Ejercicios: Variable aleatoria discreta

1. En un experimento aleatorio se tiran tres monedas y se define $X$ como la cantidad de cecas. Escribí el recorrido de $X$ e indicá qué resultados del espacio muestral le corresponden a cada valor.

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1. Verificamos que sea una variable aleatoria. Es una regla que le asigna un número a cada resultado del experimento, así que es una función del espacio muestral en los números. Lo aleatorio es el resultado, no la regla.

2. Listamos los valores posibles. $R_X = \{0; 1; 2; 3\}$ . Se pueden listar uno por uno, así que $X$ es discreta.

3. Vemos qué resultados dan $X = 0$ . Corresponden a $(c; c; c)$ .

4. Vemos qué resultados dan $X = 1$ . Corresponden a las tres secuencias con una sola ceca.

5. Vemos qué resultados dan $X = 2$ . Corresponden a las tres con dos cecas.

6. Vemos qué resultados dan $X = 3$ . Corresponden a $(x; x; x)$ .

7. Para qué sirve el cambio. El espacio muestral original tenía resultados que no eran números y no se podían promediar. Con $X$ ya se puede calcular una esperanza, que es todo el motivo por el que la variable aleatoria existe.

Respuesta: $R_X = \{0; 1; 2; 3\}$

2. Clasificá cada una de estas variables aleatorias como discreta o continua, y justificá: (1) la duración de una batería en horas; (2) el tiempo que espera un cliente en la fila; (3) el peso exacto de una pieza tomada al azar; (4) la cantidad de clientes que entran a un local en una hora.

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1. Recordamos el criterio. Una variable aleatoria es discreta si sus valores posibles se pueden listar, aunque sean infinitos. Es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. La unidad en que se expresa y el redondeo con que se anota no cambian la naturaleza de la variable: lo que decide es si los valores se cuentan o se miden.

2. Analizamos la (1). Es continua, porque se mide: una batería puede durar $3{,}7$ horas, no solo un número entero.

3. Analizamos la (2). Es continua, porque se mide y puede tomar cualquier valor de un intervalo.

4. Analizamos la (3). Es continua, porque se mide, y entre dos pesos siempre hay otro posible.

5. Analizamos la (4). Es discreta, porque se cuenta, y sus valores se pueden listar.

6. Por qué la distinción decide todo lo que sigue. Las discretas se describen con una función de probabilidad puntual y se calculan con sumas. Las continuas se describen con una densidad y se calculan con integrales.

Respuesta: (1) continua; (2) continua; (3) continua; (4) discreta

3. Se tiran dos dados equilibrados y se define $X$ como la suma de los dos números. Escribí el recorrido de $X$ y contá cuántos de los $36$ resultados corresponden a cada valor.

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1. Armamos el espacio muestral. Son los $36$ pares ordenados $(i; j)$ , todos equiprobables.

2. Aplicamos la regla a los pares. Para cada par se calcula la suma de los dos números, y los valores que aparecen son $R_X = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}$ .

3. Contamos los pares que dan cada valor. $X = 2$ : $1$ pares · $X = 3$ : $2$ pares · $X = 4$ : $3$ pares · $X = 5$ : $4$ pares · $X = 6$ : $5$ pares · $X = 7$ : $6$ pares · $X = 8$ : $5$ pares · $X = 9$ : $4$ pares · $X = 10$ : $3$ pares · $X = 11$ : $2$ pares · $X = 12$ : $1$ pares

4. Verificamos el total. $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$ , que son los $36$ resultados. Cada par tiene que aportar a exactamente un valor de $X$ .

5. Lo que muestra el conteo. Los valores de $X$ no son equiprobables aunque los pares sí lo sean. Por eso el recorrido de $X$ no sirve como espacio muestral para aplicar la definición clásica.

Respuesta: $R_X = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}$ , con $1$ casos para $X = 2$ ; $2$ casos para $X = 3$ ; $3$ casos para $X = 4$ ; $4$ casos para $X = 5$ ; $5$ casos para $X = 6$ ; $6$ casos para $X = 7$ ; $5$ casos para $X = 8$ ; $4$ casos para $X = 9$ ; $3$ casos para $X = 10$ ; $2$ casos para $X = 11$ ; $1$ casos para $X = 12$

4. Una variable aleatoria discreta $X$ tiene recorrido $R_X = \{0; 3; 4; 5\}$ . Se define $Y = 3X + 5$ . Escribí el recorrido de $Y$ y explicá por qué $Y$ también es una variable aleatoria.

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1. Vemos qué es $Y$ . $Y$ se obtiene aplicando una regla a $X$ , y $X$ ya le asigna un número a cada resultado del experimento. La composición sigue siendo una función del espacio muestral en los números, así que $Y$ es una variable aleatoria.

2. Transformamos cada valor. $3 \cdot 0 + 5 = 5$ · $3 \cdot 3 + 5 = 14$ · $3 \cdot 4 + 5 = 17$ · $3 \cdot 5 + 5 = 20$

3. Escribimos el recorrido. $R_Y = \{5; 14; 17; 20\}$

4. Notamos qué se conserva. Hay tantos valores en $R_Y$ como en $R_X$ , y en el mismo orden, porque la transformación es lineal con pendiente $3 > 0$ . Cada valor de $Y$ ocurre exactamente cuando ocurre el valor de $X$ que le dio origen.

5. Qué se hereda y qué no. Las probabilidades se heredan sin cambio: $P(Y = 5) = P(X = 0)$ . Lo que sí cambia son la esperanza y la varianza, que se recalculan con las fórmulas de transformación lineal.

Respuesta: $R_Y = \{5; 14; 17; 20\}$

5. En un experimento aleatorio se extraen dos bolillas de una urna con dos rojas y dos negras, sin reposición y se define $X$ como la cantidad de rojas. Escribí el recorrido de $X$ e indicá qué resultados del espacio muestral le corresponden a cada valor.

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1. Verificamos que sea una variable aleatoria. Es una regla que le asigna un número a cada resultado del experimento, así que es una función del espacio muestral en los números. Lo aleatorio es el resultado, no la regla.

2. Listamos los valores posibles. $R_X = \{0; 1; 2\}$ . Se pueden listar uno por uno, así que $X$ es discreta.

3. Vemos qué resultados dan $X = 0$ . Corresponden a las dos negras.

4. Vemos qué resultados dan $X = 1$ . Corresponden a una de cada color.

5. Vemos qué resultados dan $X = 2$ . Corresponden a las dos rojas.

6. Para qué sirve el cambio. El espacio muestral original tenía resultados que no eran números y no se podían promediar. Con $X$ ya se puede calcular una esperanza, que es todo el motivo por el que la variable aleatoria existe.

Respuesta: $R_X = \{0; 1; 2\}$

6. Clasificá cada una de estas variables aleatorias como discreta o continua, y justificá: (1) la cantidad de piezas falladas en un lote de cincuenta; (2) el tiempo que espera un cliente en la fila; (3) la duración de una batería en horas; (4) la cantidad de clientes que entran a un local en una hora.

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1. Recordamos el criterio. Una variable aleatoria es discreta si sus valores posibles se pueden listar, aunque sean infinitos. Es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. La unidad en que se expresa y el redondeo con que se anota no cambian la naturaleza de la variable: lo que decide es si los valores se cuentan o se miden.

2. Analizamos la (1). Es discreta, porque se cuenta y va de $0$ a $50$ .

3. Analizamos la (2). Es continua, porque se mide y puede tomar cualquier valor de un intervalo.

4. Analizamos la (3). Es continua, porque se mide: una batería puede durar $3{,}7$ horas, no solo un número entero.

5. Analizamos la (4). Es discreta, porque se cuenta, y sus valores se pueden listar.

6. Por qué la distinción decide todo lo que sigue. Las discretas se describen con una función de probabilidad puntual y se calculan con sumas. Las continuas se describen con una densidad y se calculan con integrales.

Respuesta: (1) discreta; (2) continua; (3) continua; (4) discreta

7. Se tiran dos dados equilibrados y se define $X$ como el mayor de los dos números. Escribí el recorrido de $X$ y contá cuántos de los $36$ resultados corresponden a cada valor.

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1. Armamos el espacio muestral. Son los $36$ pares ordenados $(i; j)$ , todos equiprobables.

2. Aplicamos la regla a los pares. Para cada par se calcula el mayor de los dos números, y los valores que aparecen son $R_X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

3. Contamos los pares que dan cada valor. $X = 1$ : $1$ pares · $X = 2$ : $3$ pares · $X = 3$ : $5$ pares · $X = 4$ : $7$ pares · $X = 5$ : $9$ pares · $X = 6$ : $11$ pares

4. Verificamos el total. $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ , que son los $36$ resultados. Cada par tiene que aportar a exactamente un valor de $X$ .

5. Lo que muestra el conteo. Los valores de $X$ no son equiprobables aunque los pares sí lo sean. Por eso el recorrido de $X$ no sirve como espacio muestral para aplicar la definición clásica.

Respuesta: $R_X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $1$ casos para $X = 1$ ; $3$ casos para $X = 2$ ; $5$ casos para $X = 3$ ; $7$ casos para $X = 4$ ; $9$ casos para $X = 5$ ; $11$ casos para $X = 6$

8. Una variable aleatoria discreta $X$ tiene recorrido $R_X = \{1; 3; 5; 6\}$ . Se define $Y = 2X - 2$ . Escribí el recorrido de $Y$ y explicá por qué $Y$ también es una variable aleatoria.

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1. Vemos qué es $Y$ . $Y$ se obtiene aplicando una regla a $X$ , y $X$ ya le asigna un número a cada resultado del experimento. La composición sigue siendo una función del espacio muestral en los números, así que $Y$ es una variable aleatoria.

2. Transformamos cada valor. $2 \cdot 1 - 2 = 0$ · $2 \cdot 3 - 2 = 4$ · $2 \cdot 5 - 2 = 8$ · $2 \cdot 6 - 2 = 10$

3. Escribimos el recorrido. $R_Y = \{0; 4; 8; 10\}$

4. Notamos qué se conserva. Hay tantos valores en $R_Y$ como en $R_X$ , y en el mismo orden, porque la transformación es lineal con pendiente $2 > 0$ . Cada valor de $Y$ ocurre exactamente cuando ocurre el valor de $X$ que le dio origen.

5. Qué se hereda y qué no. Las probabilidades se heredan sin cambio: $P(Y = 0) = P(X = 1)$ . Lo que sí cambia son la esperanza y la varianza, que se recalculan con las fórmulas de transformación lineal.

Respuesta: $R_Y = \{0; 4; 8; 10\}$

9. En un experimento aleatorio se tiran dos monedas y se define $X$ como la cantidad de caras. Escribí el recorrido de $X$ e indicá qué resultados del espacio muestral le corresponden a cada valor.

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1. Verificamos que sea una variable aleatoria. Es una regla que le asigna un número a cada resultado del experimento, así que es una función del espacio muestral en los números. Lo aleatorio es el resultado, no la regla.

2. Listamos los valores posibles. $R_X = \{0; 1; 2\}$ . Se pueden listar uno por uno, así que $X$ es discreta.

3. Vemos qué resultados dan $X = 0$ . Corresponden a $(x; x)$ .

4. Vemos qué resultados dan $X = 1$ . Corresponden a $(c; x)$ y $(x; c)$ .

5. Vemos qué resultados dan $X = 2$ . Corresponden a $(c; c)$ .

6. Para qué sirve el cambio. El espacio muestral original tenía resultados que no eran números y no se podían promediar. Con $X$ ya se puede calcular una esperanza, que es todo el motivo por el que la variable aleatoria existe.

Respuesta: $R_X = \{0; 1; 2\}$

10. Clasificá cada una de estas variables aleatorias como discreta o continua, y justificá: (1) la cantidad de caras en diez tiros de una moneda; (2) la cantidad de piezas falladas en un lote de cincuenta; (3) el peso exacto de una pieza tomada al azar; (4) el tiempo que espera un cliente en la fila.

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1. Recordamos el criterio. Una variable aleatoria es discreta si sus valores posibles se pueden listar, aunque sean infinitos. Es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

2. Analizamos la (1). Es discreta, porque toma valores enteros de $0$ a $10$ .

3. Analizamos la (2). Es discreta, porque se cuenta y va de $0$ a $50$ .

4. Analizamos la (3). Es continua, porque se mide, y entre dos pesos siempre hay otro posible.

5. Analizamos la (4). Es continua, porque se mide y puede tomar cualquier valor de un intervalo.

6. Por qué la distinción decide todo lo que sigue. Las discretas se describen con una función de probabilidad puntual y se calculan con sumas. Las continuas se describen con una densidad y se calculan con integrales.

Respuesta: (1) discreta; (2) discreta; (3) continua; (4) continua

11. Se tiran dos dados equilibrados y se define $X$ como el menor de los dos números. Escribí el recorrido de $X$ y contá cuántos de los $36$ resultados corresponden a cada valor.

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1. Armamos el espacio muestral. Son los $36$ pares ordenados $(i; j)$ , todos equiprobables.

2. Aplicamos la regla a los pares. Para cada par se calcula el menor de los dos números, y los valores que aparecen son $R_X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

3. Contamos los pares que dan cada valor. $X = 1$ : $11$ pares · $X = 2$ : $9$ pares · $X = 3$ : $7$ pares · $X = 4$ : $5$ pares · $X = 5$ : $3$ pares · $X = 6$ : $1$ pares

4. Verificamos el total. $11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36$ , que son los $36$ resultados. Cada par tiene que aportar a exactamente un valor de $X$ .

5. Lo que muestra el conteo. Los valores de $X$ no son equiprobables aunque los pares sí lo sean. Por eso el recorrido de $X$ no sirve como espacio muestral para aplicar la definición clásica.

Respuesta: $R_X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $11$ casos para $X = 1$ ; $9$ casos para $X = 2$ ; $7$ casos para $X = 3$ ; $5$ casos para $X = 4$ ; $3$ casos para $X = 5$ ; $1$ casos para $X = 6$

12. Una variable aleatoria discreta $X$ tiene recorrido $R_X = \{1; 2; 3; 5\}$ . Se define $Y = 2X + 6$ . Escribí el recorrido de $Y$ y explicá por qué $Y$ también es una variable aleatoria.

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1. Vemos qué es $Y$ . $Y$ se obtiene aplicando una regla a $X$ , y $X$ ya le asigna un número a cada resultado del experimento. La composición sigue siendo una función del espacio muestral en los números, así que $Y$ es una variable aleatoria.

2. Transformamos cada valor. $2 \cdot 1 + 6 = 8$ · $2 \cdot 2 + 6 = 10$ · $2 \cdot 3 + 6 = 12$ · $2 \cdot 5 + 6 = 16$

3. Escribimos el recorrido. $R_Y = \{8; 10; 12; 16\}$

4. Notamos qué se conserva. Hay tantos valores en $R_Y$ como en $R_X$ , y en el mismo orden, porque la transformación es lineal con pendiente $2 > 0$ . Cada valor de $Y$ ocurre exactamente cuando ocurre el valor de $X$ que le dio origen.

5. Qué se hereda y qué no. Las probabilidades se heredan sin cambio: $P(Y = 8) = P(X = 1)$ . Lo que sí cambia son la esperanza y la varianza, que se recalculan con las fórmulas de transformación lineal.

Respuesta: $R_Y = \{8; 10; 12; 16\}$