Ejercicios: La probabilidad de la unión

1. Entre los clientes de un local, la probabilidad de que un caso tomado al azar «paga con tarjeta» es $0{,}48$ , la de que «compra en promoción» es $0{,}42$ , y la de que cumpla las dos cosas es $0{,}1$ . Calculá la probabilidad de que cumpla al menos una de las dos.

Ver solución

1. Traducimos «al menos una». Es la unión de los dos sucesos: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir los dos.

2. Escribimos la fórmula. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . La resta corrige el doble conteo: al sumar, la parte compartida entró dos veces.

3. Reemplazamos. $P(A \cup B) = 0{,}48 + 0{,}42 - 0{,}1 = 0{,}8$

4. Calculamos también «ninguna de las dos». Es el complemento de la unión: $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ , y es mayor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una unión.

Respuesta: $P(A \cup B) = 0{,}8$

2. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}38$ y $P(A \cup B) = 0{,}86$ . Calculá la probabilidad de que ocurran los dos a la vez y la de que ocurra exactamente uno.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula de la unión. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}38 - 0{,}86 = 0{,}12$

3. Calculamos las partes exclusivas. Solo $A$ : $0{,}6 - 0{,}12 = 0{,}48$ . Solo $B$ : $0{,}38 - 0{,}12 = 0{,}26$ .

4. Sumamos para «exactamente uno». $0{,}48 + 0{,}26 = 0{,}74$ . Es la unión menos la intersección.

5. Verificamos. $0{,}48 + 0{,}12 + 0{,}26 = 0{,}86$ , que es la probabilidad de la unión. Las tres regiones cierran.

Respuesta: $P(A \cap B) = 0{,}12$ y $P(\text{exactamente uno}) = 0{,}74$

3. Dos sucesos tienen $P(A) = 0{,}39$ y $P(B) = 0{,}39$ . Calculá $P(A \cup B)$ en dos escenarios: si son incompatibles, y si $P(A \cap B) = 0{,}08$ . Compará los resultados.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula general. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , válida siempre.

2. Resolvemos el caso incompatible. Si no pueden ocurrir juntos, $P(A \cap B) = 0$ y la fórmula se reduce a la suma: $0{,}39 + 0{,}39 = 0{,}78$ .

3. Resolvemos el segundo caso. $0{,}39 + 0{,}39 - 0{,}08 = 0{,}7$

4. Comparamos. La diferencia es exactamente $0{,}08$ , la probabilidad de la parte compartida. Cuando los sucesos se superponen, la unión es menor que la suma.

5. El error que esto previene. Sumar sin restar cuando los sucesos sí pueden ocurrir juntos. El resultado siempre sale de más, y a veces supera a $1$ , que es cuando el error se hace evidente.

Respuesta: Incompatibles: $0{,}78$ . Con intersección $0{,}08$ : $0{,}7$

4. Tres sucesos cumplen $P(A) = 0{,}36$ , $P(B) = 0{,}3$ , $P(C) = 0{,}44$ , $P(A \cap B) = 0{,}14$ , $P(A \cap C) = 0{,}14$ , $P(B \cap C) = 0{,}18$ y $P(A \cap B \cap C) = 0{,}07$ . Calculá la probabilidad de que ocurra al menos uno de los tres.

Ver solución

1. Escribimos el principio de inclusión y exclusión. $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

2. Entendemos por qué alterna los signos. Al sumar las tres, cada zona de dos sucesos se contó dos veces y hay que restarla. Pero la zona de los tres se sumó tres veces y se restó tres veces, así que quedó en cero y hay que volver a sumarla.

3. Sumamos las simples. $0{,}36 + 0{,}3 + 0{,}44 = 1{,}1$

4. Restamos las intersecciones de a pares. $1{,}1 - 0{,}14 - 0{,}14 - 0{,}18 = 0{,}64$

5. Sumamos la triple. $0{,}64 + 0{,}07 = 0{,}71$

6. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . La probabilidad de que no ocurra ninguno es $1 - 0{,}71 = 0{,}29$ .

Respuesta: $P(A \cup B \cup C) = 0{,}71$

5. Entre los envíos de una empresa, la probabilidad de que un caso tomado al azar «llega tarde» es $0{,}39$ , la de que «sale del depósito central» es $0{,}46$ , y la de que cumpla las dos cosas es $0{,}1$ . Calculá la probabilidad de que cumpla al menos una de las dos.

Ver solución

1. Traducimos «al menos una». Es la unión de los dos sucesos: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir los dos.

2. Escribimos la fórmula. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . La resta corrige el doble conteo: al sumar, la parte compartida entró dos veces.

3. Reemplazamos. $P(A \cup B) = 0{,}39 + 0{,}46 - 0{,}1 = 0{,}75$

4. Calculamos también «ninguna de las dos». Es el complemento de la unión: $1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ , y es mayor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una unión.

Respuesta: $P(A \cup B) = 0{,}75$

6. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}46$ , $P(B) = 0{,}41$ y $P(A \cup B) = 0{,}64$ . Calculá la probabilidad de que ocurran los dos a la vez y la de que ocurra exactamente uno.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula de la unión. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}46 + 0{,}41 - 0{,}64 = 0{,}23$

3. Calculamos las partes exclusivas. Solo $A$ : $0{,}46 - 0{,}23 = 0{,}23$ . Solo $B$ : $0{,}41 - 0{,}23 = 0{,}18$ .

4. Sumamos para «exactamente uno». $0{,}23 + 0{,}18 = 0{,}41$ . Es la unión menos la intersección.

5. Verificamos. $0{,}23 + 0{,}23 + 0{,}18 = 0{,}64$ , que es la probabilidad de la unión. Las tres regiones cierran.

Respuesta: $P(A \cap B) = 0{,}23$ y $P(\text{exactamente uno}) = 0{,}41$

7. Dos sucesos tienen $P(A) = 0{,}25$ y $P(B) = 0{,}3$ . Calculá $P(A \cup B)$ en dos escenarios: si son incompatibles, y si $P(A \cap B) = 0{,}09$ . Compará los resultados.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula general. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , válida siempre.

2. Resolvemos el caso incompatible. Si no pueden ocurrir juntos, $P(A \cap B) = 0$ y la fórmula se reduce a la suma: $0{,}25 + 0{,}3 = 0{,}55$ .

3. Resolvemos el segundo caso. $0{,}25 + 0{,}3 - 0{,}09 = 0{,}46$

4. Comparamos. La diferencia es exactamente $0{,}09$ , la probabilidad de la parte compartida. Cuando los sucesos se superponen, la unión es menor que la suma.

5. El error que esto previene. Sumar sin restar cuando los sucesos sí pueden ocurrir juntos. El resultado siempre sale de más, y a veces supera a $1$ , que es cuando el error se hace evidente.

Respuesta: Incompatibles: $0{,}55$ . Con intersección $0{,}09$ : $0{,}46$

8. Tres sucesos cumplen $P(A) = 0{,}29$ , $P(B) = 0{,}41$ , $P(C) = 0{,}28$ , $P(A \cap B) = 0{,}15$ , $P(A \cap C) = 0{,}13$ , $P(B \cap C) = 0{,}13$ y $P(A \cap B \cap C) = 0{,}03$ . Calculá la probabilidad de que ocurra al menos uno de los tres.

Ver solución

1. Escribimos el principio de inclusión y exclusión. $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

2. Entendemos por qué alterna los signos. Al sumar las tres, cada zona de dos sucesos se contó dos veces y hay que restarla. Pero la zona de los tres se sumó tres veces y se restó tres veces, así que quedó en cero y hay que volver a sumarla.

3. Sumamos las simples. $0{,}29 + 0{,}41 + 0{,}28 = 0{,}98$

4. Restamos las intersecciones de a pares. $0{,}98 - 0{,}15 - 0{,}13 - 0{,}13 = 0{,}57$

5. Sumamos la triple. $0{,}57 + 0{,}03 = 0{,}6$

6. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . La probabilidad de que no ocurra ninguno es $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .

Respuesta: $P(A \cup B \cup C) = 0{,}6$

9. Entre los clientes de un local, la probabilidad de que un caso tomado al azar «paga con tarjeta» es $0{,}4$ , la de que «compra en promoción» es $0{,}47$ , y la de que cumpla las dos cosas es $0{,}2$ . Calculá la probabilidad de que cumpla al menos una de las dos.

Ver solución

1. Traducimos «al menos una». Es la unión de los dos sucesos: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir los dos.

2. Escribimos la fórmula. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . La resta corrige el doble conteo: al sumar, la parte compartida entró dos veces.

3. Reemplazamos. $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}47 - 0{,}2 = 0{,}67$

4. Calculamos también «ninguna de las dos». Es el complemento de la unión: $1 - 0{,}67 = 0{,}33$ .

5. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ , y es mayor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una unión.

Respuesta: $P(A \cup B) = 0{,}67$

10. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}41$ , $P(B) = 0{,}53$ y $P(A \cup B) = 0{,}83$ . Calculá la probabilidad de que ocurran los dos a la vez y la de que ocurra exactamente uno.

Ver solución

1. Partimos de la fórmula de la unión. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}41 + 0{,}53 - 0{,}83 = 0{,}11$

3. Calculamos las partes exclusivas. Solo $A$ : $0{,}41 - 0{,}11 = 0{,}3$ . Solo $B$ : $0{,}53 - 0{,}11 = 0{,}42$ .

4. Sumamos para «exactamente uno». $0{,}3 + 0{,}42 = 0{,}72$ . Es la unión menos la intersección.

5. Verificamos. $0{,}3 + 0{,}11 + 0{,}42 = 0{,}83$ , que es la probabilidad de la unión. Las tres regiones cierran.

Respuesta: $P(A \cap B) = 0{,}11$ y $P(\text{exactamente uno}) = 0{,}72$

11. Dos sucesos tienen $P(A) = 0{,}26$ y $P(B) = 0{,}31$ . Calculá $P(A \cup B)$ en dos escenarios: si son incompatibles, y si $P(A \cap B) = 0{,}1$ . Compará los resultados.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula general. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , válida siempre.

2. Resolvemos el caso incompatible. Si no pueden ocurrir juntos, $P(A \cap B) = 0$ y la fórmula se reduce a la suma: $0{,}26 + 0{,}31 = 0{,}57$ .

3. Resolvemos el segundo caso. $0{,}26 + 0{,}31 - 0{,}1 = 0{,}47$

4. Comparamos. La diferencia es exactamente $0{,}1$ , la probabilidad de la parte compartida. Cuando los sucesos se superponen, la unión es menor que la suma.

5. El error que esto previene. Sumar sin restar cuando los sucesos sí pueden ocurrir juntos. El resultado siempre sale de más, y a veces supera a $1$ , que es cuando el error se hace evidente.

Respuesta: Incompatibles: $0{,}57$ . Con intersección $0{,}1$ : $0{,}47$

12. Tres sucesos cumplen $P(A) = 0{,}44$ , $P(B) = 0{,}43$ , $P(C) = 0{,}3$ , $P(A \cap B) = 0{,}13$ , $P(A \cap C) = 0{,}13$ , $P(B \cap C) = 0{,}15$ y $P(A \cap B \cap C) = 0{,}06$ . Calculá la probabilidad de que ocurra al menos uno de los tres.

Ver solución

1. Escribimos el principio de inclusión y exclusión. $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

2. Entendemos por qué alterna los signos. Al sumar las tres, cada zona de dos sucesos se contó dos veces y hay que restarla. Pero la zona de los tres se sumó tres veces y se restó tres veces, así que quedó en cero y hay que volver a sumarla.

3. Sumamos las simples. $0{,}44 + 0{,}43 + 0{,}3 = 1{,}17$

4. Restamos las intersecciones de a pares. $1{,}17 - 0{,}13 - 0{,}13 - 0{,}15 = 0{,}76$

5. Sumamos la triple. $0{,}76 + 0{,}06 = 0{,}82$

6. Verificamos. El resultado queda entre $0$ y $1$ . La probabilidad de que no ocurra ninguno es $1 - 0{,}82 = 0{,}18$ .

Respuesta: $P(A \cup B \cup C) = 0{,}82$