Contar para calcular probabilidades

Aplicar la definición clásica es, en el fondo, resolver dos problemas de conteo: cuántos casos favorables hay y cuántos posibles.

Por eso toda la combinatoria del volumen anterior es la herramienta central de este tema.

Lo primero es decidir si el orden importa o no. Si importa, se cuentan variaciones o permutaciones. Si no, combinaciones.

Lo esencial es usar el mismo criterio arriba y abajo. Si los casos posibles se contaron con orden, los favorables también tienen que contarse con orden. Mezclar los criterios es el error más grave del tema y da resultados que ni siquiera están entre cero y uno.

En problemas de cartas, bolillas o comisiones, casi siempre no importa el orden y van combinaciones.

Cuando hay condiciones del tipo al menos, conviene calcular el complemento en vez de sumar todos los casos.

Y cuando el conteo se vuelve muy complicado, casi siempre hay un camino más simple usando probabilidad condicional en lugar de contar.

P(A) =

casos de A / casos de S

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular una probabilidad contando casos. Decidí primero si el orden importa y usá el mismo criterio para favorables y posibles. Si aparece al menos, probá con el complemento.

Ejemplo 1

Una urna tiene $4$ bolillas rojas $y 6$ azules. Se sacan $2$ sin reposición. Calcular la probabilidad de que las dos sean rojas.

Contamos los casos posibles sin orden. Son combinaciones de $10$ de a $2$ : $(10 \cdot 9) / 2 = 45$ .
Contamos los favorables con el mismo criterio. Combinaciones de $4$ de a $2$ : $(4 \cdot 3) / 2 = 6$ .
Dividimos. $6 / 45 \approx 0{,}133$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}133$

Ejemplo 2

De un grupo de $8$ personas se eligen $3$ al azar. Calcular la probabilidad de que dos personas determinadas estén entre las elegidas.

Contamos los casos posibles. Combinaciones de $8$ de a $3$ : $(8 \cdot 7 \cdot 6) / 6 = 56$ .
Contamos los favorables. Las dos ya están, así que falta elegir $1$ entre las $6$ restantes: $6$ casos.
Dividimos. $6 / 56 \approx 0{,}107$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}107$

Error típico

Contar los casos favorables sin orden y los posibles con orden. El resultado queda dividido por un factorial y nada en el número avisa que está mal.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .