Ejercicios: Contar para calcular probabilidades

1. Una urna tiene $6$ bolillas rojas y $6$ bolillas azules. Se extraen $3$ de golpe, sin mirar. Calculá la probabilidad de que salgan exactamente $3$ bolillas rojas.

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1. Decidimos si el orden importa. Se extraen todas juntas, así que dos extracciones con los mismos elementos son el mismo resultado: van combinaciones. Lo importante es usar el mismo criterio arriba y abajo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{12,3} = 220$ formas de elegir $3$ entre $12$ .

3. Contamos los favorables. Elegir $3$ de las $6$ bolillas rojas y $0$ de las $6$ bolillas azules: $C_{6,3} \cdot C_{6,0} = 20 \cdot 1 = 20$ .

4. Aplicamos la definición clásica. $P = \dfrac{20}{220} \approx 0{,}0909$

5. Verificamos el sentido. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Si hubiera salido fuera de ese rango, el error casi seguro sería haber contado los favorables con orden y los posibles sin orden.

Respuesta: $P = \dfrac{20}{220} \approx 0{,}0909$

2. Una urna tiene $7$ bolillas, de las cuales $3$ son rojas. Se extraen $2$ sin reposición. Calculá la probabilidad de que las dos sean rojas contando con orden y contando sin orden, y verificá que dan lo mismo.

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1. Contamos sin orden. Posibles: $C_{7,2} = 21$ . Favorables: $C_{3,2} = 3$ . $P = \dfrac{3}{21} \approx 0{,}1429$ .

2. Contamos con orden. Posibles: $7 \cdot 6 = 42$ pares ordenados. Favorables: $3 \cdot 2 = 6$ .

3. Calculamos la segunda probabilidad. $P = \dfrac{6}{42} \approx 0{,}1429$

4. Comparamos. Los dos caminos dan $0{,}1429$ . Al pasar de sin orden a con orden, arriba y abajo se multiplicaron por $2! = 2$ , y ese factor se cancela.

5. La regla que deja el ejercicio. Cualquiera de los dos criterios sirve, pero hay que sostenerlo en las dos cuentas. Mezclarlos da resultados que ni siquiera quedan entre cero y uno.

Respuesta: $P = 0{,}1429$ por los dos caminos

3. Un lote tiene $13$ unidades, de las cuales $6$ son socios de la lista A. Se eligen $4$ al azar, sin reposición. Calculá la probabilidad de que al menos una sea de las socios de la lista A.

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1. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular «al menos una» directo obliga a sumar los casos de exactamente una, dos, y así hasta $4$ . El complemento, «ninguna», es un caso solo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{13,4} = 715$

3. Contamos los casos sin ninguna. Hay que elegir las $4$ entre las $7$ que no lo son: $C_{7,4} = 35$ .

4. Calculamos la probabilidad del complemento. $P(\text{ninguna}) = \dfrac{35}{715} \approx 0{,}049$

5. Restamos de uno. $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}049 = 0{,}951$

6. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $\dfrac{6}{13} \approx 0{,}4615$ , la probabilidad con una sola extracción, como corresponde: con más unidades elegidas es más probable que aparezca alguna.

Respuesta: $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}049 = 0{,}951$

4. Se extraen $3$ bolillas de una urna con $10$ numeradas, con reposición y anotando el orden. Calculá la probabilidad de que las $3$ sean distintas.

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1. Contamos los casos posibles. Con reposición y orden, cada extracción tiene $10$ opciones: $10^{3} = 1000$ .

2. Contamos los favorables. Si tienen que ser todas distintas, la primera tiene $10$ opciones, la segunda $9$ y así: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

3. Dividimos. $P = \dfrac{720}{1000} = 0{,}72$

4. Calculamos el complemento. $P(\text{alguna repetida}) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$

5. Lo que muestra el resultado. Con solo $3$ extracciones sobre $10$ valores ya hay un $28\%$ de chance de repetir. Las coincidencias son mucho más probables de lo que la intuición sugiere, y ese es el fondo del problema del cumpleaños.

Respuesta: $P(\text{todas distintas}) = 0{,}72$

5. Una urna tiene $6$ socios de la lista A y $6$ socios de la lista B. Se extraen $2$ de golpe, sin mirar. Calculá la probabilidad de que salgan exactamente $2$ socios de la lista A.

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1. Decidimos si el orden importa. Se extraen todas juntas, así que dos extracciones con los mismos elementos son el mismo resultado: van combinaciones. Lo importante es usar el mismo criterio arriba y abajo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{12,2} = 66$ formas de elegir $2$ entre $12$ .

3. Contamos los favorables. Elegir $2$ de las $6$ socios de la lista A y $0$ de las $6$ socios de la lista B: $C_{6,2} \cdot C_{6,0} = 15 \cdot 1 = 15$ .

4. Aplicamos la definición clásica. $P = \dfrac{15}{66} \approx 0{,}2273$

5. Verificamos el sentido. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Si hubiera salido fuera de ese rango, el error casi seguro sería haber contado los favorables con orden y los posibles sin orden.

Respuesta: $P = \dfrac{15}{66} \approx 0{,}2273$

6. Una urna tiene $6$ bolillas, de las cuales $3$ son rojas. Se extraen $2$ sin reposición. Calculá la probabilidad de que las dos sean rojas contando con orden y contando sin orden, y verificá que dan lo mismo.

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1. Contamos sin orden. Posibles: $C_{6,2} = 15$ . Favorables: $C_{3,2} = 3$ . $P = \dfrac{3}{15} = 0{,}2$ .

2. Contamos con orden. Posibles: $6 \cdot 5 = 30$ pares ordenados. Favorables: $3 \cdot 2 = 6$ .

3. Calculamos la segunda probabilidad. $P = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$

4. Comparamos. Los dos caminos dan $0{,}2$ . Al pasar de sin orden a con orden, arriba y abajo se multiplicaron por $2! = 2$ , y ese factor se cancela.

5. La regla que deja el ejercicio. Cualquiera de los dos criterios sirve, pero hay que sostenerlo en las dos cuentas. Mezclarlos da resultados que ni siquiera quedan entre cero y uno.

Respuesta: $P = 0{,}2$ por los dos caminos

7. Un lote tiene $12$ unidades, de las cuales $3$ son piezas defectuosas. Se eligen $4$ al azar, sin reposición. Calculá la probabilidad de que al menos una sea de las piezas defectuosas.

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1. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular «al menos una» directo obliga a sumar los casos de exactamente una, dos, y así hasta $3$ . El complemento, «ninguna», es un caso solo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{12,4} = 495$

3. Contamos los casos sin ninguna. Hay que elegir las $4$ entre las $9$ que no lo son: $C_{9,4} = 126$ .

4. Calculamos la probabilidad del complemento. $P(\text{ninguna}) = \dfrac{126}{495} \approx 0{,}2545$

5. Restamos de uno. $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}2545 = 0{,}7455$

6. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $\dfrac{3}{12} = 0{,}25$ , la probabilidad con una sola extracción, como corresponde: con más unidades elegidas es más probable que aparezca alguna.

Respuesta: $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}2545 = 0{,}7455$

8. Se extraen $3$ bolillas de una urna con $12$ numeradas, con reposición y anotando el orden. Calculá la probabilidad de que las $3$ sean distintas.

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1. Contamos los casos posibles. Con reposición y orden, cada extracción tiene $12$ opciones: $12^{3} = 1728$ .

2. Contamos los favorables. Si tienen que ser todas distintas, la primera tiene $12$ opciones, la segunda $11$ y así: $12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ .

3. Dividimos. $P = \dfrac{1320}{1728} \approx 0{,}7639$

4. Calculamos el complemento. $P(\text{alguna repetida}) = 1 - 0{,}7639 = 0{,}2361$

5. Lo que muestra el resultado. Con solo $3$ extracciones sobre $12$ valores ya hay un $23{,}61\%$ de chance de repetir. Las coincidencias son mucho más probables de lo que la intuición sugiere, y ese es el fondo del problema del cumpleaños.

Respuesta: $P(\text{todas distintas}) = 0{,}7639$

9. Una urna tiene $8$ cartas de espada y $10$ cartas de otros palos. Se extraen $3$ de golpe, sin mirar. Calculá la probabilidad de que salgan exactamente $2$ cartas de espada.

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1. Decidimos si el orden importa. Se extraen todas juntas, así que dos extracciones con los mismos elementos son el mismo resultado: van combinaciones. Lo importante es usar el mismo criterio arriba y abajo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{18,3} = 816$ formas de elegir $3$ entre $18$ .

3. Contamos los favorables. Elegir $2$ de las $8$ cartas de espada y $1$ de las $10$ cartas de otros palos: $C_{8,2} \cdot C_{10,1} = 28 \cdot 10 = 280$ .

4. Aplicamos la definición clásica. $P = \dfrac{280}{816} \approx 0{,}3431$

5. Verificamos el sentido. El resultado queda entre $0$ y $1$ . Si hubiera salido fuera de ese rango, el error casi seguro sería haber contado los favorables con orden y los posibles sin orden.

Respuesta: $P = \dfrac{280}{816} \approx 0{,}3431$

10. Una urna tiene $9$ bolillas, de las cuales $2$ son rojas. Se extraen $2$ sin reposición. Calculá la probabilidad de que las dos sean rojas contando con orden y contando sin orden, y verificá que dan lo mismo.

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1. Contamos sin orden. Posibles: $C_{9,2} = 36$ . Favorables: $C_{2,2} = 1$ . $P = \dfrac{1}{36} \approx 0{,}0278$ .

2. Contamos con orden. Posibles: $9 \cdot 8 = 72$ pares ordenados. Favorables: $2 \cdot 1 = 2$ .

3. Calculamos la segunda probabilidad. $P = \dfrac{2}{72} \approx 0{,}0278$

4. Comparamos. Los dos caminos dan $0{,}0278$ . Al pasar de sin orden a con orden, arriba y abajo se multiplicaron por $2! = 2$ , y ese factor se cancela.

5. La regla que deja el ejercicio. Cualquiera de los dos criterios sirve, pero hay que sostenerlo en las dos cuentas. Mezclarlos da resultados que ni siquiera quedan entre cero y uno.

Respuesta: $P = 0{,}0278$ por los dos caminos

11. Un lote tiene $12$ unidades, de las cuales $4$ son cartas de espada. Se eligen $4$ al azar, sin reposición. Calculá la probabilidad de que al menos una sea de las cartas de espada.

Ver solución

1. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular «al menos una» directo obliga a sumar los casos de exactamente una, dos, y así hasta $4$ . El complemento, «ninguna», es un caso solo.

2. Contamos los casos posibles. $C_{12,4} = 495$

3. Contamos los casos sin ninguna. Hay que elegir las $4$ entre las $8$ que no lo son: $C_{8,4} = 70$ .

4. Calculamos la probabilidad del complemento. $P(\text{ninguna}) = \dfrac{70}{495} \approx 0{,}1414$

5. Restamos de uno. $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}1414 = 0{,}8586$

6. Verificamos el sentido. El resultado es mayor que $\dfrac{4}{12} \approx 0{,}3333$ , la probabilidad con una sola extracción, como corresponde: con más unidades elegidas es más probable que aparezca alguna.

Respuesta: $P(\text{al menos una}) = 1 - 0{,}1414 = 0{,}8586$

12. Se extraen $4$ bolillas de una urna con $12$ numeradas, con reposición y anotando el orden. Calculá la probabilidad de que las $4$ sean distintas.

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1. Contamos los casos posibles. Con reposición y orden, cada extracción tiene $12$ opciones: $12^{4} = 20736$ .

2. Contamos los favorables. Si tienen que ser todas distintas, la primera tiene $12$ opciones, la segunda $11$ y así: $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880$ .

3. Dividimos. $P = \dfrac{11880}{20736} \approx 0{,}5729$

4. Calculamos el complemento. $P(\text{alguna repetida}) = 1 - 0{,}5729 = 0{,}4271$

5. Lo que muestra el resultado. Con solo $4$ extracciones sobre $12$ valores ya hay un $42{,}71\%$ de chance de repetir. Las coincidencias son mucho más probables de lo que la intuición sugiere, y ese es el fondo del problema del cumpleaños.

Respuesta: $P(\text{todas distintas}) = 0{,}5729$