Integradores de Probabilidad

1. Vemos por qué el experimento es aleatorio. Antes de sacar la bolilla no se puede predecir cuál sale, pero sí se sabe cuáles son todos los resultados posibles. Eso es un experimento aleatorio.

2. Listamos los resultados posibles. Cada bolilla de la urna es un resultado distinto, aunque dos tengan el mismo color: el espacio muestral son las bolillas, no los colores.

3. Contamos. $5 + 3 + 4 = 12$ resultados posibles, todos con la misma chance porque las bolillas son iguales al tacto.

Respuesta: el espacio muestral tiene $12$ resultados equiprobables

b)

1. Distinguimos suceso de suceso elemental. Cada una de las $12$ bolillas de a) es un suceso elemental. Un suceso es cualquier conjunto de ellos.

2. Armamos el suceso. Salir roja es el conjunto formado por todas las bolillas rojas de la urna.

3. Contamos sus elementos. Son $5$ bolillas rojas, así que el suceso tiene $5$ casos favorables.

Respuesta: el suceso salir roja tiene $5$ casos favorables

c)

1. Verificamos que se puede usar la definición clásica. Los $12$ resultados son equiprobables, que es la condición para dividir favorables sobre posibles.

2. Armamos el cociente. $\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{12}$.

3. Interpretamos. Poco menos de la mitad de las bolillas son rojas, y la probabilidad $\dfrac{5}{12} \approx 0{,}4167$ lo refleja.

Respuesta: la probabilidad de sacar roja es $\dfrac{5}{12} \approx 0{,}4167$

d)

1. Vemos si el orden importa. Las bolillas se sacan juntas, así que sacar la primera y la segunda es lo mismo que sacar la segunda y la primera: el orden no cuenta.

2. Elegimos la fórmula. Es una combinación: se eligen $3$ bolillas entre las $12$ que contamos en a), sin repetir y sin ordenar.

3. Calculamos. $\dbinom{12}{3} = 220$ puñados distintos.

4. Anotamos para qué sirve. Ese $220$ es el denominador de cualquier probabilidad que se quiera calcular sobre extracciones de tres bolillas.

Respuesta: hay $220$ maneras de formar el puñado

1. Reconocemos el experimento. Sacar una lapicera sin mirar tiene resultado incierto y conjunto de resultados conocido: es aleatorio.

2. Definimos el espacio muestral. Es el conjunto de todas las lapiceras que pueden salir, una por una.

3. Contamos. $8 + 6 + 1 = 15$ lapiceras, y cada una tiene la misma chance de salir.

Respuesta: el espacio muestral tiene $15$ elementos equiprobables

b)

1. Volvemos a los elementos. De las $15$ lapiceras de a), cada una es un suceso elemental.

2. Recortamos el suceso. Salir azul junta a todas las lapiceras azules y a ninguna otra.

3. Contamos. El suceso tiene $8$ sucesos elementales.

Respuesta: el suceso salir azul tiene $8$ sucesos elementales

c)

1. Chequeamos la equiprobabilidad. Las lapiceras son indistinguibles al tacto, así que se puede usar la definición clásica.

2. Dividimos favorables sobre posibles. $\dfrac{8}{15} = \dfrac{8}{15}$.

3. Leemos el número. Da algo más de la mitad: $\dfrac{8}{15} \approx 0{,}5333$.

Respuesta: la probabilidad de sacar azul es $\dfrac{8}{15} \approx 0{,}5333$

d)

1. Definimos el complementario. Es el suceso que ocurre exactamente cuando el otro no ocurre: acá, sacar una lapicera que no sea azul.

2. Usamos que las dos probabilidades suman uno. $1 - \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15}$.

3. Verificamos que no pueden ocurrir juntos. Una misma lapicera no puede ser azul y no azul a la vez, así que la intersección de los dos sucesos es vacía y son incompatibles.

4. Controlamos. $\dfrac{8}{15} + \dfrac{7}{15} = 1$, que es lo que tiene que dar un suceso y su complementario.

Respuesta: el complementario tiene probabilidad $\dfrac{7}{15} \approx 0{,}4667$ y los dos sucesos son incompatibles

1. Contamos el total. $9 + 5 + 2 = 16$ fichas en la bolsa.

2. Recortamos el primer suceso. Salir verde reúne $9$ fichas.

3. Recortamos el segundo. Salir amarilla reúne $5$ fichas, y ninguna ficha está en los dos sucesos a la vez.

Respuesta: salir verde tiene $9$ casos favorables y salir amarilla $5$, sobre $16$ fichas

b)

1. Aplicamos la definición clásica. Las fichas son iguales salvo por el color, así que todas tienen la misma chance.

2. Calculamos la de verde. $\dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{16}$.

3. Calculamos la de amarilla. $\dfrac{5}{16} = \dfrac{5}{16}$.

Respuesta: probabilidad $\dfrac{9}{16}$ para verde y $\dfrac{5}{16}$ para amarilla

c)

1. Escribimos la regla general. La probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades menos la de la intersección.

2. Miramos la intersección. Ninguna ficha es verde y amarilla al mismo tiempo, así que la intersección tiene probabilidad cero y el término que se resta desaparece.

3. Sumamos. $\dfrac{9}{16} + \dfrac{5}{16} = \dfrac{7}{8}$.

4. Controlamos. Queda por debajo de uno, y lo que falta para llegar es justo la probabilidad de sacar roja.

Respuesta: la probabilidad de verde o amarilla es $\dfrac{7}{8} \approx 0{,}875$

d)

1. Vemos si el orden cuenta. Se sacan las dos juntas, así que un par queda determinado por qué fichas lo forman y no por en qué orden salieron.

2. Elegimos la fórmula. Es una combinación de las $16$ fichas tomadas de a $2$.

3. Calculamos. $\dbinom{16}{2} = 120$ pares.

Respuesta: se pueden formar $120$ pares distintos

1. Ubicamos la celda. El cruce de fuma con tos vale $30$ personas.

2. Dividimos por el total. $\dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$.

3. Sumamos la fila para la marginal de fumar. $30 + 20 = 50$, y $\dfrac{50}{200} = \dfrac{1}{4}$.

4. Sumamos la columna para la marginal de tos. $30 + 25 = 55$, y $\dfrac{55}{200} = \dfrac{11}{40}$.

Respuesta: la conjunta vale $\dfrac{3}{20}$, y las marginales $\dfrac{1}{4}$ para fumar y $\dfrac{11}{40}$ para tos

b)

1. Escribimos la operación. No fumar es el complemento del suceso fumar dentro del mismo espacio muestral.

2. Restamos de uno. $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

3. Verificamos contra la tabla. Sumando la segunda fila, $25 + 125 = 150$, y $\dfrac{150}{200} = \dfrac{3}{4}$: coincide.

Respuesta: la probabilidad de no fumar es $\dfrac{3}{4}$

c)

1. Escribimos la regla de la unión. Se suman las dos marginales y se resta la conjunta, porque quien fuma y tose se contó dos veces.

2. Reemplazamos. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{11}{40} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{8}$.

3. Controlamos con la tabla. Las personas que fuman o tosen son $30 + 20 + 25 = 75$, y dividido $200$ da lo mismo.

Respuesta: la probabilidad de fumar o toser es $\dfrac{3}{8} \approx 0{,}375$

d)

1. Escribimos la condición. Dos sucesos son independientes exactamente cuando la probabilidad conjunta es el producto de las dos marginales.

2. Calculamos el producto. $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{11}{40} = \dfrac{11}{160}$.

3. Comparamos con la conjunta. La conjunta de a) es $\dfrac{3}{20}$, bastante más grande que $\dfrac{11}{160}$.

4. Concluimos. Como no coinciden, los sucesos no son independientes: entre los fumadores la tos aparece más seguido que en el conjunto general.

Respuesta: el producto de las marginales da $\dfrac{11}{160}$ y la conjunta $\dfrac{3}{20}$: no son independientes

1. Tomamos la celda del cruce. Asisten y aprueban $120$ estudiantes de $300$.

2. Calculamos la conjunta. $\dfrac{120}{300} = \dfrac{2}{5}$.

3. Sumamos la fila para la marginal. $120 + 30 = 150$ asisten, y $\dfrac{150}{300} = \dfrac{1}{2}$.

Respuesta: la conjunta vale $\dfrac{2}{5}$ y la marginal de asistir $\dfrac{1}{2}$

b)

1. Sumamos la columna. Aprueban $120 + 40 = 160$ estudiantes.

2. Calculamos la marginal. $\dfrac{160}{300} = \dfrac{8}{15}$.

3. Usamos la consecuencia de los axiomas. Como aprobar y no aprobar cubren todo el espacio muestral y no se pisan, sus probabilidades suman uno: $1 - \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15}$.

4. Controlamos contra la tabla. No aprueban $30 + 110 = 140$, que sobre $300$ da el mismo número.

Respuesta: la probabilidad de aprobar es $\dfrac{8}{15}$ y la de no aprobar $\dfrac{7}{15}$

c)

1. Escribimos la definición. La condicional es la conjunta dividida por la probabilidad del suceso que condiciona, que acá es asistir.

2. Reemplazamos. $\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{4}{5}$.

3. Cuidamos el denominador. Va la marginal de asistir y no la de aprobar: dividir por $\dfrac{8}{15}$ respondería otra pregunta, la de asistir dado que aprueba.

4. Interpretamos. Entre los que asisten, aprueba el $80$ por ciento, bastante más que el $\dfrac{160}{3} \approx 53{,}3333$ por ciento general.

Respuesta: la probabilidad de aprobar dado que asiste es $\dfrac{4}{5}$

d)

1. Calculamos la frecuencia relativa. $\dfrac{260}{500} = \dfrac{13}{25}$.

2. Comparamos con la de b). La probabilidad de aprobar calculada antes era $\dfrac{8}{15} \approx 0{,}5333$, y la frecuencia observada da $\dfrac{13}{25} \approx 0{,}52$.

3. Leemos qué dice la ley de los grandes números. Dice que al repetir el experimento muchas veces la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad. No dice que tenga que coincidir en una cohorte concreta ni que la diferencia baje siempre.

4. Cerramos. Las dos quedan cerca, que es lo esperable con esta cantidad de estudiantes.

Respuesta: la frecuencia relativa es $\dfrac{13}{25} \approx 0{,}52$, cercana a la probabilidad calculada

1. Sumamos la primera fila. $60 + 140 = 200$ compras online.

2. Calculamos la marginal del canal. $\dfrac{200}{400} = \dfrac{1}{2}$.

3. Sumamos la primera columna. $60 + 20 = 80$ devoluciones, y $\dfrac{80}{400} = \dfrac{1}{5}$.

4. Anotamos qué son. Son marginales porque salen de los bordes de la tabla, sin mirar la otra variable.

Respuesta: comprar online tiene probabilidad $\dfrac{1}{2}$ y devolver $\dfrac{1}{5}$

b)

1. Identificamos la operación. No devolver es el complemento de devolver dentro del mismo experimento.

2. Restamos de uno. $1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.

3. Verificamos con la tabla. Las operaciones sin devolución son $140 + 180 = 320$, que sobre $400$ da $\dfrac{4}{5}$.

Respuesta: la probabilidad de no devolver es $\dfrac{4}{5}$

c)

1. Ubicamos la celda del cruce. Online y devuelve son $60$ operaciones, o sea una probabilidad conjunta de $\dfrac{3}{20}$.

2. Dividimos por la marginal del canal. $\dfrac{\dfrac{3}{20}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{10}$.

3. Chequeamos directamente sobre la tabla. De las $200$ compras online se devolvieron $60$, y ese cociente da lo mismo.

4. Comparamos con la marginal. Devolver en general tiene probabilidad $\dfrac{1}{5}$, así que comprar online aumenta la chance de devolución.

Respuesta: la probabilidad de devolver dado que compró online es $\dfrac{3}{10}$

d)

1. Escribimos la regla. La probabilidad de que ocurran los dos es la del primero por la del segundo dado el primero.

2. Reemplazamos. $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{20}$.

3. Comparamos con la lectura directa. Leída de la tabla, la conjunta también da $\dfrac{3}{20}$: la regla del producto no es una fórmula nueva sino la definición de condicional despejada.

4. Anotamos para qué sirve. Sirve cuando el enunciado da la condicional y no la tabla, que es el caso habitual en los árboles.

Respuesta: la conjunta reconstruida vale $\dfrac{3}{20}$

1. Nombramos la operación. El complemento de $A$ es el suceso que ocurre cuando $A$ no ocurre. Junto con $A$ cubre todo el espacio muestral.

2. Escribimos la relación. Como los dos cubren todo y no se pisan, sus probabilidades suman uno.

3. Calculamos. $1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Respuesta: el complemento de $A$ tiene probabilidad $0{,}7$

b)

1. Recordamos la definición. Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, o sea cuando la probabilidad de la intersección es cero.

2. Miramos el dato. El enunciado da $P(A \cap B) = 0{,}15$, que no es cero.

3. Concluimos. Existen resultados en los que ocurren los dos, así que no son incompatibles. Tampoco son complementarios, porque sus probabilidades no suman uno.

Respuesta: la intersección vale $0{,}15$: no son incompatibles

c)

1. Escribimos la regla. La probabilidad de la unión es la suma menos la intersección, porque lo que está en los dos se contó dos veces.

2. Reemplazamos. $0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65$.

3. Vemos por qué no alcanza con sumar. Sumar sin restar daría $0{,}8$, que sobrestima porque cuenta dos veces a quienes están en los dos sucesos.

Respuesta: la probabilidad de la unión es $0{,}65$

d)

1. Escribimos la condición. Son independientes exactamente cuando la probabilidad de la intersección es el producto de las dos probabilidades.

2. Calculamos el producto. $0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15$.

3. Comparamos con el dato. La intersección del enunciado también vale $0{,}15$.

4. Concluimos. Coinciden, así que saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro: son independientes. Independiente no es lo mismo que incompatible, y este ejercicio muestra los dos casos juntos.

Respuesta: el producto da $0{,}15$, igual a la intersección: son independientes

1. Recordamos qué dicen los axiomas. Toda probabilidad está entre cero y uno, la del espacio muestral vale uno, y la de una unión de sucesos incompatibles es la suma.

2. Deducimos la regla del complemento. $A$ y su complemento son incompatibles y su unión es todo el espacio muestral, así que sus probabilidades suman uno.

3. Calculamos. $1 - 0{,}5 = 0{,}5$.

Respuesta: el complemento de $A$ tiene probabilidad $0{,}5$

b)

1. Despejamos la condicional. $P(B \mid A) = \dfrac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5$.

2. Escribimos la regla del producto. La probabilidad de que ocurran los dos es la del primero por la del segundo dado el primero.

3. Verificamos. $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, que es el dato del enunciado.

4. Anotamos lo que se ve. La condicional $0{,}5$ coincide con $P(B)$, así que $A$ y $B$ son independientes de a pares.

Respuesta: la regla del producto da $0{,}25$ para la intersección de $A$ y $B$

c)

1. Chequeamos los pares. Cada producto de a dos da $0{,}25$, que es exactamente la intersección declarada en cada caso. Los tres pares son independientes.

2. Calculamos el producto de los tres. $0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = \dfrac{1}{8}$.

3. Comparamos con la intersección triple. El enunciado da $0{,}25$, que no es $\dfrac{1}{8}$.

4. Concluimos. La independencia de a pares no alcanza: para que tres sucesos sean independientes en conjunto hace falta además que la intersección de los tres sea el producto de los tres. Acá no lo es.

Respuesta: el producto de los tres da $\dfrac{1}{8}$ y la intersección $0{,}25$: no son independientes en conjunto

d)

1. Recordamos la definición. Incompatibles quiere decir que no pueden ocurrir juntos, o sea intersección de probabilidad cero.

2. Miramos el número. La intersección de $A$ y $B$ vale $0{,}25$, muy lejos de cero.

3. Separamos los dos conceptos. Ser independientes y ser incompatibles no solo son cosas distintas: acá son incompatibles entre sí. Si dos sucesos de probabilidad positiva fueran incompatibles, saber que ocurrió uno haría imposible al otro, que es la dependencia más fuerte que hay.

Respuesta: la intersección vale $0{,}25$: $A$ y $B$ no son incompatibles

1. Escribimos la condición. Son independientes cuando la intersección es el producto de las dos probabilidades.

2. Calculamos el producto. $0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$.

3. Comparamos con el dato. El enunciado declara $P(A \cap B) = 0{,}2$, el mismo número.

4. Concluimos. Coinciden exactamente, así que $A$ y $B$ son independientes.

Respuesta: el producto da $0{,}2$, igual a la intersección: son independientes

b)

1. Completamos los otros dos pares. $0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08$ y $0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}1$, y las dos coinciden con lo declarado. Con el par de a), los tres pares son independientes.

2. Miramos la condición que falta. La independencia en conjunto pide además que la intersección de los tres sea el producto de los tres.

3. Calculamos el producto de los tres. $0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$.

4. Comparamos. El enunciado da $0{,}04$, así que también se cumple: los tres son independientes en conjunto.

Respuesta: el producto de los tres da $0{,}04$, igual a la intersección triple: son independientes

c)

1. Nombramos el suceso. Que no ocurran los tres a la vez es el complemento de que ocurran los tres.

2. Aplicamos la consecuencia de los axiomas. $1 - 0{,}04 = 0{,}96$.

3. Cuidamos qué se está calculando. No es la probabilidad de que no ocurra ninguno: es la de que falle al menos uno de los tres controles.

Respuesta: la probabilidad de que no ocurran los tres a la vez es $0{,}96$

d)

1. Dividimos casos observados sobre repeticiones. $\dfrac{25}{500} = 0{,}05$.

2. Comparamos con la teórica. La probabilidad calculada en b) era $0{,}04$, y lo observado da $0{,}05$.

3. Leemos el resultado con cuidado. La ley de los grandes números dice que con muchas repeticiones la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad. No garantiza coincidencia en una serie concreta, y una diferencia de este tamaño es esperable.

4. Cerramos. Los datos observados son compatibles con el modelo del enunciado.

Respuesta: la frecuencia relativa es $0{,}05$, cercana a la probabilidad teórica

1. Recordamos qué es una partición. Los sucesos tienen que ser incompatibles de a dos y su unión tiene que ser todo el espacio muestral.

2. Chequeamos que no se pisan. Cada pieza sale de una sola máquina, así que dos de estos sucesos no pueden ocurrir a la vez.

3. Chequeamos que cubren todo. $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$, así que no queda producción fuera de las tres.

4. Armamos el árbol. Del origen salen tres ramas con esas probabilidades, y de cada una salen dos: con defecto y sin defecto.

Respuesta: las tres previas suman $1$: $0{,}5$, $0{,}3$ y $0{,}2$ forman una partición

b)

1. Identificamos el camino. Es la rama que primero elige B y después toma la salida con defecto.

2. Escribimos la regla. La probabilidad del camino es la de la primera rama por la condicional de la segunda dado que se tomó la primera.

3. Calculamos. $0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$.

4. Interpretamos. De cada mil piezas producidas, alrededor de $60$ vienen de B y salen defectuosas.

Respuesta: la probabilidad de venir de B y ser defectuosa es $0{,}06$

c)

1. Calculamos las otras dos ramas. $0{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}05$ y $0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$.

2. Sumamos con la rama de b). $0{,}05 + 0{,}06 + 0{,}06 = 0{,}17$.

3. Vemos por qué se pueden sumar. Los tres caminos llevan al mismo suceso final y son incompatibles entre sí, porque la pieza vino de una sola máquina.

4. Controlamos el orden de magnitud. El resultado $0{,}17$ queda entre la peor y la mejor de las tres proporciones de defecto, como tiene que ser en un promedio ponderado.

Respuesta: la probabilidad de que una pieza salga defectuosa es $0{,}17$

d)

1. Vemos que se invierte el condicionamiento. El árbol da la probabilidad de defecto dado el origen. Acá se pide el origen dado el defecto, que es la pregunta al revés.

2. Escribimos el teorema de Bayes. Es la rama que interesa dividida por la suma de todas las ramas que llegan al mismo suceso.

3. Reemplazamos. $\dfrac{0{,}05}{0{,}17} = \dfrac{5}{17}$.

4. Interpretamos. A es la máquina que menos falla, pero produce la mitad del total, así que igual aporta $\dfrac{5}{17} \approx 0{,}2941$ de las piezas defectuosas.

Respuesta: la probabilidad de que venga de A dado que es defectuosa es $\dfrac{5}{17} \approx 0{,}2941$

1. Chequeamos que no se pisan. Una persona no puede estar enferma y sana a la vez, así que los dos sucesos son incompatibles.

2. Chequeamos que cubren todo. $0{,}1 + 0{,}9 = 1$, así que entre los dos agotan la población.

3. Armamos el árbol. Del origen salen dos ramas, enfermo y sano, y de cada una salen dos: test positivo y test negativo.

Respuesta: las previas $0{,}1$ y $0{,}9$ suman $1$: forman una partición

b)

1. Definimos la sensibilidad. Es la probabilidad de que el test dé positivo en alguien que está enfermo.

2. La leemos del enunciado. Es la condicional de la rama enfermo: $0{,}9$.

3. Definimos la especificidad. Es la probabilidad de que el test dé negativo en alguien sano, o sea el complemento de dar positivo estando sano.

4. La calculamos. $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Respuesta: sensibilidad $0{,}9$ y especificidad $0{,}8$

c)

1. Calculamos la rama de los enfermos. $0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09$.

2. Calculamos la rama de los sanos. $0{,}9 \cdot 0{,}2 = 0{,}18$.

3. Sumamos las dos. $0{,}09 + 0{,}18 = 0{,}27$.

4. Miramos de dónde viene el resultado. La mayor parte de los positivos viene de la rama de los sanos, simplemente porque los sanos son muchísimos más.

Respuesta: la probabilidad de que el test dé positivo es $0{,}27$

d)

1. Planteamos la inversión. Los datos dan la probabilidad de positivo dado el estado. Se pide el estado dado el positivo.

2. Aplicamos Bayes. $\dfrac{0{,}09}{0{,}27} = \dfrac{1}{3}$.

3. Leemos el resultado. Con un test de sensibilidad $0{,}9$, un positivo deja la probabilidad de estar enfermo en $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$, muy lejos de la certeza.

4. Explicamos por qué. La enfermedad es rara, así que los falsos positivos entre los sanos superan en cantidad a los verdaderos positivos entre los enfermos. Confundir la sensibilidad con esta probabilidad es el error clásico del tema.

Respuesta: la probabilidad de estar enfermo dado un test positivo es $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

1. Leemos la sensibilidad. Es la probabilidad de positivo en un enfermo, que el enunciado da directo: $0{,}9$.

2. Pasamos al otro grupo. Entre los sanos, el test da positivo con probabilidad $0{,}1$: son los falsos positivos.

3. Calculamos la especificidad. Es el complemento del falso positivo: $1 - 0{,}1 = 0{,}9$.

4. Anotamos la diferencia. Sensibilidad y especificidad se calculan dentro de cada grupo de enfermos y sanos, y por eso no dependen de cuán frecuente sea la enfermedad.

Respuesta: sensibilidad $0{,}9$ y especificidad $0{,}9$

b)

1. Armamos la rama de los enfermos. $0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}18$.

2. Armamos la rama de los sanos. $0{,}8 \cdot 0{,}1 = 0{,}08$.

3. Sumamos los dos caminos. $0{,}18 + 0{,}08 = 0{,}26$.

4. Miramos la composición. Los positivos que vienen de sanos casi duplican a los que vienen de enfermos, y eso es lo que va a decidir el resultado de la próxima consigna.

Respuesta: la probabilidad de un resultado positivo es $0{,}26$

c)

1. Escribimos el teorema. La posterior es la rama que interesa sobre la suma de todas las ramas que terminan en positivo.

2. Reemplazamos. $\dfrac{0{,}18}{0{,}26} = \dfrac{9}{13}$.

3. Aproximamos para leerlo. $\dfrac{9}{13} \approx 0{,}6923$, o sea menos de la mitad.

4. Comparamos con la previa. Antes del test la probabilidad de estar enfermo era $0{,}2$. El positivo la sube muchísimo, pero no alcanza para dar por hecho el diagnóstico.

Respuesta: la probabilidad de estar enfermo dado el positivo es $\dfrac{9}{13} \approx 0{,}6923$

d)

1. Planteamos la condicional. Es la probabilidad de la intersección sano y positivo dividida por la probabilidad de positivo.

2. Reemplazamos. $\dfrac{0{,}08}{0{,}26} = \dfrac{4}{13}$.

3. Controlamos con c). Estar enfermo y estar sano son complementarios dentro del grupo de los positivos, así que $\dfrac{9}{13} + \dfrac{4}{13} = 1$, y se cumple.

4. Leemos qué significa. Más de la mitad de los positivos corresponde a gente sana, que es la razón por la que un tamizaje positivo se confirma con un segundo estudio.

Respuesta: la probabilidad de estar sano dado el positivo es $\dfrac{4}{13} \approx 0{,}3077$