El teorema de Bayes

Bayes permite invertir una probabilidad condicional. Si se sabe la probabilidad de un efecto dado la causa, permite calcular la de la causa dado el efecto.

Es exactamente lo que hace falta en diagnóstico: se conoce qué tan seguido un test da positivo en enfermos, y se quiere saber qué probabilidad hay de estar enfermo habiendo dado positivo.

La fórmula sale de la definición de probabilidad condicional aplicada en los dos sentidos. En el numerador va el aporte del caso que interesa, y en el denominador la probabilidad total.

En la práctica se calcula con un árbol: se identifica la rama que interesa, y se divide su probabilidad por la suma de todas las ramas que llevan al mismo resultado observado.

Lo que hace Bayes es actualizar una creencia. La probabilidad antes de observar nada se llama a priori, y la que queda después de la observación se llama a posteriori.

El resultado suele ser contraintuitivo, sobre todo cuando la probabilidad a priori es muy chica. Ese efecto es el que hace que un test muy preciso pueda dar más falsos positivos que verdaderos.

P(Ai | B) = P(Ai) \cdot P(B | Ai) / P(B)

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da una condicional en un sentido y pide la del sentido contrario. Armá el árbol, tomá la rama que interesa y dividila por la suma de todas las que llegan al mismo resultado.

Ejemplo 1

Con la enfermedad del $4$ %, la prueba que detecta al $98$ % de los enfermos y da falso positivo en el $3$ % de los sanos, calcular la probabilidad de estar enfermo habiendo dado positivo.

Escribimos el numerador. Es la rama de enfermo y positivo: $0{,}04 \cdot 0{,}98 = 0{,}0392$ .
Escribimos el denominador. Es la probabilidad total de positivo, calculada en el subtema $16$ : $0{,}068$ .
Dividimos. $0{,}0392 / 0{,}068 \approx 0{,}576$ , es decir alrededor del $58 \%$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}576$

Ejemplo 2

Dos máquinas producen el $70$ % y el $30$ % de las piezas, con fallas del $2$ % y del $5$ %. Una pieza salió fallada. Calcular la probabilidad de que la haya hecho la segunda máquina.

Escribimos la rama que interesa. $0{,}30 \cdot 0{,}05 = 0{,}015$ .
Escribimos la suma de todas las ramas falladas. $0{,}70 \cdot 0{,}02 + 0{,}30 \cdot 0{,}05 = 0{,}029$ .
Dividimos. $0{,}015 / 0{,}029 \approx 0{,}517$ . Aunque produce menos de un tercio de las piezas, aporta más de la mitad de las falladas.
Respuesta: $P \approx 0{,}517$

Error típico

Dar como respuesta la condicional que trae el enunciado. Si el dato es la probabilidad de positivo dado enfermo, no es la respuesta a cuán probable es estar enfermo dado positivo.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

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