Probabilidad total

El teorema de la probabilidad total calcula la probabilidad de un suceso descomponiéndolo según una partición.

La idea es que si el suceso puede ocurrir dentro de cualquiera de los casos de la partición, su probabilidad es la suma de lo que aporta cada caso.

Cada aporte es la probabilidad del caso multiplicada por la probabilidad del suceso dentro de ese caso. O sea, un producto por cada rama del árbol.

El resultado es un promedio ponderado: se promedian las probabilidades condicionales, pesando cada una por lo probable que es su caso.

El ejemplo clásico es una fábrica con varias máquinas que producen distintas proporciones y tienen distintas tasas de falla. La probabilidad de que una pieza salga defectuosa es el promedio ponderado de las tasas.

En el árbol, aplicar el teorema es sumar todos los caminos que llegan al suceso.

Un chequeo útil: el resultado tiene que quedar entre la menor y la mayor de las probabilidades condicionales, porque es un promedio de ellas.

P(B) = P(A_{1}) \cdot P(B | A_{1}) + \dots + P(An) \cdot P(B | An)

Cuándo se usa

Cuando el suceso puede ocurrir por varios caminos alternativos y se conocen las probabilidades de cada uno. Sumá los productos de cada rama. El resultado tiene que quedar entre la menor y la mayor condicional.

Ejemplo 1

Una enfermedad afecta al $4$ % de la población. La prueba da positivo en el $98$ % de los enfermos y en el $3$ % de los sanos. Calcular la probabilidad de dar positivo.

Identificamos la partición. Estar enfermo y estar sano, con probabilidades $0{,}04$ y $0{,}96$ .
Calculamos las dos ramas. $0{,}04 \cdot 0{,}98 = 0{,}0392$ y $0{,}96 \cdot 0{,}03 = 0{,}0288$ .
Sumamos. $0{,}0392 + 0{,}0288 = 0{,}068$ , es decir el $6{,}8 \%$ .
Respuesta: $P(+) = 0{,}068$

Ejemplo 2

Dos máquinas producen el $70$ % y el $30$ % de las piezas, con tasas de falla del $2$ % y del $5$ %. Calcular la proporción de piezas falladas.

Escribimos las dos ramas. $0{,}70 \cdot 0{,}02$ y $0{,}30 \cdot 0{,}05$ .
Resolvemos cada una. $0{,}014$ y $0{,}015$ .
Sumamos y comparamos. $0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$ . El promedio simple de $2 \%$ y $5 \%$ habría dado $3{,}5 \%$ , que es otro número.
Respuesta: $P = 0{,}029$

Error típico

Promediar las condicionales sin pesarlas. Si una máquina produce el $80$ % y otra el $20$ %, sus tasas de falla no se promedian a medias.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

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