Ejercicios: Bernoulli y la binomial

1. Se observan $8$ clientes que entran de forma independiente, y en cada una la probabilidad de que compre es $0{,}2$ . Sea $X$ la cantidad de casos en que compre. Calculá $P(X = 1)$ .

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1. Reconocemos el modelo. La cantidad de intentos es fija ( $8$ ), cada uno tiene dos resultados, la probabilidad es la misma en todos y son independientes. Es una binomial.

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = C_{n,x} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}$

3. Contamos las formas de ubicar los éxitos. $C_{8,1} = 8$ : es la cantidad de posiciones posibles para los $1$ casos entre los $8$ .

4. Calculamos la probabilidad de una secuencia con esa cantidad de éxitos. $\dfrac{1}{5} \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{7} \approx 0{,}0419$

5. Multiplicamos. $P(X = 1) = 8 \cdot 0{,}0419 \approx 0{,}3355$

6. Qué es el éxito acá. Que compre. Éxito no significa algo bueno: es el resultado que se está contando.

Respuesta: $P(X = 1) = 0{,}3355$

2. Se observan $5$ clientes que entran independientes, con probabilidad $0{,}1$ de que compre en cada uno. Calculá la probabilidad de que al menos uno compre.

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1. Reconocemos el modelo. Es una binomial con $n = 5$ y $p = 0{,}1$ .

2. Vemos por qué conviene el complemento. «Al menos uno» obliga a sumar $P(X = 1) + P(X = 2) + \dots + P(X = 5)$ . El complemento, «ninguno», es un solo término.

3. Calculamos el complemento. $P(X = 0) = C_{5,0} \cdot p^{0} \cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^{5} = 0{,}5905$

4. Restamos de uno. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}5905 = 0{,}4095$

5. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $0{,}1$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}4095$

3. Se observan $44$ semillas plantadas independientes, con probabilidad $0{,}4$ en cada uno. Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de la cantidad de casos en que germine.

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1. Reconocemos el modelo y sus parámetros. Binomial con $n = 44$ y $p = 0{,}4$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = n \cdot p = 44 \cdot 0{,}4 = 17{,}6$

3. Calculamos la varianza. $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 44 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 10{,}56$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{10{,}56} \approx 3{,}2496$

5. Interpretamos. En promedio se esperan $17{,}6$ casos, con una dispersión típica de $3{,}2496$ alrededor de ese valor.

6. De dónde salen las fórmulas. La binomial es la suma de $n$ variables de Bernoulli independientes. Cada una aporta $p$ a la esperanza y $p(1-p)$ a la varianza, y por la independencia esos aportes se suman.

Respuesta: $E(X) = 17{,}6$ , $V(X) = 10{,}56$ y $\sigma = 3{,}2496$

4. Decidí si esta situación se puede modelar con una binomial, verificando las cuatro condiciones: Se extraen $5$ cartas de un mazo de $40$ , sin reposición, y se cuenta cuántas son de espada.

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1. Primera condición: cantidad fija de intentos. La binomial exige que $n$ esté fijado de antemano, antes de mirar los resultados.

2. Segunda condición: dos resultados por intento. Cada intento tiene que poder clasificarse en éxito o fracaso, sin casos intermedios.

3. Tercera y cuarta: probabilidad constante e independencia. La probabilidad de éxito tiene que ser la misma en todos los intentos, y lo que pase en uno no puede cambiar la probabilidad de los demás.

4. Revisamos el caso. Acá la probabilidad de éxito cambia en cada extracción, porque no hay reposición. La cuarta condición y la tercera fallan.

5. Concluimos. No se cumplen las cuatro, así que no es binomial. El modelo que corresponde es la hipergeométrica.

6. Por qué hay que verificar siempre. La fórmula binomial devuelve un número plausible aunque se aplique mal. Nada en el resultado avisa del error.

Respuesta: No es binomial: la probabilidad de éxito cambia en cada extracción, porque no hay reposición. La cuarta condición y la tercera fallan. Corresponde la hipergeométrica

5. Se observan $6$ semillas plantadas de forma independiente, y en cada una la probabilidad de que germine es $0{,}5$ . Sea $X$ la cantidad de casos en que germine. Calculá $P(X = 3)$ .

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1. Reconocemos el modelo. La cantidad de intentos es fija ( $6$ ), cada uno tiene dos resultados, la probabilidad es la misma en todos y son independientes. Es una binomial.

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = C_{n,x} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}$

3. Contamos las formas de ubicar los éxitos. $C_{6,3} = 20$ : es la cantidad de posiciones posibles para los $3$ casos entre los $6$ .

4. Calculamos la probabilidad de una secuencia con esa cantidad de éxitos. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \approx 0{,}0156$

5. Multiplicamos. $P(X = 3) = 20 \cdot 0{,}0156 \approx 0{,}3125$

6. Qué es el éxito acá. Que germine. Éxito no significa algo bueno: es el resultado que se está contando.

Respuesta: $P(X = 3) = 0{,}3125$

6. Se observan $5$ piezas de un lote independientes, con probabilidad $0{,}3$ de que salga defectuosa en cada uno. Calculá la probabilidad de que al menos uno salga defectuosa.

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1. Reconocemos el modelo. Es una binomial con $n = 5$ y $p = 0{,}3$ .

2. Vemos por qué conviene el complemento. «Al menos uno» obliga a sumar $P(X = 1) + P(X = 2) + \dots + P(X = 5)$ . El complemento, «ninguno», es un solo término.

3. Calculamos el complemento. $P(X = 0) = C_{5,0} \cdot p^{0} \cdot \left(\dfrac{7}{10}\right)^{5} = 0{,}1681$

4. Restamos de uno. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}1681 = 0{,}8319$

5. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $0{,}3$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}8319$

7. Se observan $61$ mails de una campaña independientes, con probabilidad $0{,}1$ en cada uno. Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de la cantidad de casos en que sea respondido.

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1. Reconocemos el modelo y sus parámetros. Binomial con $n = 61$ y $p = 0{,}1$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = n \cdot p = 61 \cdot 0{,}1 = 6{,}1$

3. Calculamos la varianza. $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 61 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 5{,}49$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{5{,}49} \approx 2{,}3431$

5. Interpretamos. En promedio se esperan $6{,}1$ casos, con una dispersión típica de $2{,}3431$ alrededor de ese valor.

6. De dónde salen las fórmulas. La binomial es la suma de $n$ variables de Bernoulli independientes. Cada una aporta $p$ a la esperanza y $p(1-p)$ a la varianza, y por la independencia esos aportes se suman.

Respuesta: $E(X) = 6{,}1$ , $V(X) = 5{,}49$ y $\sigma = 2{,}3431$

8. Decidí si esta situación se puede modelar con una binomial, verificando las cuatro condiciones: Se tiran $12$ dados y se cuenta cuántos salen seis.

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1. Primera condición: cantidad fija de intentos. La binomial exige que $n$ esté fijado de antemano, antes de mirar los resultados.

2. Segunda condición: dos resultados por intento. Cada intento tiene que poder clasificarse en éxito o fracaso, sin casos intermedios.

3. Tercera y cuarta: probabilidad constante e independencia. La probabilidad de éxito tiene que ser la misma en todos los intentos, y lo que pase en uno no puede cambiar la probabilidad de los demás.

4. Revisamos el caso. Acá la cantidad de tiros es fija, cada tiro tiene dos resultados relevantes, la probabilidad es siempre $\dfrac{1}{6}$ y los tiros son independientes.

5. Concluimos. Se cumplen las cuatro condiciones, así que la binomial es el modelo correcto.

6. Por qué hay que verificar siempre. La fórmula binomial devuelve un número plausible aunque se aplique mal. Nada en el resultado avisa del error.

Respuesta: Sí es binomial: se cumplen las cuatro condiciones

9. Se observan $10$ tiros libres de forma independiente, y en cada una la probabilidad de que entre es $0{,}3$ . Sea $X$ la cantidad de casos en que entre. Calculá $P(X = 1)$ .

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1. Reconocemos el modelo. La cantidad de intentos es fija ( $10$ ), cada uno tiene dos resultados, la probabilidad es la misma en todos y son independientes. Es una binomial.

2. Escribimos la fórmula. $p(x) = C_{n,x} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}$

3. Contamos las formas de ubicar los éxitos. $C_{10,1} = 10$ : es la cantidad de posiciones posibles para los $1$ casos entre los $10$ .

4. Calculamos la probabilidad de una secuencia con esa cantidad de éxitos. $\dfrac{3}{10} \cdot \left(\dfrac{7}{10}\right)^{9} \approx 0{,}0121$

5. Multiplicamos. $P(X = 1) = 10 \cdot 0{,}0121 \approx 0{,}1211$

6. Qué es el éxito acá. Que entre. Éxito no significa algo bueno: es el resultado que se está contando.

Respuesta: $P(X = 1) = 0{,}1211$

10. Se observan $6$ mails de una campaña independientes, con probabilidad $0{,}3$ de que sea respondido en cada uno. Calculá la probabilidad de que al menos uno sea respondido.

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1. Reconocemos el modelo. Es una binomial con $n = 6$ y $p = 0{,}3$ .

2. Vemos por qué conviene el complemento. «Al menos uno» obliga a sumar $P(X = 1) + P(X = 2) + \dots + P(X = 6)$ . El complemento, «ninguno», es un solo término.

3. Calculamos el complemento. $P(X = 0) = C_{6,0} \cdot p^{0} \cdot \left(\dfrac{7}{10}\right)^{6} = 0{,}1176$

4. Restamos de uno. $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}1176 = 0{,}8824$

5. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $0{,}3$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(X \geq 1) = 0{,}8824$

11. Se observan $68$ piezas de un lote independientes, con probabilidad $0{,}2$ en cada uno. Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de la cantidad de casos en que salga defectuosa.

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1. Reconocemos el modelo y sus parámetros. Binomial con $n = 68$ y $p = 0{,}2$ .

2. Calculamos la esperanza. $E(X) = n \cdot p = 68 \cdot 0{,}2 = 13{,}6$

3. Calculamos la varianza. $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 68 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 10{,}88$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{10{,}88} \approx 3{,}2985$

5. Interpretamos. En promedio se esperan $13{,}6$ casos, con una dispersión típica de $3{,}2985$ alrededor de ese valor.

6. De dónde salen las fórmulas. La binomial es la suma de $n$ variables de Bernoulli independientes. Cada una aporta $p$ a la esperanza y $p(1-p)$ a la varianza, y por la independencia esos aportes se suman.

Respuesta: $E(X) = 13{,}6$ , $V(X) = 10{,}88$ y $\sigma = 3{,}2985$

12. Decidí si esta situación se puede modelar con una binomial, verificando las cuatro condiciones: Se tira una moneda hasta que sale la primera cara y se cuenta cuántos tiros hicieron falta.

Ver solución

1. Primera condición: cantidad fija de intentos. La binomial exige que $n$ esté fijado de antemano, antes de mirar los resultados.

2. Segunda condición: dos resultados por intento. Cada intento tiene que poder clasificarse en éxito o fracaso, sin casos intermedios.

3. Tercera y cuarta: probabilidad constante e independencia. La probabilidad de éxito tiene que ser la misma en todos los intentos, y lo que pase en uno no puede cambiar la probabilidad de los demás.

4. Revisamos el caso. Acá la cantidad de intentos no es fija: es justamente lo que se cuenta. Falla la primera condición.

5. Concluimos. No se cumplen las cuatro, así que no es binomial. El modelo que corresponde es la geométrica.

6. Por qué hay que verificar siempre. La fórmula binomial devuelve un número plausible aunque se aplique mal. Nada en el resultado avisa del error.

Respuesta: No es binomial: la cantidad de intentos no es fija: es justamente lo que se cuenta. Falla la primera condición. Corresponde la geométrica