. Dos variables pueden tener la misma esperanza y no parecerse en nada. Por eso nunca se informa una sin la otra.

Respuesta: $E(X) = E(Y) = 3$ , pero $\sigma_X = 1{,}4142$ y $\sigma_Y = 4{,}2426$

3. Una variable $X$ tiene $V(X) = 1{,}75$ y se define $Y = 3X - 9$ . Calculá $V(Y)$ y el desvío de $Y$ , y explicá por qué el término constante no aparece.

Ver solución

1. Escribimos la propiedad. $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . La constante no interviene.

2. Calculamos. $V(Y) = 3^{2} \cdot 1{,}75 = 9 \cdot 1{,}75 = 15{,}75$

3. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{15{,}75} \approx 3{,}9686$ , que también es $3 \cdot \sigma_X$ .

4. Explicamos por qué desaparece la constante. Sumar $-9$ mueve todos los valores y también mueve la media en la misma cantidad, así que las distancias a la media no cambian. La dispersión es la misma; lo único que se corrió es el centro.

5. Explicamos por qué el factor va al cuadrado. Multiplicar por $3$ multiplica cada distancia a la media por $3$ , y la varianza trabaja con distancias al cuadrado.

6. El chequeo rápido. Si en una transformación lineal la varianza cambia con el término independiente, hay un error.

Respuesta: $V(Y) = 15{,}75$ y $\sigma_Y = 3{,}9686$

4. De una variable aleatoria se sabe que $E(X) = 6$ y $V(X) = 3{,}8$ . Calculá $E(X^{2})$ y el desvío estándar.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula práctica de la varianza. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$

2. Despejamos. $E(X^{2}) = V(X) + \mu^{2} = 3{,}8 + 6^{2} = 3{,}8 + 36 = 39{,}8$

3. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{3{,}8} \approx 1{,}9494$

4. Verificamos el sentido del resultado. $E(X^{2}) = 39{,}8$ es mayor que $\mu^{2} = 36$ , como tiene que ser: la diferencia entre las dos es la varianza, y la varianza nunca es negativa.

5. Cuándo serían iguales. Solo si la varianza fuera cero, es decir si la variable tomara siempre el mismo valor. En cualquier otro caso, la esperanza del cuadrado supera al cuadrado de la esperanza.

Respuesta: $E(X^{2}) = 39{,}8$ y $\sigma = 1{,}9494$

5. Una variable discreta tiene función de probabilidad $p(0) = 0{,}3529$ · $p(2) = 0{,}1176$ · $p(3) = 0{,}3529$ · $p(5) = 0{,}1765$ . Calculá su varianza por la definición y por la fórmula práctica, y dá el desvío estándar.

Ver solución

1. Calculamos la esperanza. $\mu = E(X) = 0 \cdot 0{,}3529 + 2 \cdot 0{,}1176 + 3 \cdot 0{,}3529 + 5 \cdot 0{,}1765 \approx 2{,}1765$

2. Aplicamos la definición. $V(X) = \sum (x - \mu)^{2} \cdot p(x)$ : $(0 - 2{,}1765)^{2} \cdot 0{,}3529 \approx 1{,}6719$ · $(2 - 2{,}1765)^{2} \cdot 0{,}1176 \approx 0{,}0037$ · $(3 - 2{,}1765)^{2} \cdot 0{,}3529 \approx 0{,}2394$ · $(5 - 2{,}1765)^{2} \cdot 0{,}1765 \approx 1{,}4069$ , que suman $3{,}3218$ .

3. Aplicamos la fórmula práctica. $E(X^{2}) = 0 \cdot 0{,}3529 + 4 \cdot 0{,}1176 + 9 \cdot 0{,}3529 + 25 \cdot 0{,}1765 \approx 8{,}0588$ , así que $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2} = 8{,}0588 - 4{,}737 = 3{,}3218$ .

4. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo. La segunda es más corta porque no obliga a restar la media en cada término, y es la que conviene usar.

5. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{3{,}3218} \approx 1{,}8226$ , en las mismas unidades que $X$ .

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza queda en unidades al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí.

Respuesta: $V(X) = 3{,}3218$ y $\sigma = 1{,}8226$

6. Dos variables tienen la misma función de probabilidad $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ , pero distintos valores: $X$ toma $\{3; 5; 7\}$ e $Y$ toma $\{-2; 5; 12\}$ . Calculá esperanza y desvío de cada una y compará.

Ver solución

1. Calculamos las dos esperanzas. $E(X) = 5$ y $E(Y) = 5$ : son iguales, porque las dos distribuciones están centradas en $5$ .

2. Calculamos la varianza de $X$ . $(3 - 5)^{2} \cdot 0{,}25 = 1$ · $(5 - 5)^{2} \cdot 0{,}5 = 0$ · $(7 - 5)^{2} \cdot 0{,}25 = 1$ , que suman $V(X) = 2$ .

3. Calculamos la de $Y$ . $V(Y) = 24{,}5$ , con el mismo procedimiento.

4. Calculamos los desvíos. $\sigma_X = 1{,}4142$ y $\sigma_Y = 4{,}9497$ .

5. Comparamos. Misma esperanza y desvíos muy distintos: $Y$ se desparrama $3{,}5$ veces más que $X$ .

6. La conclusión que deja el ejercicio. Dos variables pueden tener la misma esperanza y no parecerse en nada. Por eso nunca se informa una sin la otra.

Respuesta: $E(X) = E(Y) = 5$ , pero $\sigma_X = 1{,}4142$ y $\sigma_Y = 4{,}9497$

7. Una variable $X$ tiene $V(X) = 1{,}7578$ y se define $Y = 2X + 14$ . Calculá $V(Y)$ y el desvío de $Y$ , y explicá por qué el término constante no aparece.

Ver solución

1. Escribimos la propiedad. $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . La constante no interviene.

2. Calculamos. $V(Y) = 2^{2} \cdot 1{,}7578 = 4 \cdot 1{,}7578 \approx 7{,}0311$

3. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{7{,}0311} \approx 2{,}6516$ , que también es $2 \cdot \sigma_X$ .

4. Explicamos por qué desaparece la constante. Sumar $14$ mueve todos los valores y también mueve la media en la misma cantidad, así que las distancias a la media no cambian. La dispersión es la misma; lo único que se corrió es el centro.

5. Explicamos por qué el factor va al cuadrado. Multiplicar por $2$ multiplica cada distancia a la media por $2$ , y la varianza trabaja con distancias al cuadrado.

6. El chequeo rápido. Si en una transformación lineal la varianza cambia con el término independiente, hay un error.

Respuesta: $V(Y) = 7{,}0311$ y $\sigma_Y = 2{,}6516$

8. De una variable aleatoria se sabe que $E(X) = 5{,}7$ y $V(X) = 6{,}3$ . Calculá $E(X^{2})$ y el desvío estándar.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula práctica de la varianza. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$

2. Despejamos. $E(X^{2}) = V(X) + \mu^{2} = 6{,}3 + 5{,}7^{2} = 6{,}3 + 32{,}49 = 38{,}79$

3. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{6{,}3} \approx 2{,}51$

4. Verificamos el sentido del resultado. $E(X^{2}) = 38{,}79$ es mayor que $\mu^{2} = 32{,}49$ , como tiene que ser: la diferencia entre las dos es la varianza, y la varianza nunca es negativa.

5. Cuándo serían iguales. Solo si la varianza fuera cero, es decir si la variable tomara siempre el mismo valor. En cualquier otro caso, la esperanza del cuadrado supera al cuadrado de la esperanza.

Respuesta: $E(X^{2}) = 38{,}79$ y $\sigma = 2{,}51$

9. Una variable discreta tiene función de probabilidad $p(0) = 0{,}2941$ · $p(1) = 0{,}1765$ · $p(4) = 0{,}2941$ · $p(6) = 0{,}2353$ . Calculá su varianza por la definición y por la fórmula práctica, y dá el desvío estándar.

Ver solución

1. Calculamos la esperanza. $\mu = E(X) = 0 \cdot 0{,}2941 + 1 \cdot 0{,}1765 + 4 \cdot 0{,}2941 + 6 \cdot 0{,}2353 = 2{,}7647$

2. Aplicamos la definición. $V(X) = \sum (x - \mu)^{2} \cdot p(x)$ : $(0 - 2{,}7647)^{2} \cdot 0{,}2941 \approx 2{,}2481$ · $(1 - 2{,}7647)^{2} \cdot 0{,}1765 \approx 0{,}5496$ · $(4 - 2{,}7647)^{2} \cdot 0{,}2941 \approx 0{,}4488$ · $(6 - 2{,}7647)^{2} \cdot 0{,}2353 \approx 2{,}4629$ , que suman $5{,}7093$ .

3. Aplicamos la fórmula práctica. $E(X^{2}) = 0 \cdot 0{,}2941 + 1 \cdot 0{,}1765 + 16 \cdot 0{,}2941 + 36 \cdot 0{,}2353 = 13{,}3529$ , así que $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2} = 13{,}3529 - 7{,}6436 = 5{,}7093$ .

4. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo. La segunda es más corta porque no obliga a restar la media en cada término, y es la que conviene usar.

5. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{5{,}7093} \approx 2{,}3894$ , en las mismas unidades que $X$ .

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza queda en unidades al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí.

Respuesta: $V(X) = 5{,}7093$ y $\sigma = 2{,}3894$

10. Dos variables tienen la misma función de probabilidad $0{,}25$ , $0{,}5$ y $0{,}25$ , pero distintos valores: $X$ toma $\{5; 6; 7\}$ e $Y$ toma $\{1; 6; 11\}$ . Calculá esperanza y desvío de cada una y compará.

Ver solución

1. Calculamos las dos esperanzas. $E(X) = 6$ y $E(Y) = 6$ : son iguales, porque las dos distribuciones están centradas en $6$ .

2. Calculamos la varianza de $X$ . $(5 - 6)^{2} \cdot 0{,}25 = 0{,}25$ · $(6 - 6)^{2} \cdot 0{,}5 = 0$ · $(7 - 6)^{2} \cdot 0{,}25 = 0{,}25$ , que suman $V(X) = 0{,}5$ .

3. Calculamos la de $Y$ . $V(Y) = 12{,}5$ , con el mismo procedimiento.

4. Calculamos los desvíos. $\sigma_X = 0{,}7071$ y $\sigma_Y = 3{,}5355$ .

5. Comparamos. Misma esperanza y desvíos muy distintos: $Y$ se desparrama $5$ veces más que $X$ .

6. La conclusión que deja el ejercicio. Dos variables pueden tener la misma esperanza y no parecerse en nada. Por eso nunca se informa una sin la otra.

Respuesta: $E(X) = E(Y) = 6$ , pero $\sigma_X = 0{,}7071$ y $\sigma_Y = 3{,}5355$

11. Una variable $X$ tiene $V(X) = 3{,}1211$ y se define $Y = 3X + 23$ . Calculá $V(Y)$ y el desvío de $Y$ , y explicá por qué el término constante no aparece.

Ver solución

1. Escribimos la propiedad. $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . La constante no interviene.

2. Calculamos. $V(Y) = 3^{2} \cdot 3{,}1211 = 9 \cdot 3{,}1211 \approx 28{,}09$

3. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{28{,}09} = 5{,}3$ , que también es $3 \cdot \sigma_X$ .

4. Explicamos por qué desaparece la constante. Sumar $23$ mueve todos los valores y también mueve la media en la misma cantidad, así que las distancias a la media no cambian. La dispersión es la misma; lo único que se corrió es el centro.

5. Explicamos por qué el factor va al cuadrado. Multiplicar por $3$ multiplica cada distancia a la media por $3$ , y la varianza trabaja con distancias al cuadrado.

6. El chequeo rápido. Si en una transformación lineal la varianza cambia con el término independiente, hay un error.

Respuesta: $V(Y) = 28{,}09$ y $\sigma_Y = 5{,}3$

12. De una variable aleatoria se sabe que $E(X) = 4{,}8$ y $V(X) = 2{,}9$ . Calculá $E(X^{2})$ y el desvío estándar.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula práctica de la varianza. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$

2. Despejamos. $E(X^{2}) = V(X) + \mu^{2} = 2{,}9 + 4{,}8^{2} = 2{,}9 + 23{,}04 = 25{,}94$

3. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{2{,}9} \approx 1{,}7029$

4. Verificamos el sentido del resultado. $E(X^{2}) = 25{,}94$ es mayor que $\mu^{2} = 23{,}04$ , como tiene que ser: la diferencia entre las dos es la varianza, y la varianza nunca es negativa.

5. Cuándo serían iguales. Solo si la varianza fuera cero, es decir si la variable tomara siempre el mismo valor. En cualquier otro caso, la esperanza del cuadrado supera al cuadrado de la esperanza.

Respuesta: $E(X^{2}) = 25{,}94$ y $\sigma = 1{,}7029$