Ejercicios: Frecuencia relativa y ley de los grandes números

2. Calculamos la de la serie larga. $\dfrac{806}{1600} \approx 0{,}5038$

3. Comparamos cada una con la probabilidad teórica. $|0{,}575 - 0{,}5| = 0{,}075$ contra $|0{,}5038 - 0{,}5| = 0{,}0037$.

4. Decidimos. La serie de $1600$ repeticiones queda más cerca del valor teórico. Eso es lo que afirma la ley de los grandes números: la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad a medida que crecen las repeticiones.

5. Qué no dice la ley. No garantiza que en una serie particular la frecuencia sea más cercana, sino que la aproximación mejora al crecer $n$. Y nunca dice que los resultados se compensen entre sí.

Respuesta: Las frecuencias son $0{,}575$ y $0{,}5038$; la de $1600$ repeticiones estima mejor

2. Usamos la independencia de los tiros. Cada tiro es un experimento independiente: la moneda no guarda memoria de lo que pasó antes. $P(\text{cara en el tiro} \ 7) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

3. Vemos de dónde viene la confusión. Antes de tirar, la probabilidad de sacar $6$ cecas seguidas y después cara era $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7} \approx 0{,}0078$, un número chico. Pero eso ya no es lo que se pregunta: las $6$ cecas ya ocurrieron.

4. Nombramos el error. Es la falacia del jugador: creer que los resultados pasados se compensan. La ley de los grandes números dice que la proporción se estabiliza, no que las diferencias se corrijan.

5. Explicamos qué pasa en realidad. La diferencia de $6$ cecas no desaparece: se diluye al dividir por una cantidad de tiros cada vez mayor. Con $10\,000$ tiros, $6$ de diferencia casi no mueve la proporción.

Respuesta: La probabilidad sigue siendo $0{,}5$: la afirmación es falsa, es la falacia del jugador

2. Calculamos las frecuencias relativas. $0{,}192$ · $0{,}1825$ · $0{,}115$ · $0{,}192$ · $0{,}115$ · $0{,}2035$

3. Verificamos que sumen uno. $1$, como corresponde: las seis caras forman una partición.

4. Comparamos con el valor teórico. Si el dado fuera equilibrado, cada frecuencia debería acercarse a $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. La más alejada es la cara $3$, con $0{,}115$, a $0{,}0517$ de distancia.

5. Interpretamos con cuidado. Diferencias chicas son esperables por azar aun con un dado perfecto. La ley de los grandes números dice que la frecuencia se acerca a la probabilidad, no que la iguale. Para afirmar que está cargado hace falta un test, que se ve más adelante.

Respuesta: Frecuencias: $0{,}192$; $0{,}1825$; $0{,}115$; $0{,}192$; $0{,}115$; $0{,}2035$. Suman $1$ y la más alejada de $0{,}1667$ es la cara $3$

2. Hacemos lo mismo con la serie larga. $\dfrac{5018}{10000} = 0{,}5018$

3. Comparamos las distancias a $0{,}5$. $0{,}03$ contra $0{,}0018$.

4. Interpretamos. La diferencia absoluta creció de $6$ a $36$, y sin embargo la proporción quedó más cerca de $0{,}5$. Las dos cosas pasan a la vez y no se contradicen.

5. Qué dice exactamente la ley. Que se estabiliza la frecuencia relativa, no la diferencia absoluta. Las diferencias no se corrigen: se diluyen al dividir por una cantidad de repeticiones cada vez más grande.

Respuesta: Las proporciones son $0{,}53$ y $0{,}5018$: la diferencia absoluta creció pero la relativa se achicó

2. Calculamos la de la serie larga. $\dfrac{290}{1600} \approx 0{,}1812$

3. Comparamos cada una con la probabilidad teórica. $|0{,}2125 - 0{,}1667| = 0{,}0458$ contra $|0{,}1812 - 0{,}1667| = 0{,}0146$.

4. Decidimos. La serie de $1600$ repeticiones queda más cerca del valor teórico. Eso es lo que afirma la ley de los grandes números: la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad a medida que crecen las repeticiones.

5. Qué no dice la ley. No garantiza que en una serie particular la frecuencia sea más cercana, sino que la aproximación mejora al crecer $n$. Y nunca dice que los resultados se compensen entre sí.

Respuesta: Las frecuencias son $0{,}2125$ y $0{,}1812$; la de $1600$ repeticiones estima mejor

2. Usamos la independencia de los tiros. Cada tiro es un experimento independiente: la moneda no guarda memoria de lo que pasó antes. $P(\text{cara en el tiro} \ 8) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

3. Vemos de dónde viene la confusión. Antes de tirar, la probabilidad de sacar $7$ cecas seguidas y después cara era $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8} \approx 0{,}0039$, un número chico. Pero eso ya no es lo que se pregunta: las $7$ cecas ya ocurrieron.

4. Nombramos el error. Es la falacia del jugador: creer que los resultados pasados se compensan. La ley de los grandes números dice que la proporción se estabiliza, no que las diferencias se corrijan.

5. Explicamos qué pasa en realidad. La diferencia de $7$ cecas no desaparece: se diluye al dividir por una cantidad de tiros cada vez mayor. Con $10\,000$ tiros, $7$ de diferencia casi no mueve la proporción.

Respuesta: La probabilidad sigue siendo $0{,}5$: la afirmación es falsa, es la falacia del jugador

2. Calculamos las frecuencias relativas. $0{,}119$ · $0{,}192$ · $0{,}201$ · $0{,}119$ · $0{,}165$ · $0{,}204$

3. Verificamos que sumen uno. $1$, como corresponde: las seis caras forman una partición.

4. Comparamos con el valor teórico. Si el dado fuera equilibrado, cada frecuencia debería acercarse a $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. La más alejada es la cara $1$, con $0{,}119$, a $0{,}0477$ de distancia.

5. Interpretamos con cuidado. Diferencias chicas son esperables por azar aun con un dado perfecto. La ley de los grandes números dice que la frecuencia se acerca a la probabilidad, no que la iguale. Para afirmar que está cargado hace falta un test, que se ve más adelante.

Respuesta: Frecuencias: $0{,}119$; $0{,}192$; $0{,}201$; $0{,}119$; $0{,}165$; $0{,}204$. Suman $1$ y la más alejada de $0{,}1667$ es la cara $1$

2. Hacemos lo mismo con la serie larga. $\dfrac{5022}{10000} = 0{,}5022$

3. Comparamos las distancias a $0{,}5$. $0{,}04$ contra $0{,}0022$.

4. Interpretamos. La diferencia absoluta creció de $9$ a $45$, y sin embargo la proporción quedó más cerca de $0{,}5$. Las dos cosas pasan a la vez y no se contradicen.

5. Qué dice exactamente la ley. Que se estabiliza la frecuencia relativa, no la diferencia absoluta. Las diferencias no se corrigen: se diluyen al dividir por una cantidad de repeticiones cada vez más grande.

Respuesta: Las proporciones son $0{,}54$ y $0{,}5022$: la diferencia absoluta creció pero la relativa se achicó

2. Calculamos la de la serie larga. $\dfrac{511}{1000} = 0{,}511$

3. Comparamos cada una con la probabilidad teórica. $|0{,}66 - 0{,}5| = 0{,}16$ contra $|0{,}511 - 0{,}5| = 0{,}011$.

4. Decidimos. La serie de $1000$ repeticiones queda más cerca del valor teórico. Eso es lo que afirma la ley de los grandes números: la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad a medida que crecen las repeticiones.

5. Qué no dice la ley. No garantiza que en una serie particular la frecuencia sea más cercana, sino que la aproximación mejora al crecer $n$. Y nunca dice que los resultados se compensen entre sí.

Respuesta: Las frecuencias son $0{,}66$ y $0{,}511$; la de $1000$ repeticiones estima mejor

2. Usamos la independencia de los tiros. Cada tiro es un experimento independiente: la moneda no guarda memoria de lo que pasó antes. $P(\text{cara en el tiro} \ 9) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

3. Vemos de dónde viene la confusión. Antes de tirar, la probabilidad de sacar $8$ cecas seguidas y después cara era $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9} \approx 0{,}002$, un número chico. Pero eso ya no es lo que se pregunta: las $8$ cecas ya ocurrieron.

4. Nombramos el error. Es la falacia del jugador: creer que los resultados pasados se compensan. La ley de los grandes números dice que la proporción se estabiliza, no que las diferencias se corrijan.

5. Explicamos qué pasa en realidad. La diferencia de $8$ cecas no desaparece: se diluye al dividir por una cantidad de tiros cada vez mayor. Con $10\,000$ tiros, $8$ de diferencia casi no mueve la proporción.

Respuesta: La probabilidad sigue siendo $0{,}5$: la afirmación es falsa, es la falacia del jugador

2. Calculamos las frecuencias relativas. $0{,}222$ · $0{,}12$ · $0{,}12$ · $0{,}16$ · $0{,}19$ · $0{,}188$

3. Verificamos que sumen uno. $1$, como corresponde: las seis caras forman una partición.

4. Comparamos con el valor teórico. Si el dado fuera equilibrado, cada frecuencia debería acercarse a $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. La más alejada es la cara $1$, con $0{,}222$, a $0{,}0553$ de distancia.

5. Interpretamos con cuidado. Diferencias chicas son esperables por azar aun con un dado perfecto. La ley de los grandes números dice que la frecuencia se acerca a la probabilidad, no que la iguale. Para afirmar que está cargado hace falta un test, que se ve más adelante.

Respuesta: Frecuencias: $0{,}222$; $0{,}12$; $0{,}12$; $0{,}16$; $0{,}19$; $0{,}188$. Suman $1$ y la más alejada de $0{,}1667$ es la cara $1$

2. Hacemos lo mismo con la serie larga. $\dfrac{509}{1000} = 0{,}509$

3. Comparamos las distancias a $0{,}5$. $0{,}03$ contra $0{,}009$.

4. Interpretamos. La diferencia absoluta creció de $6$ a $18$, y sin embargo la proporción quedó más cerca de $0{,}5$. Las dos cosas pasan a la vez y no se contradicen.

5. Qué dice exactamente la ley. Que se estabiliza la frecuencia relativa, no la diferencia absoluta. Las diferencias no se corrigen: se diluyen al dividir por una cantidad de repeticiones cada vez más grande.

Respuesta: Las proporciones son $0{,}53$ y $0{,}509$: la diferencia absoluta creció pero la relativa se achicó