Ejercicios: Probabilidad total

1. En una empresa con tres proveedores, el proveedor $1$ aporta el $37\%$ de la producción, el proveedor $2$ el $31\%$ y el proveedor $3$ el resto. Las tasas con las que un insumo venga fallado son $9\%$ , $1\%$ y $7\%$ . Calculá la probabilidad de que un insumo tomado al azar venga fallado.

Ver solución

1. Verificamos la partición. $P_3 = 1 - 0{,}37 - 0{,}31 = 0{,}32$ , y las tres suman $1$ . Cada unidad viene de una sola fuente.

2. Escribimos el teorema de la probabilidad total. $P(D) = P(A_1) \cdot P(D | A_1) + P(A_2) \cdot P(D | A_2) + P(A_3) \cdot P(D | A_3)$ : un producto por cada rama del árbol.

3. Calculamos el aporte de cada rama. $0{,}37 \cdot 0{,}09 = 0{,}0333$ · $0{,}31 \cdot 0{,}01 = 0{,}0031$ · $0{,}32 \cdot 0{,}07 = 0{,}0224$

4. Sumamos. $P(D) = 0{,}0588$

5. Verificamos con el chequeo del promedio ponderado. El resultado tiene que quedar entre la menor y la mayor de las tasas: $0{,}01 \leq 0{,}0588 \leq 0{,}09$ . Se cumple.

6. Cómo leer el resultado. Es un promedio de las tasas, pesado por cuánto produce cada fuente. La que más produce pesa más, aunque su tasa de falla no sea la más alta.

Respuesta: $P(venga fallado) = 0{,}0588$

2. Dos líneas de producción aportan el $72\%$ y el $28\%$ de las piezas, con tasas de falla $2\%$ y $11\%$ . Alguien estima la tasa global promediando las dos: $6{,}5\%$ . Calculá la tasa global correcta y explicá por qué la estimación está mal.

Ver solución

1. Calculamos la tasa global con probabilidad total. $P(D) = 0{,}72 \cdot 0{,}02 + 0{,}28 \cdot 0{,}11 = 0{,}0144 + 0{,}0308 = 0{,}0452$

2. Comparamos con el promedio simple. El promedio simple da $\dfrac{0{,}02 + 0{,}11}{2} = 0{,}065$ , distinto de $0{,}0452$ .

3. Explicamos la diferencia. La probabilidad total es un promedio ponderado, no simple. La línea que produce el $72\%$ pesa mucho más en el resultado, así que la tasa global se parece más a la suya.

4. Verificamos con el chequeo del rango. $0{,}02 \leq 0{,}0452 \leq 0{,}11$ : el resultado siempre queda entre la menor y la mayor de las tasas condicionales, porque es un promedio de ellas.

5. Cuándo coincidirían. Solo si las dos líneas produjeran exactamente la mitad cada una. El promedio simple es el caso particular de pesos iguales.

Respuesta: La tasa global es $0{,}0452$ , no $0{,}065$ : es un promedio ponderado por la producción de cada línea

3. La urna $1$ tiene $6$ bolillas rojas y $5$ negras. La urna $2$ tiene $5$ rojas y $2$ negras. Se elige una urna al azar, con la misma probabilidad cada una, y se extrae una bolilla. Calculá la probabilidad de que salga roja.

Ver solución

1. Identificamos la partición. Los casos son «se eligió la urna $1$ » y «se eligió la urna $2$ »: incompatibles y cubren todo, con probabilidad $0{,}5$ cada uno.

2. Calculamos la probabilidad condicional en cada urna. $P(R | U_1) = \dfrac{6}{11} \approx 0{,}5455$ y $P(R | U_2) = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7143$ .

3. Aplicamos probabilidad total. $P(R) = 0{,}5 \cdot 0{,}5455 + 0{,}5 \cdot 0{,}7143 = 0{,}6299$

4. Verificamos. $0{,}5455 \leq 0{,}6299 \leq 0{,}7143$ , como corresponde a un promedio de las dos.

5. El error frecuente. Juntar todas las bolillas en una sola urna imaginaria daría $\dfrac{11}{18} \approx 0{,}6111$ , que en general es distinto. Eso vale solo si las dos urnas tienen la misma cantidad de bolillas.

Respuesta: $P(\text{roja}) = 0{,}6299$

4. Dos turnos producen el $48\%$ y el $52\%$ de las piezas. La tasa de fallas del primer turno es $5\%$ y la tasa global de la fábrica es $0{,}0604$ . Calculá la tasa de fallas del segundo turno.

Ver solución

1. Escribimos el teorema con la incógnita. $P(D) = P(T_1) \cdot P(D | T_1) + P(T_2) \cdot P(D | T_2)$ , con $P(D | T_2)$ desconocida.

2. Reemplazamos lo conocido. $0{,}0604 = 0{,}48 \cdot 0{,}05 + 0{,}52 \cdot x$

3. Calculamos el aporte del primer turno. $0{,}48 \cdot 0{,}05 = 0{,}024$ , así que $0{,}52 \cdot x = 0{,}0604 - 0{,}024 = 0{,}0364$ .

4. Despejamos. $x = \dfrac{0{,}0364}{0{,}52} = 0{,}07$

5. Verificamos. $0{,}48 \cdot 0{,}05 + 0{,}52 \cdot 0{,}07 = 0{,}0604$ , la tasa global del enunciado.

6. El chequeo de sentido. La tasa global $0{,}0604$ queda entre $0{,}05$ y $0{,}07$ , como corresponde a un promedio ponderado. Si el despeje hubiera dado un valor fuera de rango o negativo, habría un error en los datos.

Respuesta: La tasa del segundo turno es $0{,}07$ , o sea el $7\%$

5. En una empresa con tres sucursales, la sucursal $1$ aporta el $40\%$ de la producción, la sucursal $2$ el $39\%$ y la sucursal $3$ el resto. Las tasas con las que un pedido llegue tarde son $4\%$ , $1\%$ y $3\%$ . Calculá la probabilidad de que un pedido tomado al azar llegue tarde.

Ver solución

1. Verificamos la partición. $P_3 = 1 - 0{,}4 - 0{,}39 = 0{,}21$ , y las tres suman $1$ . Cada unidad viene de una sola fuente.

2. Escribimos el teorema de la probabilidad total. $P(D) = P(A_1) \cdot P(D | A_1) + P(A_2) \cdot P(D | A_2) + P(A_3) \cdot P(D | A_3)$ : un producto por cada rama del árbol.

3. Calculamos el aporte de cada rama. $0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}016$ · $0{,}39 \cdot 0{,}01 = 0{,}0039$ · $0{,}21 \cdot 0{,}03 = 0{,}0063$

4. Sumamos. $P(D) = 0{,}0262$

5. Verificamos con el chequeo del promedio ponderado. El resultado tiene que quedar entre la menor y la mayor de las tasas: $0{,}01 \leq 0{,}0262 \leq 0{,}04$ . Se cumple.

6. Cómo leer el resultado. Es un promedio de las tasas, pesado por cuánto produce cada fuente. La que más produce pesa más, aunque su tasa de falla no sea la más alta.

Respuesta: $P(llegue tarde) = 0{,}0262$

6. Dos líneas de producción aportan el $69\%$ y el $31\%$ de las piezas, con tasas de falla $1\%$ y $19\%$ . Alguien estima la tasa global promediando las dos: $10\%$ . Calculá la tasa global correcta y explicá por qué la estimación está mal.

Ver solución

1. Calculamos la tasa global con probabilidad total. $P(D) = 0{,}69 \cdot 0{,}01 + 0{,}31 \cdot 0{,}19 = 0{,}0069 + 0{,}0589 = 0{,}0658$

2. Comparamos con el promedio simple. El promedio simple da $\dfrac{0{,}01 + 0{,}19}{2} = 0{,}1$ , distinto de $0{,}0658$ .

3. Explicamos la diferencia. La probabilidad total es un promedio ponderado, no simple. La línea que produce el $69\%$ pesa mucho más en el resultado, así que la tasa global se parece más a la suya.

4. Verificamos con el chequeo del rango. $0{,}01 \leq 0{,}0658 \leq 0{,}19$ : el resultado siempre queda entre la menor y la mayor de las tasas condicionales, porque es un promedio de ellas.

5. Cuándo coincidirían. Solo si las dos líneas produjeran exactamente la mitad cada una. El promedio simple es el caso particular de pesos iguales.

Respuesta: La tasa global es $0{,}0658$ , no $0{,}1$ : es un promedio ponderado por la producción de cada línea

7. La urna $1$ tiene $3$ bolillas rojas y $8$ negras. La urna $2$ tiene $5$ rojas y $3$ negras. Se elige una urna al azar, con la misma probabilidad cada una, y se extrae una bolilla. Calculá la probabilidad de que salga roja.

Ver solución

1. Identificamos la partición. Los casos son «se eligió la urna $1$ » y «se eligió la urna $2$ »: incompatibles y cubren todo, con probabilidad $0{,}5$ cada uno.

2. Calculamos la probabilidad condicional en cada urna. $P(R | U_1) = \dfrac{3}{11} \approx 0{,}2727$ y $P(R | U_2) = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$ .

3. Aplicamos probabilidad total. $P(R) = 0{,}5 \cdot 0{,}2727 + 0{,}5 \cdot 0{,}625 \approx 0{,}4489$

4. Verificamos. $0{,}2727 \leq 0{,}4489 \leq 0{,}625$ , como corresponde a un promedio de las dos.

5. El error frecuente. Juntar todas las bolillas en una sola urna imaginaria daría $\dfrac{8}{19} \approx 0{,}4211$ , que en general es distinto. Eso vale solo si las dos urnas tienen la misma cantidad de bolillas.

Respuesta: $P(\text{roja}) = 0{,}4489$

8. Dos turnos producen el $31\%$ y el $69\%$ de las piezas. La tasa de fallas del primer turno es $3\%$ y la tasa global de la fábrica es $0{,}0507$ . Calculá la tasa de fallas del segundo turno.

Ver solución

1. Escribimos el teorema con la incógnita. $P(D) = P(T_1) \cdot P(D | T_1) + P(T_2) \cdot P(D | T_2)$ , con $P(D | T_2)$ desconocida.

2. Reemplazamos lo conocido. $0{,}0507 = 0{,}31 \cdot 0{,}03 + 0{,}69 \cdot x$

3. Calculamos el aporte del primer turno. $0{,}31 \cdot 0{,}03 = 0{,}0093$ , así que $0{,}69 \cdot x = 0{,}0507 - 0{,}0093 = 0{,}0414$ .

4. Despejamos. $x = \dfrac{0{,}0414}{0{,}69} = 0{,}06$

5. Verificamos. $0{,}31 \cdot 0{,}03 + 0{,}69 \cdot 0{,}06 = 0{,}0507$ , la tasa global del enunciado.

6. El chequeo de sentido. La tasa global $0{,}0507$ queda entre $0{,}03$ y $0{,}06$ , como corresponde a un promedio ponderado. Si el despeje hubiera dado un valor fuera de rango o negativo, habría un error en los datos.

Respuesta: La tasa del segundo turno es $0{,}06$ , o sea el $6\%$

9. En una empresa con tres máquinas, la máquina $1$ aporta el $34\%$ de la producción, la máquina $2$ el $34\%$ y la máquina $3$ el resto. Las tasas con las que una pieza salga defectuosa son $4\%$ , $7\%$ y $6\%$ . Calculá la probabilidad de que una pieza tomado al azar salga defectuosa.

Ver solución

1. Verificamos la partición. $P_3 = 1 - 0{,}34 - 0{,}34 = 0{,}32$ , y las tres suman $1$ . Cada unidad viene de una sola fuente.

2. Escribimos el teorema de la probabilidad total. $P(D) = P(A_1) \cdot P(D | A_1) + P(A_2) \cdot P(D | A_2) + P(A_3) \cdot P(D | A_3)$ : un producto por cada rama del árbol.

3. Calculamos el aporte de cada rama. $0{,}34 \cdot 0{,}04 = 0{,}0136$ · $0{,}34 \cdot 0{,}07 = 0{,}0238$ · $0{,}32 \cdot 0{,}06 = 0{,}0192$

4. Sumamos. $P(D) = 0{,}0566$

5. Verificamos con el chequeo del promedio ponderado. El resultado tiene que quedar entre la menor y la mayor de las tasas: $0{,}04 \leq 0{,}0566 \leq 0{,}07$ . Se cumple.

6. Cómo leer el resultado. Es un promedio de las tasas, pesado por cuánto produce cada fuente. La que más produce pesa más, aunque su tasa de falla no sea la más alta.

Respuesta: $P(salga defectuosa) = 0{,}0566$

10. Dos líneas de producción aportan el $68\%$ y el $32\%$ de las piezas, con tasas de falla $4\%$ y $19\%$ . Alguien estima la tasa global promediando las dos: $11{,}5\%$ . Calculá la tasa global correcta y explicá por qué la estimación está mal.

Ver solución

1. Calculamos la tasa global con probabilidad total. $P(D) = 0{,}68 \cdot 0{,}04 + 0{,}32 \cdot 0{,}19 = 0{,}0272 + 0{,}0608 = 0{,}088$

2. Comparamos con el promedio simple. El promedio simple da $\dfrac{0{,}04 + 0{,}19}{2} = 0{,}115$ , distinto de $0{,}088$ .

3. Explicamos la diferencia. La probabilidad total es un promedio ponderado, no simple. La línea que produce el $68\%$ pesa mucho más en el resultado, así que la tasa global se parece más a la suya.

4. Verificamos con el chequeo del rango. $0{,}04 \leq 0{,}088 \leq 0{,}19$ : el resultado siempre queda entre la menor y la mayor de las tasas condicionales, porque es un promedio de ellas.

5. Cuándo coincidirían. Solo si las dos líneas produjeran exactamente la mitad cada una. El promedio simple es el caso particular de pesos iguales.

Respuesta: La tasa global es $0{,}088$ , no $0{,}115$ : es un promedio ponderado por la producción de cada línea

11. La urna $1$ tiene $4$ bolillas rojas y $7$ negras. La urna $2$ tiene $4$ rojas y $4$ negras. Se elige una urna al azar, con la misma probabilidad cada una, y se extrae una bolilla. Calculá la probabilidad de que salga roja.

Ver solución

1. Identificamos la partición. Los casos son «se eligió la urna $1$ » y «se eligió la urna $2$ »: incompatibles y cubren todo, con probabilidad $0{,}5$ cada uno.

2. Calculamos la probabilidad condicional en cada urna. $P(R | U_1) = \dfrac{4}{11} \approx 0{,}3636$ y $P(R | U_2) = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$ .

3. Aplicamos probabilidad total. $P(R) = 0{,}5 \cdot 0{,}3636 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}4318$

4. Verificamos. $0{,}3636 \leq 0{,}4318 \leq 0{,}5$ , como corresponde a un promedio de las dos.

5. El error frecuente. Juntar todas las bolillas en una sola urna imaginaria daría $\dfrac{8}{19} \approx 0{,}4211$ , que en general es distinto. Eso vale solo si las dos urnas tienen la misma cantidad de bolillas.

Respuesta: $P(\text{roja}) = 0{,}4318$

12. Dos turnos producen el $33\%$ y el $67\%$ de las piezas. La tasa de fallas del primer turno es $2\%$ y la tasa global de la fábrica es $0{,}0468$ . Calculá la tasa de fallas del segundo turno.

Ver solución

1. Escribimos el teorema con la incógnita. $P(D) = P(T_1) \cdot P(D | T_1) + P(T_2) \cdot P(D | T_2)$ , con $P(D | T_2)$ desconocida.

2. Reemplazamos lo conocido. $0{,}0468 = 0{,}33 \cdot 0{,}02 + 0{,}67 \cdot x$

3. Calculamos el aporte del primer turno. $0{,}33 \cdot 0{,}02 = 0{,}0066$ , así que $0{,}67 \cdot x = 0{,}0468 - 0{,}0066 = 0{,}0402$ .

4. Despejamos. $x = \dfrac{0{,}0402}{0{,}67} = 0{,}06$

5. Verificamos. $0{,}33 \cdot 0{,}02 + 0{,}67 \cdot 0{,}06 = 0{,}0468$ , la tasa global del enunciado.

6. El chequeo de sentido. La tasa global $0{,}0468$ queda entre $0{,}02$ y $0{,}06$ , como corresponde a un promedio ponderado. Si el despeje hubiera dado un valor fuera de rango o negativo, habría un error en los datos.

Respuesta: La tasa del segundo turno es $0{,}06$ , o sea el $6\%$