Ejercicios: La función de distribución acumulada

2. Acumulamos. $F(3) = 0{,}1667$ · $F(4) = 0{,}6667$ · $F(5) = 0{,}8333$ · $F(7) = 1$

3. Escribimos la función por tramos. Vale $0$ antes de $3$, después $0{,}1667$ hasta $4$, después $0{,}6667$ hasta $5$, y así hasta valer $1$ desde $7$ en adelante. Es una escalera: constante entre valores y con un salto en cada valor del recorrido.

4. Evaluamos en un valor del recorrido. $F(4) = 0{,}6667$, e incluye la probabilidad de que $X$ valga exactamente $4$.

5. Evaluamos en un punto intermedio. $F(4 + 0{,}5) = 0{,}6667$: entre dos valores del recorrido no se acumula nada nuevo, así que la función se queda quieta.

6. El tamaño de cada salto. Es exactamente la probabilidad puntual de ese valor. Esa es la relación entre las dos funciones.

Respuesta: $F(4) = 0{,}6667$ y $F(4 + 0{,}5) = 0{,}6667$

2. Despejamos. $p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$. Para el primer valor no hay anterior, así que $p(x_1) = F(x_1)$.

3. Restamos término a término. $p(0) = 0{,}4$ · $p(3) = 0{,}5 - 0{,}4 = 0{,}1$ · $p(5) = 0{,}6 - 0{,}5 = 0{,}1$ · $p(7) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$

4. Verificamos. $0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}4 = 1$, y coincide con el último valor de la acumulada.

5. La lectura gráfica. En el gráfico de escalera, la probabilidad puntual de cada valor es la altura del salto en ese punto. Donde no hay salto, la probabilidad puntual es cero.

Respuesta: $p(0) = 0{,}4$ · $p(3) = 0{,}1$ · $p(5) = 0{,}1$ · $p(7) = 0{,}4$

2. Cambiamos el extremo izquierdo. $P(2 \leq X \leq 6)$ incluye además el valor $2$, que aporta $p(2) = 0{,}1304$: $0{,}5217 + 0{,}1304 \approx 0{,}6522$.

3. Calculamos la tercera. $P(X < 6)$ no incluye a $6$, así que es la acumulada hasta el valor anterior del recorrido: $F(3) = 0{,}6522$. No es $F(6)$.

4. Verificamos la coherencia. $P(X < 6) + p(6) = 0{,}6522 + 0{,}2609 \approx 0{,}913 = F(6)$.

5. El error que más se repite. Usar $F(b)$ para $P(X < b)$. En una variable discreta la acumulada incluye el valor, y en cada punto del recorrido hay un salto que cambia el resultado.

Respuesta: $P(2 < X \leq 6) = 0{,}5217$, $P(2 \leq X \leq 6) = 0{,}6522$ y $P(X < 6) = 0{,}6522$

2. Evaluamos en $-1$. No hay ningún valor del recorrido menor o igual que $-1$, así que $F(-1) = 0$.

3. Evaluamos en $3{,}5$. Los valores del recorrido que no lo superan son $\{0; 3\}$, así que $F(3{,}5) = 0{,}7273$. La acumulada está definida para todo número real, no solo para los valores del recorrido.

4. Evaluamos en $8$. Ya se acumuló toda la probabilidad: $F(8) = 1$.

5. Las propiedades que se ven acá. La acumulada arranca en $0$, termina en $1$ y nunca baja, porque cada paso le suma una probabilidad que no es negativa.

Respuesta: $F(-1) = 0$, $F(3{,}5) = 0{,}7273$ y $F(8) = 1$

2. Acumulamos. $F(2) = 0{,}3636$ · $F(3) = 0{,}8182$ · $F(5) = 0{,}9091$ · $F(6) = 1$

3. Escribimos la función por tramos. Vale $0$ antes de $2$, después $0{,}3636$ hasta $3$, después $0{,}8182$ hasta $5$, y así hasta valer $1$ desde $6$ en adelante. Es una escalera: constante entre valores y con un salto en cada valor del recorrido.

4. Evaluamos en un valor del recorrido. $F(3) = 0{,}8182$, e incluye la probabilidad de que $X$ valga exactamente $3$.

5. Evaluamos en un punto intermedio. $F(3 + 0{,}5) = 0{,}8182$: entre dos valores del recorrido no se acumula nada nuevo, así que la función se queda quieta.

6. El tamaño de cada salto. Es exactamente la probabilidad puntual de ese valor. Esa es la relación entre las dos funciones.

Respuesta: $F(3) = 0{,}8182$ y $F(3 + 0{,}5) = 0{,}8182$

2. Despejamos. $p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$. Para el primer valor no hay anterior, así que $p(x_1) = F(x_1)$.

3. Restamos término a término. $p(3) = 0{,}5714$ · $p(5) = 0{,}7143 - 0{,}5714 = 0{,}1429$ · $p(6) = 0{,}8571 - 0{,}7143 \approx 0{,}1429$ · $p(7) = 1 - 0{,}8571 = 0{,}1429$

4. Verificamos. $0{,}5714 + 0{,}1429 + 0{,}1429 + 0{,}1429 \approx 1$, y coincide con el último valor de la acumulada.

5. La lectura gráfica. En el gráfico de escalera, la probabilidad puntual de cada valor es la altura del salto en ese punto. Donde no hay salto, la probabilidad puntual es cero.

Respuesta: $p(3) = 0{,}5714$ · $p(5) = 0{,}1429$ · $p(6) = 0{,}1429$ · $p(7) = 0{,}1429$

2. Cambiamos el extremo izquierdo. $P(3 \leq X \leq 7)$ incluye además el valor $3$, que aporta $p(3) = 0{,}1667$: $0{,}3333 + 0{,}1667 = 0{,}5$.

3. Calculamos la tercera. $P(X < 7)$ no incluye a $7$, así que es la acumulada hasta el valor anterior del recorrido: $F(4) = 0{,}5417$. No es $F(7)$.

4. Verificamos la coherencia. $P(X < 7) + p(7) = 0{,}5417 + 0{,}2083 = 0{,}75 = F(7)$.

5. El error que más se repite. Usar $F(b)$ para $P(X < b)$. En una variable discreta la acumulada incluye el valor, y en cada punto del recorrido hay un salto que cambia el resultado.

Respuesta: $P(3 < X \leq 7) = 0{,}3333$, $P(3 \leq X \leq 7) = 0{,}5$ y $P(X < 7) = 0{,}5417$

2. Evaluamos en $-1$. No hay ningún valor del recorrido menor o igual que $-1$, así que $F(-1) = 0$.

3. Evaluamos en $2{,}5$. Los valores del recorrido que no lo superan son $\{0; 1\}$, así que $F(2{,}5) = 0{,}45$. La acumulada está definida para todo número real, no solo para los valores del recorrido.

4. Evaluamos en $8$. Ya se acumuló toda la probabilidad: $F(8) = 1$.

5. Las propiedades que se ven acá. La acumulada arranca en $0$, termina en $1$ y nunca baja, porque cada paso le suma una probabilidad que no es negativa.

Respuesta: $F(-1) = 0$, $F(2{,}5) = 0{,}45$ y $F(8) = 1$

2. Acumulamos. $F(0) = 0{,}375$ · $F(1) = 0{,}5$ · $F(2) = 0{,}625$ · $F(6) = 1$

3. Escribimos la función por tramos. Vale $0$ antes de $0$, después $0{,}375$ hasta $1$, después $0{,}5$ hasta $2$, y así hasta valer $1$ desde $6$ en adelante. Es una escalera: constante entre valores y con un salto en cada valor del recorrido.

4. Evaluamos en un valor del recorrido. $F(1) = 0{,}5$, e incluye la probabilidad de que $X$ valga exactamente $1$.

5. Evaluamos en un punto intermedio. $F(1 + 0{,}5) = 0{,}5$: entre dos valores del recorrido no se acumula nada nuevo, así que la función se queda quieta.

6. El tamaño de cada salto. Es exactamente la probabilidad puntual de ese valor. Esa es la relación entre las dos funciones.

Respuesta: $F(1) = 0{,}5$ y $F(1 + 0{,}5) = 0{,}5$

2. Despejamos. $p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$. Para el primer valor no hay anterior, así que $p(x_1) = F(x_1)$.

3. Restamos término a término. $p(3) = 0{,}2$ · $p(4) = 0{,}3333 - 0{,}2 = 0{,}1333$ · $p(6) = 0{,}6 - 0{,}3333 = 0{,}2667$ · $p(7) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$

4. Verificamos. $0{,}2 + 0{,}1333 + 0{,}2667 + 0{,}4 = 1$, y coincide con el último valor de la acumulada.

5. La lectura gráfica. En el gráfico de escalera, la probabilidad puntual de cada valor es la altura del salto en ese punto. Donde no hay salto, la probabilidad puntual es cero.

Respuesta: $p(3) = 0{,}2$ · $p(4) = 0{,}1333$ · $p(6) = 0{,}2667$ · $p(7) = 0{,}4$

2. Cambiamos el extremo izquierdo. $P(5 \leq X \leq 8)$ incluye además el valor $5$, que aporta $p(5) = 0{,}2941$: $0{,}5882 + 0{,}2941 \approx 0{,}8824$.

3. Calculamos la tercera. $P(X < 8)$ no incluye a $8$, así que es la acumulada hasta el valor anterior del recorrido: $F(6) = 0{,}7059$. No es $F(8)$.

4. Verificamos la coherencia. $P(X < 8) + p(8) = 0{,}7059 + 0{,}2353 = 0{,}9412 = F(8)$.

5. El error que más se repite. Usar $F(b)$ para $P(X < b)$. En una variable discreta la acumulada incluye el valor, y en cada punto del recorrido hay un salto que cambia el resultado.

Respuesta: $P(5 < X \leq 8) = 0{,}5882$, $P(5 \leq X \leq 8) = 0{,}8824$ y $P(X < 8) = 0{,}7059$

2. Evaluamos en $-1$. No hay ningún valor del recorrido menor o igual que $-1$, así que $F(-1) = 0$.

3. Evaluamos en $3$. Los valores del recorrido que no lo superan son $\{0; 1\}$, así que $F(3) = 0{,}5833$. La acumulada está definida para todo número real, no solo para los valores del recorrido.

4. Evaluamos en $8$. Ya se acumuló toda la probabilidad: $F(8) = 1$.

5. Las propiedades que se ven acá. La acumulada arranca en $0$, termina en $1$ y nunca baja, porque cada paso le suma una probabilidad que no es negativa.

Respuesta: $F(-1) = 0$, $F(3) = 0{,}5833$ y $F(8) = 1$