Ejercicios: Función de probabilidad puntual

1. Se tiran $5$ monedas equilibradas y se define $X$ como la cantidad de caras. Armá la función de probabilidad puntual de $X$ y verificá que sea válida.

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1. Contamos el espacio muestral. Son $2^{5} = 32$ secuencias equiprobables.

2. Contamos las secuencias que dan cada valor. $X = 0$ : $C_{5,0} = 1$ · $X = 1$ : $C_{5,1} = 5$ · $X = 2$ : $C_{5,2} = 10$ · $X = 3$ : $C_{5,3} = 10$ · $X = 4$ : $C_{5,4} = 5$ · $X = 5$ : $C_{5,5} = 1$

3. Escribimos la función de probabilidad. $p(0) = \dfrac{1}{32} \approx 0{,}0312$ · $p(1) = \dfrac{5}{32} \approx 0{,}1562$ · $p(2) = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125$ · $p(3) = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125$ · $p(4) = \dfrac{5}{32} \approx 0{,}1562$ · $p(5) = \dfrac{1}{32} \approx 0{,}0312$

4. Verificamos las dos condiciones. Todas las probabilidades son mayores o iguales que cero, y $0{,}0312 + 0{,}1562 + 0{,}3125 + 0{,}3125 + 0{,}1562 + 0{,}0312 \approx 1$ .

5. Qué describe esta tabla. Cómo se reparte toda la probabilidad entre los valores posibles. Con ella ya se puede calcular cualquier probabilidad sobre $X$ sin volver al espacio muestral original.

Respuesta: $p(0) = 0{,}0312$ · $p(1) = 0{,}1562$ · $p(2) = 0{,}3125$ · $p(3) = 0{,}3125$ · $p(4) = 0{,}1562$ · $p(5) = 0{,}0312$

2. Una variable aleatoria discreta toma los valores $\{1; 3; 6; 7\}$ con probabilidades proporcionales a $\{2; 1; 2; 5\}$ , es decir $p(x_i) = k \cdot c_i$ con $c_i$ esos coeficientes. Hallá el valor de $k$ para que sea una función de probabilidad válida.

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1. Escribimos la condición que define a una función de probabilidad. $\sum p(x) = 1$ , y además cada $p(x) \geq 0$ .

2. Planteamos la suma. $k \cdot (2 + 1 + 2 + 5) = k \cdot 10 = 1$

3. Despejamos. $k = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$

4. Escribimos la función completa. $p(1) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ · $p(3) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ · $p(6) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ · $p(7) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$

5. Verificamos. Las cuatro son positivas y suman $\dfrac{10}{10} = 1$ .

Respuesta: $k = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$

3. Se propone esta función de probabilidad para una variable discreta: $p(0) = 0{,}2$ · $p(1) = 0{,}35$ · $p(2) = 0{,}3$ · $p(3) = 0{,}15$ . Decidí si es válida.

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1. Revisamos la primera condición. Ninguna probabilidad puede ser negativa. Las cuatro cumplen.

2. Revisamos la segunda condición. La suma tiene que dar $1$ : 0{,}2 + 0{,}35 + 0{,}3 + 0{,}15 $= 1$ .

3. Comparamos. $1$ es exactamente $1$ .

4. Concluimos. Sí es válida, porque todas son no negativas y suman exactamente $1$ .

5. Por qué conviene hacer este control primero. Si la tabla está mal, la esperanza, la varianza y cualquier probabilidad que se calcule después van a estar mal también, y el error no se nota mirando los resultados.

Respuesta: Sí es válida: suman $1$

4. Una variable aleatoria discreta tiene esta función de probabilidad: $p(0) = 0{,}2174$ · $p(1) = 0{,}1739$ · $p(3) = 0{,}2174$ · $p(6) = 0{,}2174$ · $p(7) = 0{,}1739$ . Calculá $P(X \geq 3)$ y la probabilidad de que $X$ tome un valor par.

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1. Verificamos que la tabla sea válida. $0{,}2174 + 0{,}1739 + 0{,}2174 + 0{,}2174 + 0{,}1739 = 1$ , y ninguna es negativa.

2. Identificamos los valores que cumplen la primera condición. Son $\{3; 6; 7\}$ , los mayores o iguales que $3$ .

3. Sumamos sus probabilidades. $P(X \geq 3) = 0{,}2174 + 0{,}2174 + 0{,}1739 = 0{,}6087$

4. Repetimos con la segunda condición. Los valores pares del recorrido son $\{0; 6\}$ , y sus probabilidades suman $0{,}4348$ .

5. Verificamos con el complemento. $P(X < 3) = 1 - 0{,}6087 = 0{,}3913$ , que coincide con sumar las probabilidades de los valores menores.

6. El detalle del signo. $P(X \geq 3)$ incluye al valor $3$ . Si el enunciado dijera $P(X > 3)$ habría que sacarlo, y el resultado bajaría a $0{,}3913$ .

Respuesta: $P(X \geq 3) = 0{,}6087$ y $P(X \text{ par}) = 0{,}4348$

5. Se tiran $3$ monedas equilibradas y se define $X$ como la cantidad de caras. Armá la función de probabilidad puntual de $X$ y verificá que sea válida.

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1. Contamos el espacio muestral. Son $2^{3} = 8$ secuencias equiprobables.

2. Contamos las secuencias que dan cada valor. $X = 0$ : $C_{3,0} = 1$ · $X = 1$ : $C_{3,1} = 3$ · $X = 2$ : $C_{3,2} = 3$ · $X = 3$ : $C_{3,3} = 1$

3. Escribimos la función de probabilidad. $p(0) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ · $p(1) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ · $p(2) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ · $p(3) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$

4. Verificamos las dos condiciones. Todas las probabilidades son mayores o iguales que cero, y $0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1$ .

5. Qué describe esta tabla. Cómo se reparte toda la probabilidad entre los valores posibles. Con ella ya se puede calcular cualquier probabilidad sobre $X$ sin volver al espacio muestral original.

Respuesta: $p(0) = 0{,}125$ · $p(1) = 0{,}375$ · $p(2) = 0{,}375$ · $p(3) = 0{,}125$

6. Una variable aleatoria discreta toma los valores $\{1; 4; 5; 6\}$ con probabilidades proporcionales a $\{4; 5; 3; 2\}$ , es decir $p(x_i) = k \cdot c_i$ con $c_i$ esos coeficientes. Hallá el valor de $k$ para que sea una función de probabilidad válida.

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1. Escribimos la condición que define a una función de probabilidad. $\sum p(x) = 1$ , y además cada $p(x) \geq 0$ .

2. Planteamos la suma. $k \cdot (4 + 5 + 3 + 2) = k \cdot 14 = 1$

3. Despejamos. $k = \dfrac{1}{14} \approx 0{,}0714$

4. Escribimos la función completa. $p(1) = \dfrac{4}{14} \approx 0{,}2857$ · $p(4) = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}3571$ · $p(5) = \dfrac{3}{14} \approx 0{,}2143$ · $p(6) = \dfrac{2}{14} \approx 0{,}1429$

5. Verificamos. Las cuatro son positivas y suman $\dfrac{14}{14} = 1$ .

Respuesta: $k = \dfrac{1}{14} \approx 0{,}0714$

7. Se propone esta función de probabilidad para una variable discreta: $p(0) = 0{,}25$ · $p(1) = 0{,}4$ · $p(2) = 0{,}3$ · $p(3) = 0{,}2$ . Decidí si es válida.

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1. Revisamos la primera condición. Ninguna probabilidad puede ser negativa. Las cuatro cumplen.

2. Revisamos la segunda condición. La suma tiene que dar $1$ : 0{,}25 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 $= 1{,}15$ .

3. Comparamos. $1{,}15$ no es $1$ .

4. Concluimos. No es válida, porque suman más que $1$ , y la suma tiene que dar exactamente uno.

5. Por qué conviene hacer este control primero. Si la tabla está mal, la esperanza, la varianza y cualquier probabilidad que se calcule después van a estar mal también, y el error no se nota mirando los resultados.

Respuesta: No es válida: suman $1{,}15$

8. Una variable aleatoria discreta tiene esta función de probabilidad: $p(0) = 0{,}1111$ · $p(1) = 0{,}1111$ · $p(2) = 0{,}5556$ · $p(3) = 0{,}1111$ · $p(5) = 0{,}1111$ . Calculá $P(X \geq 2)$ y la probabilidad de que $X$ tome un valor par.

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1. Verificamos que la tabla sea válida. $0{,}1111 + 0{,}1111 + 0{,}5556 + 0{,}1111 + 0{,}1111 = 1$ , y ninguna es negativa.

2. Identificamos los valores que cumplen la primera condición. Son $\{2; 3; 5\}$ , los mayores o iguales que $2$ .

3. Sumamos sus probabilidades. $P(X \geq 2) = 0{,}5556 + 0{,}1111 + 0{,}1111 = 0{,}7778$

4. Repetimos con la segunda condición. Los valores pares del recorrido son $\{0; 2\}$ , y sus probabilidades suman $0{,}6667$ .

5. Verificamos con el complemento. $P(X < 2) = 1 - 0{,}7778 = 0{,}2222$ , que coincide con sumar las probabilidades de los valores menores.

6. El detalle del signo. $P(X \geq 2)$ incluye al valor $2$ . Si el enunciado dijera $P(X > 2)$ habría que sacarlo, y el resultado bajaría a $0{,}2222$ .

Respuesta: $P(X \geq 2) = 0{,}7778$ y $P(X \text{ par}) = 0{,}6667$

9. Se tiran $4$ monedas equilibradas y se define $X$ como la cantidad de caras. Armá la función de probabilidad puntual de $X$ y verificá que sea válida.

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1. Contamos el espacio muestral. Son $2^{4} = 16$ secuencias equiprobables.

2. Contamos las secuencias que dan cada valor. $X = 0$ : $C_{4,0} = 1$ · $X = 1$ : $C_{4,1} = 4$ · $X = 2$ : $C_{4,2} = 6$ · $X = 3$ : $C_{4,3} = 4$ · $X = 4$ : $C_{4,4} = 1$

3. Escribimos la función de probabilidad. $p(0) = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625$ · $p(1) = \dfrac{4}{16} = 0{,}25$ · $p(2) = \dfrac{6}{16} = 0{,}375$ · $p(3) = \dfrac{4}{16} = 0{,}25$ · $p(4) = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625$

4. Verificamos las dos condiciones. Todas las probabilidades son mayores o iguales que cero, y $0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}375 + 0{,}25 + 0{,}0625 = 1$ .

5. Qué describe esta tabla. Cómo se reparte toda la probabilidad entre los valores posibles. Con ella ya se puede calcular cualquier probabilidad sobre $X$ sin volver al espacio muestral original.

Respuesta: $p(0) = 0{,}0625$ · $p(1) = 0{,}25$ · $p(2) = 0{,}375$ · $p(3) = 0{,}25$ · $p(4) = 0{,}0625$

10. Una variable aleatoria discreta toma los valores $\{1; 3; 6; 7\}$ con probabilidades proporcionales a $\{2; 1; 2; 1\}$ , es decir $p(x_i) = k \cdot c_i$ con $c_i$ esos coeficientes. Hallá el valor de $k$ para que sea una función de probabilidad válida.

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1. Escribimos la condición que define a una función de probabilidad. $\sum p(x) = 1$ , y además cada $p(x) \geq 0$ .

2. Planteamos la suma. $k \cdot (2 + 1 + 2 + 1) = k \cdot 6 = 1$

3. Despejamos. $k = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$

4. Escribimos la función completa. $p(1) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$ · $p(3) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$ · $p(6) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$ · $p(7) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$

5. Verificamos. Las cuatro son positivas y suman $\dfrac{6}{6} = 1$ .

Respuesta: $k = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$

11. Se propone esta función de probabilidad para una variable discreta: $p(0) = 0{,}45$ · $p(1) = 0{,}4$ · $p(2) = -0{,}1$ · $p(3) = 0{,}25$ . Decidí si es válida.

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1. Revisamos la primera condición. Ninguna probabilidad puede ser negativa. Acá hay una de $-0{,}1$ , que ya la invalida.

2. Revisamos la segunda condición. La suma tiene que dar $1$ : 0{,}45 + 0{,}4 - 0{,}1 + 0{,}25 $= 1$ .

3. Comparamos. $1$ es exactamente $1$ .

4. Concluimos. No es válida, porque hay una probabilidad negativa, y eso está prohibido por definición.

5. Por qué conviene hacer este control primero. Si la tabla está mal, la esperanza, la varianza y cualquier probabilidad que se calcule después van a estar mal también, y el error no se nota mirando los resultados.

Respuesta: No es válida: suman $1$

12. Una variable aleatoria discreta tiene esta función de probabilidad: $p(2) = 0{,}2857$ · $p(3) = 0{,}0952$ · $p(4) = 0{,}2381$ · $p(6) = 0{,}1905$ · $p(7) = 0{,}1905$ . Calculá $P(X \geq 4)$ y la probabilidad de que $X$ tome un valor par.

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1. Verificamos que la tabla sea válida. $0{,}2857 + 0{,}0952 + 0{,}2381 + 0{,}1905 + 0{,}1905 = 1$ , y ninguna es negativa.

2. Identificamos los valores que cumplen la primera condición. Son $\{4; 6; 7\}$ , los mayores o iguales que $4$ .

3. Sumamos sus probabilidades. $P(X \geq 4) = 0{,}2381 + 0{,}1905 + 0{,}1905 \approx 0{,}619$

4. Repetimos con la segunda condición. Los valores pares del recorrido son $\{2; 4; 6\}$ , y sus probabilidades suman $0{,}7143$ .

5. Verificamos con el complemento. $P(X < 4) = 1 - 0{,}619 = 0{,}381$ , que coincide con sumar las probabilidades de los valores menores.

6. El detalle del signo. $P(X \geq 4)$ incluye al valor $4$ . Si el enunciado dijera $P(X > 4)$ habría que sacarlo, y el resultado bajaría a $0{,}381$ .

Respuesta: $P(X \geq 4) = 0{,}619$ y $P(X \text{ par}) = 0{,}7143$