La regla del producto

La regla del producto sale de despejar la probabilidad condicional. Dice que la probabilidad de que ocurran dos sucesos es la del primero por la del segundo dado el primero.

Es la herramienta para calcular probabilidades de secuencias, cuando las cosas ocurren una después de otra.

El caso típico es extraer bolillas de una urna sin reposición. La probabilidad de la primera es directa, pero la de la segunda depende de qué salió antes, porque quedan menos bolillas.

Para tres o más sucesos la regla se extiende encadenando: cada uno se condiciona a todos los anteriores.

Al aplicarla hay que ir actualizando la situación en cada paso. Si se sacó una bolilla roja, en el paso siguiente hay una roja menos y un total menos.

Cuando hay reposición la situación no cambia entre extracciones, y ahí las probabilidades condicionales coinciden con las simples. Ese es exactamente el caso de la independencia.

El diagrama de árbol es la forma visual de aplicar la regla: cada camino es un producto.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)

Cuándo se usa

Cuando hay extracciones sucesivas o eventos en secuencia. Si es sin reposición, actualizá las cantidades en cada paso. El árbol ayuda a no perderse: cada rama es un producto.

Ejemplo 1

Una urna tiene $4$ rojas $y 6$ azules. Se sacan $2$ sin reposición. Calcular la probabilidad de que las dos sean rojas usando la regla del producto.

Calculamos la primera etapa. $P(primera roja) = 4/10$ .
Calculamos la segunda condicionada. Quedan $3$ rojas entre $9$ bolillas: $3/9$ .
Multiplicamos. $(4/10) \cdot (3/9) = 12/90 \approx 0{,}133$ , el mismo valor que daba el conteo del subtema $10$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}133$

Ejemplo 2

De un mazo de $40$ cartas se sacan $3$ sin reposición. Calcular la probabilidad de que las tres sean de oro.

Escribimos las tres etapas. Hay $10$ oros en $40$ cartas.
Encadenamos condicionando a lo anterior. $(10/40) \cdot (9/39) \cdot (8/38)$ .
Resolvemos. $720 / 59.280 \approx 0{,}0121$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}0121$

Error típico

Usar la misma probabilidad en las dos etapas cuando no hay reposición. Después de sacar una roja quedan tres rojas y nueve bolillas, no cuatro y diez.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .