Sucesos incompatibles y complementarios

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, o sea que su intersección es vacía. También se los llama mutuamente excluyentes.

En un dado, sacar par y sacar tres son incompatibles: no hay ningún resultado que cumpla las dos cosas.

Dos sucesos son complementarios cuando son incompatibles y además cubren todo el espacio muestral. Siempre ocurre exactamente uno de los dos.

Complementarios es una condición más fuerte que incompatibles: todo par complementario es incompatible, pero no al revés.

La utilidad principal del complemento es de cálculo. Muchas veces es mucho más fácil calcular la probabilidad de que algo no pase y restarla de uno.

Ese truco es el que resuelve casi todos los problemas que empiezan con al menos uno. Calcular todas las formas en que puede haber al menos uno es engorroso; calcular la probabilidad de que no haya ninguno suele ser directo.

Hay que no confundir incompatibles con independientes. Son cosas distintas y de hecho casi opuestas: si dos sucesos con probabilidad positiva son incompatibles, no pueden ser independientes.

A \cap B = \emptyset

· complementarios: además

A \cup B = S

Cuándo se usa

Cuando el enunciado dice al menos uno, calculá el complemento: la probabilidad de que no ocurra ninguno, y restala de uno. Cuidado con confundir incompatibles con independientes.

Ejemplo 1

Al tirar un dado, determinar si «sale par» y «sale mayor que $3$ » son incompatibles.

Escribimos los dos sucesos. Par son $2$ , $4$ y $6$ . Mayor que $3$ son $4$ , $5$ y $6$ .
Buscamos la intersección. Comparten el $4$ y el $6$ .
Concluimos. La intersección no es vacía, así que son compatibles: pueden ocurrir juntos.
Respuesta: No son incompatibles

Ejemplo 2

Determinar si «sale menos de $3$ » y «sale más de $2$ » son complementarios al tirar un dado.

Escribimos los dos sucesos. El primero son $1$ y $2$ . El segundo son $3$ , $4$ , $5$ y $6$ .
Vemos si son incompatibles. No comparten ningún resultado, así que sí.
Vemos si cubren todo. Juntos son los $6$ resultados. Cumplen las dos condiciones, así que son complementarios.
Respuesta: Sí son complementarios

Error típico

Dar por incompatibles a dos sucesos que simplemente parecen distintos. Hay que verificar que la intersección sea vacía, no que los enunciados suenen diferentes.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

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