Ejercicios: El teorema de Bayes

1. Dos máquinas producen el $55\%$ y el $45\%$ de las piezas, con tasas de falla $8\%$ y $10\%$ . Se toma una pieza al azar y sale defectuosa. Calculá la probabilidad de que la haya producido la primera máquina.

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1. Identificamos qué se pide. Se conoce $P(D | M_1)$ y se busca $P(M_1 | D)$ : hay que invertir la condicional, que es lo que hace Bayes.

2. Calculamos el denominador con probabilidad total. $P(D) = 0{,}55 \cdot 0{,}08 + 0{,}45 \cdot 0{,}1 = 0{,}044 + 0{,}045 = 0{,}089$

3. Escribimos Bayes como una fracción de ramas. Arriba, la rama que interesa. Abajo, la suma de todas las ramas que terminan en defectuosa.

4. Calculamos. $P(M_1 | D) = \dfrac{0{,}044}{0{,}089} \approx 0{,}4944$

5. Verificamos con la otra causa. $P(M_2 | D) = \dfrac{0{,}045}{0{,}089} \approx 0{,}5056$ , y las dos suman $1$ : toda pieza defectuosa vino de alguna de las dos máquinas.

6. Comparamos con la probabilidad a priori. Antes de saber que era defectuosa, la chance de que viniera de la máquina $1$ era $0{,}55$ . Sabiendo que falló, pasó a $0{,}4944$ : la observación bajó la creencia.

Respuesta: $P(M_1 | D) = 0{,}4944$

2. Tres proveedores aportan el $40\%$ , el $39\%$ y el $21\%$ de los insumos, con tasas de falla $12\%$ , $12\%$ y $11\%$ . Un insumo tomado al azar resulta fallado. Calculá la probabilidad de que venga del proveedor $2$ .

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1. Verificamos la partición. $0{,}4 + 0{,}39 + 0{,}21 = 1$ : cada insumo viene de un solo proveedor.

2. Calculamos las tres ramas que terminan en fallado. $0{,}4 \cdot 0{,}12 = 0{,}048$ · $0{,}39 \cdot 0{,}12 = 0{,}0468$ · $0{,}21 \cdot 0{,}11 = 0{,}0231$

3. Sumamos para obtener la probabilidad total. $P(F) = 0{,}048 + 0{,}0468 + 0{,}0231 = 0{,}1179$

4. Aplicamos Bayes. $P(A_{2} | F) = \dfrac{0{,}0468}{0{,}1179} \approx 0{,}3969$

5. Verificamos que las tres a posteriori sumen uno. 0{,}4071 + 0{,}3969 + 0{,}1959 $= 1$

6. Cómo leerlo. Un proveedor pesa en el resultado por dos cosas a la vez: cuánto aporta y qué tan seguido falla. Acá el proveedor $2$ aporta $0{,}39$ y falla $0{,}12$ , y el producto de esas dos es lo que decide.

Respuesta: $P(\text{proveedor} \ 2 | \text{fallado}) = 0{,}3969$

3. Antes de observar nada, la probabilidad de una hipótesis $H$ es $0{,}28$ . Si $H$ es cierta, cierto indicio aparece con probabilidad $0{,}81$ ; si no lo es, aparece con probabilidad $0{,}32$ . Se observa el indicio. Calculá la probabilidad a posteriori de $H$ y cuánto cambió la creencia.

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1. Nombramos las dos probabilidades. La a priori es $P(H) = 0{,}28$ , la creencia antes de observar. La a posteriori es $P(H | I)$ , la creencia después de ver el indicio.

2. Calculamos la probabilidad del indicio. $P(I) = 0{,}28 \cdot 0{,}81 + 0{,}72 \cdot 0{,}32 = 0{,}2268 + 0{,}2304 = 0{,}4572$

3. Aplicamos Bayes. $P(H | I) = \dfrac{0{,}2268}{0{,}4572} \approx 0{,}4961$

4. Medimos el cambio. La creencia pasó de $0{,}28$ a $0{,}4961$ : subió $0{,}2161$ .

5. Explicamos por qué se movió en esa dirección. El indicio es $2{,}5312$ veces más probable bajo $H$ que sin $H$ . Cuando esa razón supera a $1$ , la evidencia empuja la creencia hacia arriba.

6. Lo que Bayes hace en general. Actualizar. La a priori entra como punto de partida y el resultado depende tanto de ella como de la calidad del indicio: con una a priori muy chica, ni un indicio fuerte alcanza para llegar a una creencia alta.

Respuesta: La a posteriori es $0{,}4961$ , contra una a priori de $0{,}28$

4. Dos turnos producen el $34\%$ y el $66\%$ de las piezas, con tasas de falla $8\%$ y $13\%$ . Se sabe que una pieza defectuosa vino del primer turno con probabilidad $0{,}2407$ . Calculá la probabilidad de que haya venido del segundo, de dos formas distintas.

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1. Primera forma: por complemento. Los dos turnos forman una partición, así que las probabilidades a posteriori tienen que sumar uno: $P(T_2 | D) = 1 - 0{,}2407 = 0{,}7593$ .

2. Segunda forma: aplicando Bayes. $P(D) = 0{,}34 \cdot 0{,}08 + 0{,}66 \cdot 0{,}13 = 0{,}113$

3. Calculamos la rama del segundo turno. $0{,}66 \cdot 0{,}13 = 0{,}0858$

4. Dividimos. $P(T_2 | D) = \dfrac{0{,}0858}{0{,}113} \approx 0{,}7593$

5. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo, como tenía que pasar. Cuando la partición tiene solo dos casos, el complemento es mucho más corto.

6. El chequeo que deja este ejercicio. Las probabilidades a posteriori de todas las causas de una partición suman uno. Si no suman, hay un error en el árbol o en la probabilidad total.

Respuesta: $P(T_2 | D) = 0{,}7593$ , por los dos caminos

5. Dos máquinas producen el $40\%$ y el $60\%$ de las piezas, con tasas de falla $4\%$ y $11\%$ . Se toma una pieza al azar y sale defectuosa. Calculá la probabilidad de que la haya producido la primera máquina.

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1. Identificamos qué se pide. Se conoce $P(D | M_1)$ y se busca $P(M_1 | D)$ : hay que invertir la condicional, que es lo que hace Bayes.

2. Calculamos el denominador con probabilidad total. $P(D) = 0{,}4 \cdot 0{,}04 + 0{,}6 \cdot 0{,}11 = 0{,}016 + 0{,}066 = 0{,}082$

3. Escribimos Bayes como una fracción de ramas. Arriba, la rama que interesa. Abajo, la suma de todas las ramas que terminan en defectuosa.

4. Calculamos. $P(M_1 | D) = \dfrac{0{,}016}{0{,}082} \approx 0{,}1951$

5. Verificamos con la otra causa. $P(M_2 | D) = \dfrac{0{,}066}{0{,}082} \approx 0{,}8049$ , y las dos suman $1$ : toda pieza defectuosa vino de alguna de las dos máquinas.

6. Comparamos con la probabilidad a priori. Antes de saber que era defectuosa, la chance de que viniera de la máquina $1$ era $0{,}4$ . Sabiendo que falló, pasó a $0{,}1951$ : la observación bajó la creencia.

Respuesta: $P(M_1 | D) = 0{,}1951$

6. Tres proveedores aportan el $26\%$ , el $28\%$ y el $46\%$ de los insumos, con tasas de falla $4\%$ , $8\%$ y $11\%$ . Un insumo tomado al azar resulta fallado. Calculá la probabilidad de que venga del proveedor $2$ .

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1. Verificamos la partición. $0{,}26 + 0{,}28 + 0{,}46 = 1$ : cada insumo viene de un solo proveedor.

2. Calculamos las tres ramas que terminan en fallado. $0{,}26 \cdot 0{,}04 = 0{,}0104$ · $0{,}28 \cdot 0{,}08 = 0{,}0224$ · $0{,}46 \cdot 0{,}11 = 0{,}0506$

3. Sumamos para obtener la probabilidad total. $P(F) = 0{,}0104 + 0{,}0224 + 0{,}0506 = 0{,}0834$

4. Aplicamos Bayes. $P(A_{2} | F) = \dfrac{0{,}0224}{0{,}0834} \approx 0{,}2686$

5. Verificamos que las tres a posteriori sumen uno. 0{,}1247 + 0{,}2686 + 0{,}6067 $= 1$

6. Cómo leerlo. Un proveedor pesa en el resultado por dos cosas a la vez: cuánto aporta y qué tan seguido falla. Acá el proveedor $2$ aporta $0{,}28$ y falla $0{,}08$ , y el producto de esas dos es lo que decide.

Respuesta: $P(\text{proveedor} \ 2 | \text{fallado}) = 0{,}2686$

7. Antes de observar nada, la probabilidad de una hipótesis $H$ es $0{,}21$ . Si $H$ es cierta, cierto indicio aparece con probabilidad $0{,}76$ ; si no lo es, aparece con probabilidad $0{,}17$ . Se observa el indicio. Calculá la probabilidad a posteriori de $H$ y cuánto cambió la creencia.

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1. Nombramos las dos probabilidades. La a priori es $P(H) = 0{,}21$ , la creencia antes de observar. La a posteriori es $P(H | I)$ , la creencia después de ver el indicio.

2. Calculamos la probabilidad del indicio. $P(I) = 0{,}21 \cdot 0{,}76 + 0{,}79 \cdot 0{,}17 = 0{,}1596 + 0{,}1343 = 0{,}2939$

3. Aplicamos Bayes. $P(H | I) = \dfrac{0{,}1596}{0{,}2939} \approx 0{,}543$

4. Medimos el cambio. La creencia pasó de $0{,}21$ a $0{,}543$ : subió $0{,}333$ .

5. Explicamos por qué se movió en esa dirección. El indicio es $4{,}4706$ veces más probable bajo $H$ que sin $H$ . Cuando esa razón supera a $1$ , la evidencia empuja la creencia hacia arriba.

6. Lo que Bayes hace en general. Actualizar. La a priori entra como punto de partida y el resultado depende tanto de ella como de la calidad del indicio: con una a priori muy chica, ni un indicio fuerte alcanza para llegar a una creencia alta.

Respuesta: La a posteriori es $0{,}543$ , contra una a priori de $0{,}21$

8. Dos turnos producen el $31\%$ y el $69\%$ de las piezas, con tasas de falla $7\%$ y $11\%$ . Se sabe que una pieza defectuosa vino del primer turno con probabilidad $0{,}2223$ . Calculá la probabilidad de que haya venido del segundo, de dos formas distintas.

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1. Primera forma: por complemento. Los dos turnos forman una partición, así que las probabilidades a posteriori tienen que sumar uno: $P(T_2 | D) = 1 - 0{,}2223 = 0{,}7777$ .

2. Segunda forma: aplicando Bayes. $P(D) = 0{,}31 \cdot 0{,}07 + 0{,}69 \cdot 0{,}11 = 0{,}0976$

3. Calculamos la rama del segundo turno. $0{,}69 \cdot 0{,}11 = 0{,}0759$

4. Dividimos. $P(T_2 | D) = \dfrac{0{,}0759}{0{,}0976} \approx 0{,}7777$

5. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo, como tenía que pasar. Cuando la partición tiene solo dos casos, el complemento es mucho más corto.

6. El chequeo que deja este ejercicio. Las probabilidades a posteriori de todas las causas de una partición suman uno. Si no suman, hay un error en el árbol o en la probabilidad total.

Respuesta: $P(T_2 | D) = 0{,}7777$ , por los dos caminos

9. Dos máquinas producen el $55\%$ y el $45\%$ de las piezas, con tasas de falla $6\%$ y $18\%$ . Se toma una pieza al azar y sale defectuosa. Calculá la probabilidad de que la haya producido la primera máquina.

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1. Identificamos qué se pide. Se conoce $P(D | M_1)$ y se busca $P(M_1 | D)$ : hay que invertir la condicional, que es lo que hace Bayes.

2. Calculamos el denominador con probabilidad total. $P(D) = 0{,}55 \cdot 0{,}06 + 0{,}45 \cdot 0{,}18 = 0{,}033 + 0{,}081 = 0{,}114$

3. Escribimos Bayes como una fracción de ramas. Arriba, la rama que interesa. Abajo, la suma de todas las ramas que terminan en defectuosa.

4. Calculamos. $P(M_1 | D) = \dfrac{0{,}033}{0{,}114} \approx 0{,}2895$

5. Verificamos con la otra causa. $P(M_2 | D) = \dfrac{0{,}081}{0{,}114} \approx 0{,}7105$ , y las dos suman $1$ : toda pieza defectuosa vino de alguna de las dos máquinas.

6. Comparamos con la probabilidad a priori. Antes de saber que era defectuosa, la chance de que viniera de la máquina $1$ era $0{,}55$ . Sabiendo que falló, pasó a $0{,}2895$ : la observación bajó la creencia.

Respuesta: $P(M_1 | D) = 0{,}2895$

10. Tres proveedores aportan el $38\%$ , el $38\%$ y el $24\%$ de los insumos, con tasas de falla $2\%$ , $7\%$ y $12\%$ . Un insumo tomado al azar resulta fallado. Calculá la probabilidad de que venga del proveedor $2$ .

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1. Verificamos la partición. $0{,}38 + 0{,}38 + 0{,}24 = 1$ : cada insumo viene de un solo proveedor.

2. Calculamos las tres ramas que terminan en fallado. $0{,}38 \cdot 0{,}02 = 0{,}0076$ · $0{,}38 \cdot 0{,}07 = 0{,}0266$ · $0{,}24 \cdot 0{,}12 = 0{,}0288$

3. Sumamos para obtener la probabilidad total. $P(F) = 0{,}0076 + 0{,}0266 + 0{,}0288 = 0{,}063$

4. Aplicamos Bayes. $P(A_{2} | F) = \dfrac{0{,}0266}{0{,}063} \approx 0{,}4222$

5. Verificamos que las tres a posteriori sumen uno. 0{,}1206 + 0{,}4222 + 0{,}4571 $= 1$

6. Cómo leerlo. Un proveedor pesa en el resultado por dos cosas a la vez: cuánto aporta y qué tan seguido falla. Acá el proveedor $2$ aporta $0{,}38$ y falla $0{,}07$ , y el producto de esas dos es lo que decide.

Respuesta: $P(\text{proveedor} \ 2 | \text{fallado}) = 0{,}4222$

11. Antes de observar nada, la probabilidad de una hipótesis $H$ es $0{,}12$ . Si $H$ es cierta, cierto indicio aparece con probabilidad $0{,}8$ ; si no lo es, aparece con probabilidad $0{,}12$ . Se observa el indicio. Calculá la probabilidad a posteriori de $H$ y cuánto cambió la creencia.

Ver solución

1. Nombramos las dos probabilidades. La a priori es $P(H) = 0{,}12$ , la creencia antes de observar. La a posteriori es $P(H | I)$ , la creencia después de ver el indicio.

2. Calculamos la probabilidad del indicio. $P(I) = 0{,}12 \cdot 0{,}8 + 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}096 + 0{,}1056 = 0{,}2016$

3. Aplicamos Bayes. $P(H | I) = \dfrac{0{,}096}{0{,}2016} \approx 0{,}4762$

4. Medimos el cambio. La creencia pasó de $0{,}12$ a $0{,}4762$ : subió $0{,}3562$ .

5. Explicamos por qué se movió en esa dirección. El indicio es $6{,}6667$ veces más probable bajo $H$ que sin $H$ . Cuando esa razón supera a $1$ , la evidencia empuja la creencia hacia arriba.

6. Lo que Bayes hace en general. Actualizar. La a priori entra como punto de partida y el resultado depende tanto de ella como de la calidad del indicio: con una a priori muy chica, ni un indicio fuerte alcanza para llegar a una creencia alta.

Respuesta: La a posteriori es $0{,}4762$ , contra una a priori de $0{,}12$

12. Dos turnos producen el $56\%$ y el $44\%$ de las piezas, con tasas de falla $6\%$ y $13\%$ . Se sabe que una pieza defectuosa vino del primer turno con probabilidad $0{,}37$ . Calculá la probabilidad de que haya venido del segundo, de dos formas distintas.

Ver solución

1. Primera forma: por complemento. Los dos turnos forman una partición, así que las probabilidades a posteriori tienen que sumar uno: $P(T_2 | D) = 1 - 0{,}37 = 0{,}63$ .

2. Segunda forma: aplicando Bayes. $P(D) = 0{,}56 \cdot 0{,}06 + 0{,}44 \cdot 0{,}13 = 0{,}0908$

3. Calculamos la rama del segundo turno. $0{,}44 \cdot 0{,}13 = 0{,}0572$

4. Dividimos. $P(T_2 | D) = \dfrac{0{,}0572}{0{,}0908} \approx 0{,}63$

5. Comparamos los dos caminos. Dan lo mismo, como tenía que pasar. Cuando la partición tiene solo dos casos, el complemento es mucho más corto.

6. El chequeo que deja este ejercicio. Las probabilidades a posteriori de todas las causas de una partición suman uno. Si no suman, hay un error en el árbol o en la probabilidad total.

Respuesta: $P(T_2 | D) = 0{,}63$ , por los dos caminos