Ejercicios: Probabilidad condicional

1. Una tabla de doble entrada sobre $113$ empleados tiene: «tiene título universitario» y «trabaja en administración»: $22$ ; «tiene título universitario» y «trabaja en producción»: $28$ ; «no lo tiene» y «trabaja en administración»: $25$ ; «no lo tiene» y «trabaja en producción»: $38$ . Se elige uno al azar y resulta que «trabaja en administración». Calculá la probabilidad de que además «tiene título universitario».

Ver solución

1. Identificamos qué se condiciona. El dato conocido es «trabaja en administración», así que el nuevo universo son solo esos casos: $22 + 25 = 47$ .

2. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. De esos $47$ , cumplen «tiene título universitario» los $22$ del casillero cruzado.

3. Dividimos. $P(\text{tiene título universitario} | \text{trabaja en administración}) = \dfrac{22}{47} \approx 0{,}4681$

4. Verificamos con la fórmula. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{22/113}{47/113} = \dfrac{22}{47}$ : el total $113$ se cancela, que es por qué en la tabla alcanza con dividir dentro de la columna.

5. Comparamos con la marginal. Sin condicionar, $P(\text{tiene título universitario}) = \dfrac{50}{113} \approx 0{,}4425$ . La condición subió la probabilidad.

Respuesta: $P = \dfrac{22}{47} \approx 0{,}4681$

2. De dos sucesos se sabe que $P(A \cap B) = 0{,}11$ y $P(B) = 0{,}6$ . Calculá $P(A | B)$ y explicá qué representa el denominador.

Ver solución

1. Escribimos la definición. $P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , con $P(B) > 0$ .

2. Reemplazamos. $P(A | B) = \dfrac{0{,}11}{0{,}6} \approx 0{,}1833$

3. Interpretamos el denominador. Condicionar es achicar el espacio muestral. Ya no se consideran todos los resultados posibles, sino solo los $60\%$ donde ocurre $B$ : ese es el nuevo total.

4. Verificamos que el resultado sea coherente. $0{,}1833$ queda entre $0$ y $1$ . Siempre va a ser así, porque $A \cap B$ está incluido en $B$ y entonces el numerador nunca supera al denominador.

5. El error de orden. $P(B | A)$ es otra cosa: se divide por $P(A)$ , no por $P(B)$ . Invertir el orden de la barra es el error más común del tema.

Respuesta: $P(A | B) = 0{,}1833$

3. En una población, una característica poco frecuente la tiene $0{,}004$ de la gente. Cierta prueba da positiva en el $92\%$ de quienes la tienen y en el $8\%$ de quienes no. Calculá $P(\text{positivo} | \text{la tiene})$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo})$ , y compará.

Ver solución

1. Escribimos la primera, que viene dada. $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}92$ . Es un dato del enunciado: describe a la prueba.

2. Calculamos la probabilidad de dar positivo. $P(\text{positivo}) = 0{,}004 \cdot 0{,}92 + 0{,}996 \cdot 0{,}08 \approx 0{,}0834$

3. Invertimos la condición. $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = \dfrac{0{,}004 \cdot 0{,}92}{0{,}0834} \approx 0{,}0441$

4. Comparamos las dos. $0{,}92$ contra $0{,}0441$ : son números completamente distintos, aunque las dos frases se parezcan.

5. Nombramos el error. Confundirlas se llama falacia del fiscal. La probabilidad de dar positivo teniendo la característica no es la probabilidad de tenerla habiendo dado positivo.

6. Explicamos la diferencia. El orden de la barra cambia el denominador: en una se divide por los que la tienen y en la otra por todos los positivos, que son muchos más porque la mayoría de la población no la tiene.

Respuesta: $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}92$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = 0{,}0441$

4. Se tira un dado equilibrado y se informa que salió un número par. Calculá la probabilidad de que el resultado sea múltiplo de $3$ .

Ver solución

1. Escribimos el espacio muestral original. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Achicamos el espacio muestral con la información. El condicionante es $B = \{2; 4; 6\}$ , con $3$ resultados. Ese pasa a ser el nuevo total.

3. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. $A = \{3; 6\}$ , y $A \cap B = \{6\}$ , con $1$ resultado.

4. Dividimos. $P(A | B) = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

5. Comparamos con la probabilidad sin condicionar. $P(A) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$ . La información no cambió nada, así que estos dos sucesos son independientes.

Respuesta: $P = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

5. Una tabla de doble entrada sobre $145$ alumnos tiene: «aprobó el parcial» y «cursa a la mañana»: $54$ ; «aprobó el parcial» y «cursa a la noche»: $20$ ; «no aprobó» y «cursa a la mañana»: $41$ ; «no aprobó» y «cursa a la noche»: $30$ . Se elige uno al azar y resulta que «cursa a la mañana». Calculá la probabilidad de que además «aprobó el parcial».

Ver solución

1. Identificamos qué se condiciona. El dato conocido es «cursa a la mañana», así que el nuevo universo son solo esos casos: $54 + 41 = 95$ .

2. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. De esos $95$ , cumplen «aprobó el parcial» los $54$ del casillero cruzado.

3. Dividimos. $P(\text{aprobó el parcial} | \text{cursa a la mañana}) = \dfrac{54}{95} \approx 0{,}5684$

4. Verificamos con la fórmula. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{54/145}{95/145} = \dfrac{54}{95}$ : el total $145$ se cancela, que es por qué en la tabla alcanza con dividir dentro de la columna.

5. Comparamos con la marginal. Sin condicionar, $P(\text{aprobó el parcial}) = \dfrac{74}{145} \approx 0{,}5103$ . La condición subió la probabilidad.

Respuesta: $P = \dfrac{54}{95} \approx 0{,}5684$

6. De dos sucesos se sabe que $P(A \cap B) = 0{,}09$ y $P(B) = 0{,}57$ . Calculá $P(A | B)$ y explicá qué representa el denominador.

Ver solución

1. Escribimos la definición. $P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , con $P(B) > 0$ .

2. Reemplazamos. $P(A | B) = \dfrac{0{,}09}{0{,}57} \approx 0{,}1579$

3. Interpretamos el denominador. Condicionar es achicar el espacio muestral. Ya no se consideran todos los resultados posibles, sino solo los $57\%$ donde ocurre $B$ : ese es el nuevo total.

4. Verificamos que el resultado sea coherente. $0{,}1579$ queda entre $0$ y $1$ . Siempre va a ser así, porque $A \cap B$ está incluido en $B$ y entonces el numerador nunca supera al denominador.

5. El error de orden. $P(B | A)$ es otra cosa: se divide por $P(A)$ , no por $P(B)$ . Invertir el orden de la barra es el error más común del tema.

Respuesta: $P(A | B) = 0{,}1579$

7. En una población, una característica poco frecuente la tiene $0{,}001$ de la gente. Cierta prueba da positiva en el $91\%$ de quienes la tienen y en el $2\%$ de quienes no. Calculá $P(\text{positivo} | \text{la tiene})$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo})$ , y compará.

Ver solución

1. Escribimos la primera, que viene dada. $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}91$ . Es un dato del enunciado: describe a la prueba.

2. Calculamos la probabilidad de dar positivo. $P(\text{positivo}) = 0{,}001 \cdot 0{,}91 + 0{,}999 \cdot 0{,}02 \approx 0{,}0209$

3. Invertimos la condición. $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = \dfrac{0{,}001 \cdot 0{,}91}{0{,}0209} \approx 0{,}0436$

4. Comparamos las dos. $0{,}91$ contra $0{,}0436$ : son números completamente distintos, aunque las dos frases se parezcan.

5. Nombramos el error. Confundirlas se llama falacia del fiscal. La probabilidad de dar positivo teniendo la característica no es la probabilidad de tenerla habiendo dado positivo.

6. Explicamos la diferencia. El orden de la barra cambia el denominador: en una se divide por los que la tienen y en la otra por todos los positivos, que son muchos más porque la mayoría de la población no la tiene.

Respuesta: $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}91$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = 0{,}0436$

8. Se tira un dado equilibrado y se informa que salió un número mayor que $3$ . Calculá la probabilidad de que el resultado sea impar.

Ver solución

1. Escribimos el espacio muestral original. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Achicamos el espacio muestral con la información. El condicionante es $B = \{4; 5; 6\}$ , con $3$ resultados. Ese pasa a ser el nuevo total.

3. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. $A = \{1; 3; 5\}$ , y $A \cap B = \{5\}$ , con $1$ resultado.

4. Dividimos. $P(A | B) = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

5. Comparamos con la probabilidad sin condicionar. $P(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ . La información cambió la probabilidad, así que los sucesos no son independientes.

Respuesta: $P = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

9. Una tabla de doble entrada sobre $160$ piezas tiene: «salió defectuosa» y «viene de la máquina A»: $26$ ; «salió defectuosa» y «viene de la máquina B»: $27$ ; «salió correcta» y «viene de la máquina A»: $47$ ; «salió correcta» y «viene de la máquina B»: $60$ . Se elige uno al azar y resulta que «viene de la máquina A». Calculá la probabilidad de que además «salió defectuosa».

Ver solución

1. Identificamos qué se condiciona. El dato conocido es «viene de la máquina A», así que el nuevo universo son solo esos casos: $26 + 47 = 73$ .

2. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. De esos $73$ , cumplen «salió defectuosa» los $26$ del casillero cruzado.

3. Dividimos. $P(\text{salió defectuosa} | \text{viene de la máquina A}) = \dfrac{26}{73} \approx 0{,}3562$

4. Verificamos con la fórmula. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{26/160}{73/160} = \dfrac{26}{73}$ : el total $160$ se cancela, que es por qué en la tabla alcanza con dividir dentro de la columna.

5. Comparamos con la marginal. Sin condicionar, $P(\text{salió defectuosa}) = \dfrac{53}{160} \approx 0{,}3312$ . La condición subió la probabilidad.

Respuesta: $P = \dfrac{26}{73} \approx 0{,}3562$

10. De dos sucesos se sabe que $P(A \cap B) = 0{,}2$ y $P(B) = 0{,}65$ . Calculá $P(A | B)$ y explicá qué representa el denominador.

Ver solución

1. Escribimos la definición. $P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , con $P(B) > 0$ .

2. Reemplazamos. $P(A | B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}65} \approx 0{,}3077$

3. Interpretamos el denominador. Condicionar es achicar el espacio muestral. Ya no se consideran todos los resultados posibles, sino solo los $65\%$ donde ocurre $B$ : ese es el nuevo total.

4. Verificamos que el resultado sea coherente. $0{,}3077$ queda entre $0$ y $1$ . Siempre va a ser así, porque $A \cap B$ está incluido en $B$ y entonces el numerador nunca supera al denominador.

5. El error de orden. $P(B | A)$ es otra cosa: se divide por $P(A)$ , no por $P(B)$ . Invertir el orden de la barra es el error más común del tema.

Respuesta: $P(A | B) = 0{,}3077$

11. En una población, una característica poco frecuente la tiene $0{,}002$ de la gente. Cierta prueba da positiva en el $96\%$ de quienes la tienen y en el $6\%$ de quienes no. Calculá $P(\text{positivo} | \text{la tiene})$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo})$ , y compará.

Ver solución

1. Escribimos la primera, que viene dada. $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}96$ . Es un dato del enunciado: describe a la prueba.

2. Calculamos la probabilidad de dar positivo. $P(\text{positivo}) = 0{,}002 \cdot 0{,}96 + 0{,}998 \cdot 0{,}06 = 0{,}0618$

3. Invertimos la condición. $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = \dfrac{0{,}002 \cdot 0{,}96}{0{,}0618} \approx 0{,}0311$

4. Comparamos las dos. $0{,}96$ contra $0{,}0311$ : son números completamente distintos, aunque las dos frases se parezcan.

5. Nombramos el error. Confundirlas se llama falacia del fiscal. La probabilidad de dar positivo teniendo la característica no es la probabilidad de tenerla habiendo dado positivo.

6. Explicamos la diferencia. El orden de la barra cambia el denominador: en una se divide por los que la tienen y en la otra por todos los positivos, que son muchos más porque la mayoría de la población no la tiene.

Respuesta: $P(\text{positivo} | \text{la tiene}) = 0{,}96$ y $P(\text{la tiene} | \text{positivo}) = 0{,}0311$

12. Se tira un dado equilibrado y se informa que salió un número menor o igual que $4$ . Calculá la probabilidad de que el resultado sea múltiplo de $3$ .

Ver solución

1. Escribimos el espacio muestral original. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Achicamos el espacio muestral con la información. El condicionante es $B = \{1; 2; 3; 4\}$ , con $4$ resultados. Ese pasa a ser el nuevo total.

3. Contamos los favorables dentro del nuevo universo. $A = \{3; 6\}$ , y $A \cap B = \{3\}$ , con $1$ resultado.

4. Dividimos. $P(A | B) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

5. Comparamos con la probabilidad sin condicionar. $P(A) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$ . La información cambió la probabilidad, así que los sucesos no son independientes.

Respuesta: $P = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$