Particiones y el diagrama de árbol

Una partición es un conjunto de sucesos incompatibles entre sí que juntos cubren todo el espacio muestral. Siempre ocurre exactamente uno de ellos.

El ejemplo más simple es un suceso y su complemento. Pero pueden ser más: tres máquinas que producen las piezas de una fábrica, o cuatro proveedores.

Las particiones son la estructura que permite dividir un problema en casos. Se analiza qué pasa dentro de cada caso y después se juntan los resultados.

El diagrama de árbol es la representación gráfica de esa idea. Cada nivel es una etapa y cada rama una alternativa.

Las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo tienen que sumar uno, porque forman una partición. Ese es el chequeo más rápido de que el árbol está bien armado.

Para calcular la probabilidad de un camino completo se multiplican las probabilidades de sus ramas. Para la de un suceso que se alcanza por varios caminos, se suman los caminos.

Esas dos reglas, multiplicar a lo largo y sumar a lo ancho, resuelven casi todos los ejercicios del tema.

no se pisan de a pares y la unión de todos es S

Cuándo se usa

Cuando el problema tiene etapas o casos alternativos. Armá el árbol, verificá que las ramas de cada nodo sumen uno, multiplicá a lo largo de cada camino y sumá los caminos que llevan al mismo resultado.

Ejemplo 1

Tres máquinas producen el $50$ %, el $30$ % y el $20$ % de las piezas de una fábrica. Determinar si forman una partición.

Vemos si se pisan. Cada pieza la produjo una sola máquina, así que los tres sucesos son incompatibles de a pares.
Vemos si cubren todo. $50 + 30 + 20 = 100$ , así que no queda ninguna pieza sin origen.
Concluimos. Cumplen las dos condiciones: forman una partición.
Respuesta: Sí forman una partición

Ejemplo 2

En un árbol de dos etapas, el primer nivel tiene ramas de $0{,}04$ y $0{,}96$ . Verificar el árbol y calcular la probabilidad de la rama que va por $0{,}04 y$ después por $0{,}98$ .

Controlamos el primer nivel. $0{,}04 + 0{,}96 = 1$ , así que está bien armado.
Multiplicamos a lo largo de la rama. $0{,}04 \cdot 0{,}98$ .
Resolvemos. $0{,}04 \cdot 0{,}98 = 0{,}0392$ .
Respuesta: $P = 0{,}0392$

Error típico

Armar un árbol donde las ramas de un nodo no suman uno. Casi siempre significa que falta una alternativa o que se copió mal un dato del enunciado.

Practicar

← Independencia de tres o más sucesos Probabilidad total →

Otros subtemas de Probabilidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .