Ejercicios: Particiones y el diagrama de árbol

1. Un experimento se quiere dividir en tres casos con probabilidades $0{,}45$ , $0{,}3$ , $0{,}25$ , presentados como excluyentes entre sí. Decidí si forman una partición del espacio muestral.

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1. Recordamos qué es una partición. Sucesos incompatibles de a pares cuya unión es todo el espacio muestral. Siempre ocurre exactamente uno de ellos.

2. Usamos que son incompatibles. Si lo son, la probabilidad de la unión es la suma: 0{,}45 + 0{,}3 + 0{,}25 $= 1$ .

3. Comparamos con uno. $1$ es exactamente $1$ .

4. Concluimos. Sí es una partición, porque los tres sucesos son incompatibles de a pares y sus probabilidades suman exactamente $1$ .

5. Por qué importa el chequeo. Todo el volumen que sigue, probabilidad total y Bayes, se apoya en tener una partición correcta. Si las probabilidades no suman uno, el árbol está mal armado y las cuentas que vengan después no sirven.

Respuesta: Sí es una partición: suman $1$

2. Una urna A tiene una proporción $0{,}25$ de bolillas rojas y una urna B tiene $0{,}65$ . Se elige la urna A con probabilidad $0{,}53$ y la B con el resto, y después se extrae una bolilla. Armá el árbol, calculá la probabilidad de cada camino y verificá el resultado.

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1. Definimos los niveles del árbol. El primer nivel es la urna elegida, con dos ramas. El segundo es el color de la bolilla, con dos ramas por cada urna. Quedan cuatro caminos completos.

2. Verificamos las ramas de cada nodo. Primer nivel: $0{,}53 + 0{,}47 = 1$ . Nodo A: $0{,}25 + 0{,}75 = 1$ . Nodo B: $0{,}65 + 0{,}35 = 1$ . Las ramas que salen de un mismo nodo siempre suman uno.

3. Multiplicamos a lo largo de cada camino. A y roja: $0{,}53 \cdot 0{,}25 = 0{,}1325$ . A y no roja: $0{,}3975$ . B y roja: $0{,}47 \cdot 0{,}65 = 0{,}3055$ . B y no roja: $0{,}1645$ .

4. Verificamos las hojas. $0{,}1325 + 0{,}3975 + 0{,}3055 + 0{,}1645 = 1$ . Los cuatro caminos son incompatibles y cubren todo, así que tienen que sumar uno.

5. Sumamos a lo ancho. La probabilidad de sacar roja se alcanza por dos caminos distintos: $0{,}1325 + 0{,}3055 = 0{,}438$ .

6. Las dos reglas del árbol. Multiplicar a lo largo de un camino y sumar los caminos que llegan al mismo resultado. Con eso se resuelve casi todo el tema.

Respuesta: Caminos: $0{,}1325$ ; $0{,}3975$ ; $0{,}3055$ ; $0{,}1645$ , que suman $1$

3. En un diagrama de árbol, de un mismo nodo salen tres ramas con probabilidades $0{,}52$ , $0{,}35$ y $0{,}25$ . Decidí si el árbol está bien armado y corregilo si no lo está.

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1. Recordamos el control. Las ramas que salen de un mismo nodo representan una partición de lo que puede pasar en esa etapa, así que sus probabilidades tienen que sumar uno.

2. Sumamos. $0{,}52 + 0{,}35 + 0{,}25 = 1{,}12$

3. Detectamos el error. $1{,}12 \neq 1$ : sobra $0{,}12$ . El árbol está mal armado.

4. Vemos qué puede haber pasado. O una de las probabilidades está mal calculada, o las tres alternativas no son excluyentes y alguna zona se contó dos veces.

5. Corregimos. Si las dos primeras ramas son correctas, la tercera tiene que valer $1 - 0{,}52 - 0{,}35 = 0{,}13$ .

6. Cuándo hacer este control. Antes de multiplicar nada. Es el chequeo más rápido que existe y evita arrastrar el error hasta el final del problema.

Respuesta: Está mal: las ramas suman $1{,}12$ . La tercera tiene que ser $0{,}13$

4. Una fábrica usa tres máquinas. La máquina $1$ produce el $39\%$ de las piezas y la $2$ el $31\%$ . La máquina $1$ produce un $7\%$ de piezas defectuosas. Calculá la proporción de la máquina $3$ y la probabilidad de que una pieza venga de la $1$ y salga defectuosa.

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1. Verificamos que las máquinas formen una partición. Cada pieza viene de una y solo una de las tres, así que los tres sucesos son incompatibles y cubren todo.

2. Calculamos la proporción que falta. $P(M_3) = 1 - 0{,}39 - 0{,}31 = 0{,}3$

3. Ubicamos el camino pedido en el árbol. Primer nivel: la máquina. Segundo nivel: si sale defectuosa o no. El camino pedido es $M_1$ y después defectuosa.

4. Multiplicamos a lo largo del camino. $P(M_1 \cap D) = P(M_1) \cdot P(D | M_1) = 0{,}39 \cdot 0{,}07 = 0{,}0273$

5. Distinguimos las dos probabilidades que se confunden. $P(D | M_1) = 0{,}07$ es la tasa de falla de esa máquina. $P(M_1 \cap D) = 0{,}0273$ es la proporción de piezas de toda la producción que vienen de la $1$ y salen falladas.

6. Lo que queda armado. Con las tres proporciones y las tres tasas de falla, el árbol queda completo y permite calcular la probabilidad de que una pieza cualquiera salga defectuosa sumando los tres caminos.

Respuesta: $P(M_3) = 0{,}3$ y $P(M_1 \cap D) = 0{,}0273$

5. Un experimento se quiere dividir en tres casos con probabilidades $0{,}4$ , $0{,}35$ , $0{,}2$ , presentados como excluyentes entre sí. Decidí si forman una partición del espacio muestral.

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1. Recordamos qué es una partición. Sucesos incompatibles de a pares cuya unión es todo el espacio muestral. Siempre ocurre exactamente uno de ellos.

2. Usamos que son incompatibles. Si lo son, la probabilidad de la unión es la suma: 0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}2 $= 0{,}95$ .

3. Comparamos con uno. $0{,}95$ no vale $1$ .

4. Concluimos. No es una partición, porque las probabilidades suman $0{,}95$ , así que queda un $5\%$ del espacio muestral sin cubrir.

5. Por qué importa el chequeo. Todo el volumen que sigue, probabilidad total y Bayes, se apoya en tener una partición correcta. Si las probabilidades no suman uno, el árbol está mal armado y las cuentas que vengan después no sirven.

Respuesta: No es una partición: suman $0{,}95$

6. Una urna A tiene una proporción $0{,}21$ de bolillas rojas y una urna B tiene $0{,}77$ . Se elige la urna A con probabilidad $0{,}6$ y la B con el resto, y después se extrae una bolilla. Armá el árbol, calculá la probabilidad de cada camino y verificá el resultado.

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1. Definimos los niveles del árbol. El primer nivel es la urna elegida, con dos ramas. El segundo es el color de la bolilla, con dos ramas por cada urna. Quedan cuatro caminos completos.

2. Verificamos las ramas de cada nodo. Primer nivel: $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ . Nodo A: $0{,}21 + 0{,}79 = 1$ . Nodo B: $0{,}77 + 0{,}23 = 1$ . Las ramas que salen de un mismo nodo siempre suman uno.

3. Multiplicamos a lo largo de cada camino. A y roja: $0{,}6 \cdot 0{,}21 = 0{,}126$ . A y no roja: $0{,}474$ . B y roja: $0{,}4 \cdot 0{,}77 = 0{,}308$ . B y no roja: $0{,}092$ .

4. Verificamos las hojas. $0{,}126 + 0{,}474 + 0{,}308 + 0{,}092 = 1$ . Los cuatro caminos son incompatibles y cubren todo, así que tienen que sumar uno.

5. Sumamos a lo ancho. La probabilidad de sacar roja se alcanza por dos caminos distintos: $0{,}126 + 0{,}308 = 0{,}434$ .

6. Las dos reglas del árbol. Multiplicar a lo largo de un camino y sumar los caminos que llegan al mismo resultado. Con eso se resuelve casi todo el tema.

Respuesta: Caminos: $0{,}126$ ; $0{,}474$ ; $0{,}308$ ; $0{,}092$ , que suman $1$

7. En un diagrama de árbol, de un mismo nodo salen tres ramas con probabilidades $0{,}35$ , $0{,}21$ y $0{,}56$ . Decidí si el árbol está bien armado y corregilo si no lo está.

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1. Recordamos el control. Las ramas que salen de un mismo nodo representan una partición de lo que puede pasar en esa etapa, así que sus probabilidades tienen que sumar uno.

2. Sumamos. $0{,}35 + 0{,}21 + 0{,}56 = 1{,}12$

3. Detectamos el error. $1{,}12 \neq 1$ : sobra $0{,}12$ . El árbol está mal armado.

4. Vemos qué puede haber pasado. O una de las probabilidades está mal calculada, o las tres alternativas no son excluyentes y alguna zona se contó dos veces.

5. Corregimos. Si las dos primeras ramas son correctas, la tercera tiene que valer $1 - 0{,}35 - 0{,}21 = 0{,}44$ .

6. Cuándo hacer este control. Antes de multiplicar nada. Es el chequeo más rápido que existe y evita arrastrar el error hasta el final del problema.

Respuesta: Está mal: las ramas suman $1{,}12$ . La tercera tiene que ser $0{,}44$

8. Una fábrica usa tres máquinas. La máquina $1$ produce el $36\%$ de las piezas y la $2$ el $22\%$ . La máquina $1$ produce un $2\%$ de piezas defectuosas. Calculá la proporción de la máquina $3$ y la probabilidad de que una pieza venga de la $1$ y salga defectuosa.

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1. Verificamos que las máquinas formen una partición. Cada pieza viene de una y solo una de las tres, así que los tres sucesos son incompatibles y cubren todo.

2. Calculamos la proporción que falta. $P(M_3) = 1 - 0{,}36 - 0{,}22 = 0{,}42$

3. Ubicamos el camino pedido en el árbol. Primer nivel: la máquina. Segundo nivel: si sale defectuosa o no. El camino pedido es $M_1$ y después defectuosa.

4. Multiplicamos a lo largo del camino. $P(M_1 \cap D) = P(M_1) \cdot P(D | M_1) = 0{,}36 \cdot 0{,}02 = 0{,}0072$

5. Distinguimos las dos probabilidades que se confunden. $P(D | M_1) = 0{,}02$ es la tasa de falla de esa máquina. $P(M_1 \cap D) = 0{,}0072$ es la proporción de piezas de toda la producción que vienen de la $1$ y salen falladas.

6. Lo que queda armado. Con las tres proporciones y las tres tasas de falla, el árbol queda completo y permite calcular la probabilidad de que una pieza cualquiera salga defectuosa sumando los tres caminos.

Respuesta: $P(M_3) = 0{,}42$ y $P(M_1 \cap D) = 0{,}0072$

9. Un experimento se quiere dividir en tres casos con probabilidades $0{,}5$ , $0{,}35$ , $0{,}3$ , presentados como excluyentes entre sí. Decidí si forman una partición del espacio muestral.

Ver solución

1. Recordamos qué es una partición. Sucesos incompatibles de a pares cuya unión es todo el espacio muestral. Siempre ocurre exactamente uno de ellos.

2. Usamos que son incompatibles. Si lo son, la probabilidad de la unión es la suma: 0{,}5 + 0{,}35 + 0{,}3 $= 1{,}15$ .

3. Comparamos con uno. $1{,}15$ no vale $1$ .

4. Concluimos. No es una partición, porque las probabilidades suman más que $1$ , lo que solo puede pasar si los sucesos se superponen.

5. Por qué importa el chequeo. Todo el volumen que sigue, probabilidad total y Bayes, se apoya en tener una partición correcta. Si las probabilidades no suman uno, el árbol está mal armado y las cuentas que vengan después no sirven.

Respuesta: No es una partición: suman $1{,}15$

10. Una urna A tiene una proporción $0{,}36$ de bolillas rojas y una urna B tiene $0{,}8$ . Se elige la urna A con probabilidad $0{,}62$ y la B con el resto, y después se extrae una bolilla. Armá el árbol, calculá la probabilidad de cada camino y verificá el resultado.

Ver solución

1. Definimos los niveles del árbol. El primer nivel es la urna elegida, con dos ramas. El segundo es el color de la bolilla, con dos ramas por cada urna. Quedan cuatro caminos completos.

2. Verificamos las ramas de cada nodo. Primer nivel: $0{,}62 + 0{,}38 = 1$ . Nodo A: $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ . Nodo B: $0{,}8 + 0{,}2 = 1$ . Las ramas que salen de un mismo nodo siempre suman uno.

3. Multiplicamos a lo largo de cada camino. A y roja: $0{,}62 \cdot 0{,}36 = 0{,}2232$ . A y no roja: $0{,}3968$ . B y roja: $0{,}38 \cdot 0{,}8 = 0{,}304$ . B y no roja: $0{,}076$ .

4. Verificamos las hojas. $0{,}2232 + 0{,}3968 + 0{,}304 + 0{,}076 = 1$ . Los cuatro caminos son incompatibles y cubren todo, así que tienen que sumar uno.

5. Sumamos a lo ancho. La probabilidad de sacar roja se alcanza por dos caminos distintos: $0{,}2232 + 0{,}304 = 0{,}5272$ .

6. Las dos reglas del árbol. Multiplicar a lo largo de un camino y sumar los caminos que llegan al mismo resultado. Con eso se resuelve casi todo el tema.

Respuesta: Caminos: $0{,}2232$ ; $0{,}3968$ ; $0{,}304$ ; $0{,}076$ , que suman $1$

11. En un diagrama de árbol, de un mismo nodo salen tres ramas con probabilidades $0{,}39$ , $0{,}47$ y $0{,}21$ . Decidí si el árbol está bien armado y corregilo si no lo está.

Ver solución

1. Recordamos el control. Las ramas que salen de un mismo nodo representan una partición de lo que puede pasar en esa etapa, así que sus probabilidades tienen que sumar uno.

2. Sumamos. $0{,}39 + 0{,}47 + 0{,}21 = 1{,}07$

3. Detectamos el error. $1{,}07 \neq 1$ : sobra $0{,}07$ . El árbol está mal armado.

4. Vemos qué puede haber pasado. O una de las probabilidades está mal calculada, o las tres alternativas no son excluyentes y alguna zona se contó dos veces.

5. Corregimos. Si las dos primeras ramas son correctas, la tercera tiene que valer $1 - 0{,}39 - 0{,}47 = 0{,}14$ .

6. Cuándo hacer este control. Antes de multiplicar nada. Es el chequeo más rápido que existe y evita arrastrar el error hasta el final del problema.

Respuesta: Está mal: las ramas suman $1{,}07$ . La tercera tiene que ser $0{,}14$

12. Una fábrica usa tres máquinas. La máquina $1$ produce el $35\%$ de las piezas y la $2$ el $24\%$ . La máquina $1$ produce un $2\%$ de piezas defectuosas. Calculá la proporción de la máquina $3$ y la probabilidad de que una pieza venga de la $1$ y salga defectuosa.

Ver solución

1. Verificamos que las máquinas formen una partición. Cada pieza viene de una y solo una de las tres, así que los tres sucesos son incompatibles y cubren todo.

2. Calculamos la proporción que falta. $P(M_3) = 1 - 0{,}35 - 0{,}24 = 0{,}41$

3. Ubicamos el camino pedido en el árbol. Primer nivel: la máquina. Segundo nivel: si sale defectuosa o no. El camino pedido es $M_1$ y después defectuosa.

4. Multiplicamos a lo largo del camino. $P(M_1 \cap D) = P(M_1) \cdot P(D | M_1) = 0{,}35 \cdot 0{,}02 = 0{,}007$

5. Distinguimos las dos probabilidades que se confunden. $P(D | M_1) = 0{,}02$ es la tasa de falla de esa máquina. $P(M_1 \cap D) = 0{,}007$ es la proporción de piezas de toda la producción que vienen de la $1$ y salen falladas.

6. Lo que queda armado. Con las tres proporciones y las tres tasas de falla, el árbol queda completo y permite calcular la probabilidad de que una pieza cualquiera salga defectuosa sumando los tres caminos.

Respuesta: $P(M_3) = 0{,}41$ y $P(M_1 \cap D) = 0{,}007$