Ejercicios: La regla del producto

2. Calculamos la primera extracción. $P(\text{1a roja}) = \dfrac{8}{17} \approx 0{,}4706$

3. Actualizamos la urna. Sacada una roja y no devuelta, quedan $7$ rojas sobre $16$ bolillas: $P(\text{2a roja} | \text{1a roja}) = \dfrac{7}{16} = 0{,}4375$.

4. Multiplicamos. $P = \dfrac{8}{17} \cdot \dfrac{7}{16} \approx 0{,}2059$

5. Verificamos con conteo. Sin orden: $\dfrac{C_{8,2}}{C_{17,2}} = \dfrac{28}{136} \approx 0{,}2059$, el mismo resultado.

6. El paso donde se falla. Olvidar actualizar el denominador. Sin reposición, cada extracción cambia la urna y las probabilidades del paso siguiente.

Respuesta: $P = 0{,}2059$

2. Primera extracción. $\dfrac{6}{12}$, con la urna completa.

3. Segunda extracción. Falta una blanca: $\dfrac{5}{11}$.

4. Tercera extracción. Ya salieron dos blancas, así que las negras siguen siendo $6$ pero el total bajó a $10$: $\dfrac{6}{10}$.

5. Multiplicamos. $P = \dfrac{6}{12} \cdot \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{6}{10} \approx 0{,}1364$

6. Un detalle del enunciado. Esta es la probabilidad de ese orden exacto. Si se pidiera «dos blancas y una negra en cualquier orden», habría que multiplicar por las $3$ posiciones posibles de la negra.

Respuesta: $P = 0{,}1364$

2. Calculamos. $P = \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{4}{10} = 0{,}16$

3. Planteamos el caso sin reposición. La primera bolilla no vuelve: $P(\text{2a verde} | \text{1a verde}) = \dfrac{3}{9}$.

4. Calculamos. $P = \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} \approx 0{,}1333$

5. Comparamos. $0{,}1333 < 0{,}16$: sin reposición es menos probable, porque sacar una verde deja menos verdes para la segunda.

6. Lo que separa los dos casos. Con reposición las extracciones son independientes y la condicional coincide con la simple. Sin reposición no lo son, y hay que actualizar en cada paso.

Respuesta: Con reposición $0{,}16$ y sin reposición $0{,}1333$

2. Despejamos la condicional. $P(B | A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}212}{0{,}53} = 0{,}4$

3. Comparamos con la probabilidad simple de $B$. $P(B | A) = 0{,}4$ contra $P(B)$, que es distinto.

4. Concluimos sobre la independencia. Como saber que ocurrió $A$ cambia la probabilidad de $B$, los sucesos no son independientes.

5. La relación entre las dos ideas. La regla del producto vale siempre. La independencia es el caso particular en que $P(B | A) = P(B)$, y ahí la regla se simplifica a multiplicar las probabilidades simples.

Respuesta: $P(B | A) = 0{,}4$, y no son independientes porque no coincide con $P(B)$

2. Calculamos la primera extracción. $P(\text{1a roja}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$

3. Actualizamos la urna. Sacada una roja y no devuelta, quedan $4$ rojas sobre $9$ bolillas: $P(\text{2a roja} | \text{1a roja}) = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}4444$.

4. Multiplicamos. $P = \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \approx 0{,}2222$

5. Verificamos con conteo. Sin orden: $\dfrac{C_{5,2}}{C_{10,2}} = \dfrac{10}{45} \approx 0{,}2222$, el mismo resultado.

6. El paso donde se falla. Olvidar actualizar el denominador. Sin reposición, cada extracción cambia la urna y las probabilidades del paso siguiente.

Respuesta: $P = 0{,}2222$

2. Primera extracción. $\dfrac{6}{15}$, con la urna completa.

3. Segunda extracción. Falta una blanca: $\dfrac{5}{14}$.

4. Tercera extracción. Ya salieron dos blancas, así que las negras siguen siendo $9$ pero el total bajó a $13$: $\dfrac{9}{13}$.

5. Multiplicamos. $P = \dfrac{6}{15} \cdot \dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{9}{13} \approx 0{,}0989$

6. Un detalle del enunciado. Esta es la probabilidad de ese orden exacto. Si se pidiera «dos blancas y una negra en cualquier orden», habría que multiplicar por las $3$ posiciones posibles de la negra.

Respuesta: $P = 0{,}0989$

2. Calculamos. $P = \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{7}{15} \approx 0{,}2178$

3. Planteamos el caso sin reposición. La primera bolilla no vuelve: $P(\text{2a verde} | \text{1a verde}) = \dfrac{6}{14}$.

4. Calculamos. $P = \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{6}{14} = 0{,}2$

5. Comparamos. $0{,}2 < 0{,}2178$: sin reposición es menos probable, porque sacar una verde deja menos verdes para la segunda.

6. Lo que separa los dos casos. Con reposición las extracciones son independientes y la condicional coincide con la simple. Sin reposición no lo son, y hay que actualizar en cada paso.

Respuesta: Con reposición $0{,}2178$ y sin reposición $0{,}2$

2. Despejamos la condicional. $P(B | A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}192}{0{,}6} = 0{,}32$

3. Comparamos con la probabilidad simple de $B$. $P(B | A) = 0{,}32$ contra $P(B)$, que es distinto.

4. Concluimos sobre la independencia. Como saber que ocurrió $A$ cambia la probabilidad de $B$, los sucesos no son independientes.

5. La relación entre las dos ideas. La regla del producto vale siempre. La independencia es el caso particular en que $P(B | A) = P(B)$, y ahí la regla se simplifica a multiplicar las probabilidades simples.

Respuesta: $P(B | A) = 0{,}32$, y no son independientes porque no coincide con $P(B)$

2. Calculamos la primera extracción. $P(\text{1a roja}) = \dfrac{7}{12} \approx 0{,}5833$

3. Actualizamos la urna. Sacada una roja y no devuelta, quedan $6$ rojas sobre $11$ bolillas: $P(\text{2a roja} | \text{1a roja}) = \dfrac{6}{11} \approx 0{,}5455$.

4. Multiplicamos. $P = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \approx 0{,}3182$

5. Verificamos con conteo. Sin orden: $\dfrac{C_{7,2}}{C_{12,2}} = \dfrac{21}{66} \approx 0{,}3182$, el mismo resultado.

6. El paso donde se falla. Olvidar actualizar el denominador. Sin reposición, cada extracción cambia la urna y las probabilidades del paso siguiente.

Respuesta: $P = 0{,}3182$

2. Primera extracción. $\dfrac{9}{19}$, con la urna completa.

3. Segunda extracción. Falta una blanca: $\dfrac{8}{18}$.

4. Tercera extracción. Ya salieron dos blancas, así que las negras siguen siendo $10$ pero el total bajó a $17$: $\dfrac{10}{17}$.

5. Multiplicamos. $P = \dfrac{9}{19} \cdot \dfrac{8}{18} \cdot \dfrac{10}{17} \approx 0{,}1238$

6. Un detalle del enunciado. Esta es la probabilidad de ese orden exacto. Si se pidiera «dos blancas y una negra en cualquier orden», habría que multiplicar por las $3$ posiciones posibles de la negra.

Respuesta: $P = 0{,}1238$

2. Calculamos. $P = \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{5}{10} = 0{,}25$

3. Planteamos el caso sin reposición. La primera bolilla no vuelve: $P(\text{2a verde} | \text{1a verde}) = \dfrac{4}{9}$.

4. Calculamos. $P = \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \approx 0{,}2222$

5. Comparamos. $0{,}2222 < 0{,}25$: sin reposición es menos probable, porque sacar una verde deja menos verdes para la segunda.

6. Lo que separa los dos casos. Con reposición las extracciones son independientes y la condicional coincide con la simple. Sin reposición no lo son, y hay que actualizar en cada paso.

Respuesta: Con reposición $0{,}25$ y sin reposición $0{,}2222$

2. Despejamos la condicional. $P(B | A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}187}{0{,}55} = 0{,}34$

3. Comparamos con la probabilidad simple de $B$. $P(B | A) = 0{,}34$ contra $P(B)$, que es distinto.

4. Concluimos sobre la independencia. Como saber que ocurrió $A$ cambia la probabilidad de $B$, los sucesos no son independientes.

5. La relación entre las dos ideas. La regla del producto vale siempre. La independencia es el caso particular en que $P(B | A) = P(B)$, y ahí la regla se simplifica a multiplicar las probabilidades simples.

Respuesta: $P(B | A) = 0{,}34$, y no son independientes porque no coincide con $P(B)$