Ejercicios: Bayes en pruebas diagnósticas

1. Una condición poco frecuente afecta al $0{,}5\%$ de la población. Una prueba tiene sensibilidad $96\%$ y especificidad $94\%$ . Una persona da positivo. Calculá la probabilidad de que esté afectada.

Ver solución

1. Traducimos los tres datos. Prevalencia: $P(afectada) = 0{,}005$ . Sensibilidad: $P(+ | afectada) = 0{,}96$ . Especificidad: $P(- | no afectada) = 0{,}94$ , así que $P(+ | no afectada) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06$ .

2. Calculamos los verdaderos positivos. $0{,}005 \cdot 0{,}96 = 0{,}0048$

3. Calculamos los falsos positivos. $0{,}995 \cdot 0{,}06 = 0{,}0597$

4. Sumamos para obtener todos los positivos. $P(+) = 0{,}0048 + 0{,}0597 = 0{,}0645$

5. Aplicamos Bayes. $P(afectada | +) = \dfrac{0{,}0048}{0{,}0645} \approx 0{,}0744$ , o sea el $7{,}44\%$ .

6. Por qué el resultado sorprende. La prueba es muy buena y aun así la mayoría de los positivos son falsos. La razón es que hay muchísima más gente no afectada que afectada: un porcentaje chico de errores sobre una población enorme pesa más que todos los aciertos sobre una población chica.

Respuesta: El valor predictivo positivo es $0{,}0744$ , o sea el $7{,}44\%$

2. En una población de $1000$ personas, una condición poco frecuente afecta al $2\%$ . Una prueba tiene sensibilidad $94\%$ y especificidad $90\%$ . Calculá, contando personas, cuántas dan positivo y qué proporción de ellas está afectada.

Ver solución

1. Repartimos la población. Afectadas: $0{,}02 \cdot 1000 = 20$ . No afectadas: $1000 - 20 = 980$ .

2. Contamos los positivos entre las personas afectadas. $20 \cdot 0{,}94 \approx 19$ verdaderos positivos.

3. Contamos los positivos entre las no afectadas. $980 \cdot 0{,}1 = 98$ falsos positivos.

4. Sumamos los positivos. $19 + 98 = 117$ personas dan positivo en total.

5. Calculamos la proporción pedida. $\dfrac{19}{117} \approx 0{,}1624$ , o sea el $16{,}24\%$ .

6. Por qué conviene pensar en personas. Con los $98$ falsos positivos y los $19$ verdaderos a la vista, la respuesta se entiende sin dividir nada. Los porcentajes esconden que la población no afectada es mucho más grande.

Respuesta: Dan positivo $117$ personas y $19$ de ellas están afectadas: el $16{,}24\%$

3. La misma prueba, con sensibilidad $95\%$ y especificidad $98\%$ , se aplica en dos poblaciones. En la primera la prevalencia es $0{,}002$ y en la segunda $0{,}1$ . Calculá el valor predictivo positivo en cada una y explicá la diferencia.

Ver solución

1. Calculamos los positivos en la primera población. Verdaderos: $0{,}002 \cdot 0{,}95 = 0{,}0019$ . Falsos: $0{,}998 \cdot 0{,}02 \approx 0{,}02$ . Total: $0{,}0219$ .

2. Calculamos el valor predictivo positivo en la primera. $\dfrac{0{,}0019}{0{,}0219} \approx 0{,}0869$

3. Repetimos con la segunda población. Verdaderos: $0{,}095$ . Falsos: $0{,}018$ . Valor predictivo: $0{,}8407$ .

4. Comparamos. $0{,}0869$ contra $0{,}8407$ , con la misma prueba. La diferencia la hace la prevalencia.

5. Explicamos por qué. La sensibilidad y la especificidad describen a la prueba y no cambian. Pero el valor predictivo compara verdaderos contra falsos positivos, y cuántos falsos aparecen depende de cuánta gente no afectada haya.

6. La consecuencia práctica. Un test que funciona bien en pacientes con síntomas puede ser inútil como tamizaje sobre población general, donde la prevalencia es mucho más baja.

Respuesta: El valor predictivo es $0{,}0869$ en la población de baja prevalencia y $0{,}8407$ en la otra

4. Una enfermedad afecta al $2\%$ de una población. Una prueba tiene sensibilidad $94\%$ y especificidad $90\%$ . Una persona da negativo. Calculá la probabilidad de que efectivamente no esté enferma.

Ver solución

1. Identificamos qué se pide. Es el valor predictivo negativo: $P(sana | -)$ . No es la especificidad, que es $P(- | sana)$ : la barra va al revés.

2. Calculamos los verdaderos negativos. $0{,}98 \cdot 0{,}9 = 0{,}882$

3. Calculamos los falsos negativos. Son personas afectadas a las que la prueba no detecta: $0{,}02 \cdot 0{,}06 = 0{,}0012$ .

4. Sumamos todos los negativos. $P(-) = 0{,}882 + 0{,}0012 = 0{,}8832$

5. Aplicamos Bayes. $P(sana | -) = \dfrac{0{,}882}{0{,}8832} \approx 0{,}9986$ , o sea el $99{,}86\%$ .

6. Cómo se compara con el otro valor predictivo. Con enfermedades poco frecuentes el valor predictivo negativo es altísimo y el positivo bajo. Un negativo tranquiliza mucho más de lo que un positivo confirma.

Respuesta: El valor predictivo negativo es $0{,}9986$ , o sea el $99{,}86\%$

5. Una falla oculta afecta al $0{,}1\%$ de la población. Una prueba tiene sensibilidad $95\%$ y especificidad $96\%$ . Una persona da positivo. Calculá la probabilidad de que esté fallada.

Ver solución

1. Traducimos los tres datos. Prevalencia: $P(fallada) = 0{,}001$ . Sensibilidad: $P(+ | fallada) = 0{,}95$ . Especificidad: $P(- | correcta) = 0{,}96$ , así que $P(+ | correcta) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04$ .

2. Calculamos los verdaderos positivos. $0{,}001 \cdot 0{,}95 \approx 0{,}0009$

3. Calculamos los falsos positivos. $0{,}999 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}04$

4. Sumamos para obtener todos los positivos. $P(+) = 0{,}0009 + 0{,}04 = 0{,}0409$

5. Aplicamos Bayes. $P(fallada | +) = \dfrac{0{,}0009}{0{,}0409} \approx 0{,}0232$ , o sea el $2{,}32\%$ .

6. Por qué el resultado sorprende. La prueba es muy buena y aun así la mayoría de los positivos son falsos. La razón es que hay muchísima más gente correcta que fallada: un porcentaje chico de errores sobre una población enorme pesa más que todos los aciertos sobre una población chica.

Respuesta: El valor predictivo positivo es $0{,}0232$ , o sea el $2{,}32\%$

6. En una población de $10000$ personas, una falla oculta afecta al $4\%$ . Una prueba tiene sensibilidad $94\%$ y especificidad $95\%$ . Calculá, contando personas, cuántas dan positivo y qué proporción de ellas está fallada.

Ver solución

1. Repartimos la población. Falladas: $0{,}04 \cdot 10000 = 400$ . Correctas: $10000 - 400 = 9600$ .

2. Contamos los positivos entre las personas afectadas. $400 \cdot 0{,}94 = 376$ verdaderos positivos.

3. Contamos los positivos entre las no afectadas. $9600 \cdot 0{,}05 = 480$ falsos positivos.

4. Sumamos los positivos. $376 + 480 = 856$ personas dan positivo en total.

5. Calculamos la proporción pedida. $\dfrac{376}{856} \approx 0{,}4393$ , o sea el $43{,}93\%$ .

6. Por qué conviene pensar en personas. Con los $480$ falsos positivos y los $376$ verdaderos a la vista, la respuesta se entiende sin dividir nada. Los porcentajes esconden que la población no afectada es mucho más grande.

Respuesta: Dan positivo $856$ personas y $376$ de ellas están falladas: el $43{,}93\%$

7. La misma prueba, con sensibilidad $97\%$ y especificidad $95\%$ , se aplica en dos poblaciones. En la primera la prevalencia es $0{,}001$ y en la segunda $0{,}1$ . Calculá el valor predictivo positivo en cada una y explicá la diferencia.

Ver solución

1. Calculamos los positivos en la primera población. Verdaderos: $0{,}001 \cdot 0{,}97 \approx 0{,}001$ . Falsos: $0{,}999 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}05$ . Total: $0{,}0509$ .

2. Calculamos el valor predictivo positivo en la primera. $\dfrac{0{,}001}{0{,}0509} \approx 0{,}019$

3. Repetimos con la segunda población. Verdaderos: $0{,}097$ . Falsos: $0{,}045$ . Valor predictivo: $0{,}6831$ .

4. Comparamos. $0{,}019$ contra $0{,}6831$ , con la misma prueba. La diferencia la hace la prevalencia.

5. Explicamos por qué. La sensibilidad y la especificidad describen a la prueba y no cambian. Pero el valor predictivo compara verdaderos contra falsos positivos, y cuántos falsos aparecen depende de cuánta gente no afectada haya.

6. La consecuencia práctica. Un test que funciona bien en pacientes con síntomas puede ser inútil como tamizaje sobre población general, donde la prevalencia es mucho más baja.

Respuesta: El valor predictivo es $0{,}019$ en la población de baja prevalencia y $0{,}6831$ en la otra

8. Una condición poco frecuente afecta al $2\%$ de una población. Una prueba tiene sensibilidad $89\%$ y especificidad $91\%$ . Una persona da negativo. Calculá la probabilidad de que efectivamente no esté afectada.

Ver solución

1. Identificamos qué se pide. Es el valor predictivo negativo: $P(no afectada | -)$ . No es la especificidad, que es $P(- | no afectada)$ : la barra va al revés.

2. Calculamos los verdaderos negativos. $0{,}98 \cdot 0{,}91 = 0{,}8918$

3. Calculamos los falsos negativos. Son personas afectadas a las que la prueba no detecta: $0{,}02 \cdot 0{,}11 = 0{,}0022$ .

4. Sumamos todos los negativos. $P(-) = 0{,}8918 + 0{,}0022 = 0{,}894$

5. Aplicamos Bayes. $P(no afectada | -) = \dfrac{0{,}8918}{0{,}894} \approx 0{,}9975$ , o sea el $99{,}75\%$ .

6. Cómo se compara con el otro valor predictivo. Con enfermedades poco frecuentes el valor predictivo negativo es altísimo y el positivo bajo. Un negativo tranquiliza mucho más de lo que un positivo confirma.

Respuesta: El valor predictivo negativo es $0{,}9975$ , o sea el $99{,}75\%$

9. Una enfermedad afecta al $0{,}1\%$ de la población. Una prueba tiene sensibilidad $96\%$ y especificidad $97\%$ . Una persona da positivo. Calculá la probabilidad de que esté enferma.

Ver solución

1. Traducimos los tres datos. Prevalencia: $P(enferma) = 0{,}001$ . Sensibilidad: $P(+ | enferma) = 0{,}96$ . Especificidad: $P(- | sana) = 0{,}97$ , así que $P(+ | sana) = 1 - 0{,}97 = 0{,}03$ .

2. Calculamos los verdaderos positivos. $0{,}001 \cdot 0{,}96 \approx 0{,}001$

3. Calculamos los falsos positivos. $0{,}999 \cdot 0{,}03 \approx 0{,}03$

4. Sumamos para obtener todos los positivos. $P(+) = 0{,}001 + 0{,}03 \approx 0{,}0309$

5. Aplicamos Bayes. $P(enferma | +) = \dfrac{0{,}001}{0{,}0309} \approx 0{,}031$ , o sea el $3{,}1\%$ .

6. Por qué el resultado sorprende. La prueba es muy buena y aun así la mayoría de los positivos son falsos. La razón es que hay muchísima más gente sana que enferma: un porcentaje chico de errores sobre una población enorme pesa más que todos los aciertos sobre una población chica.

Respuesta: El valor predictivo positivo es $0{,}031$ , o sea el $3{,}1\%$

10. En una población de $10000$ personas, una enfermedad afecta al $2\%$ . Una prueba tiene sensibilidad $95\%$ y especificidad $93\%$ . Calculá, contando personas, cuántas dan positivo y qué proporción de ellas está enferma.

Ver solución

1. Repartimos la población. Enfermas: $0{,}02 \cdot 10000 = 200$ . Sanas: $10000 - 200 = 9800$ .

2. Contamos los positivos entre las personas afectadas. $200 \cdot 0{,}95 = 190$ verdaderos positivos.

3. Contamos los positivos entre las no afectadas. $9800 \cdot 0{,}07 = 686$ falsos positivos.

4. Sumamos los positivos. $190 + 686 = 876$ personas dan positivo en total.

5. Calculamos la proporción pedida. $\dfrac{190}{876} \approx 0{,}2169$ , o sea el $21{,}69\%$ .

6. Por qué conviene pensar en personas. Con los $686$ falsos positivos y los $190$ verdaderos a la vista, la respuesta se entiende sin dividir nada. Los porcentajes esconden que la población no afectada es mucho más grande.

Respuesta: Dan positivo $876$ personas y $190$ de ellas están enfermas: el $21{,}69\%$

11. La misma prueba, con sensibilidad $97\%$ y especificidad $95\%$ , se aplica en dos poblaciones. En la primera la prevalencia es $0{,}002$ y en la segunda $0{,}2$ . Calculá el valor predictivo positivo en cada una y explicá la diferencia.

Ver solución

1. Calculamos los positivos en la primera población. Verdaderos: $0{,}002 \cdot 0{,}97 \approx 0{,}0019$ . Falsos: $0{,}998 \cdot 0{,}05 = 0{,}0499$ . Total: $0{,}0518$ .

2. Calculamos el valor predictivo positivo en la primera. $\dfrac{0{,}0019}{0{,}0518} \approx 0{,}0374$

3. Repetimos con la segunda población. Verdaderos: $0{,}194$ . Falsos: $0{,}04$ . Valor predictivo: $0{,}8291$ .

4. Comparamos. $0{,}0374$ contra $0{,}8291$ , con la misma prueba. La diferencia la hace la prevalencia.

5. Explicamos por qué. La sensibilidad y la especificidad describen a la prueba y no cambian. Pero el valor predictivo compara verdaderos contra falsos positivos, y cuántos falsos aparecen depende de cuánta gente no afectada haya.

6. La consecuencia práctica. Un test que funciona bien en pacientes con síntomas puede ser inútil como tamizaje sobre población general, donde la prevalencia es mucho más baja.

Respuesta: El valor predictivo es $0{,}0374$ en la población de baja prevalencia y $0{,}8291$ en la otra

12. Una falla oculta afecta al $10\%$ de una población. Una prueba tiene sensibilidad $88\%$ y especificidad $91\%$ . Una persona da negativo. Calculá la probabilidad de que efectivamente no esté fallada.

Ver solución

1. Identificamos qué se pide. Es el valor predictivo negativo: $P(correcta | -)$ . No es la especificidad, que es $P(- | correcta)$ : la barra va al revés.

2. Calculamos los verdaderos negativos. $0{,}9 \cdot 0{,}91 = 0{,}819$

3. Calculamos los falsos negativos. Son personas afectadas a las que la prueba no detecta: $0{,}1 \cdot 0{,}12 = 0{,}012$ .

4. Sumamos todos los negativos. $P(-) = 0{,}819 + 0{,}012 = 0{,}831$

5. Aplicamos Bayes. $P(correcta | -) = \dfrac{0{,}819}{0{,}831} \approx 0{,}9856$ , o sea el $98{,}56\%$ .

6. Cómo se compara con el otro valor predictivo. Con enfermedades poco frecuentes el valor predictivo negativo es altísimo y el positivo bajo. Un negativo tranquiliza mucho más de lo que un positivo confirma.

Respuesta: El valor predictivo negativo es $0{,}9856$ , o sea el $98{,}56\%$