La probabilidad de la unión

Para calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos sucesos se suman sus probabilidades y se resta la de la intersección.

Esa resta está porque al sumar las dos probabilidades, la parte compartida se contó dos veces. Restarla una vez corrige el doble conteo.

Cuando los sucesos son incompatibles la intersección es vacía, su probabilidad es cero, y la fórmula se reduce a la suma. Ese es el caso del tercer axioma.

El error más frecuente del tema es sumar sin restar la intersección cuando los sucesos sí pueden ocurrir juntos. El resultado siempre sale de más, y a veces supera a uno, lo que delata el error.

Para tres sucesos la fórmula se complica: hay que sumar las tres probabilidades, restar las tres intersecciones de a pares, y volver a sumar la intersección de los tres. Es el principio de inclusión y exclusión.

En la práctica, con tres o más sucesos suele ser más simple usar el complemento o un diagrama de Venn.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Cuándo se usa

Cuando el enunciado pide la probabilidad de que ocurra uno u otro. Restá siempre la intersección salvo que los sucesos sean incompatibles. Si el resultado supera a uno, te olvidaste de restarla.

Ejemplo 1

Se saca una carta de $40$ . Calcular la probabilidad de que sea de espada o figura.

Calculamos las dos probabilidades. $P(espada) = 10/40$ y $P(figura) = 12/40$ .
Calculamos la intersección. Las figuras de espada son $3$ : $P(ambas) = 3/40$ .
Aplicamos la fórmula. $10/40 + 12/40 - 3/40 = 19/40 = 0{,}475$ .
Respuesta: $P = 0{,}475$

Ejemplo 2

Si P(A) vale $0{,}6, P(B)$ vale $0{,}5 y$ la unión vale $0{,}8$ , calcular la probabilidad de la intersección.

Escribimos la fórmula con lo conocido. $0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}5 - P(A \cap B)$ .
Despejamos. $P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8$ .
Resolvemos y controlamos. $1{,}1 - 0{,}8 = 0{,}3$ . Es menor que las dos probabilidades individuales, como tiene que ser.
Respuesta: $P(A \cap B) = 0{,}3$

Error típico

Usar la suma directa sin verificar que los sucesos sean incompatibles. Es el error más frecuente del volumen y se detecta solo cuando el resultado pasa de uno.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .