Ejercicios: Sucesos independientes

1. En una encuesta a $135$ personas se cruzaron dos criterios. Los resultados fueron: $A$ y $B$ : $21$ ; $A$ y no $B$ : $42$ ; no $A$ y $B$ : $24$ ; no $A$ y no $B$ : $48$ . Verificá si $A$ y $B$ son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades que hacen falta. $P(A) = \dfrac{63}{135} \approx 0{,}4667$ , $P(B) = \dfrac{45}{135} \approx 0{,}3333$ y $P(A \cap B) = \dfrac{21}{135} \approx 0{,}1556$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $0{,}4667 \cdot 0{,}3333 \approx 0{,}1556$

4. Comparamos. $0{,}1556$ contra $0{,}1556$ : coinciden.

5. Concluimos. Son independientes: saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro.

6. Por qué hay que verificar y no intuir. La independencia no se decide mirando si los criterios «parecen» tener relación. Hay que hacer la cuenta: sucesos que parecen ajenos resultan dependientes con frecuencia.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}1556$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}1556$

2. En un sistema hay dos servidores con alimentación independiente. El primero funciona sin fallar durante el mes con probabilidad $0{,}83$ y el segundo con probabilidad $0{,}67$ , de forma independiente. Calculá la probabilidad de que los dos funcionen todo el mes y la de que falle al menos uno.

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1. Verificamos que se pueda multiplicar. El enunciado dice que fallan de forma independiente, así que la probabilidad de que uno funcione no cambia por lo que pase con el otro.

2. Calculamos que funcionen los dos. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}83 \cdot 0{,}67 = 0{,}5561$

3. Calculamos que falle al menos uno. Es el complemento del anterior: $1 - 0{,}5561 = 0{,}4439$ .

4. Calculamos también que fallen los dos. $(1 - 0{,}83) \cdot (1 - 0{,}67) = 0{,}17 \cdot 0{,}33 = 0{,}0561$ . Si dos sucesos son independientes, sus complementos también lo son.

5. Verificamos el sentido. $0{,}5561$ es menor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una intersección.

Respuesta: $P(\text{los dos funcionan}) = 0{,}5561$ y $P(\text{falla al menos uno}) = 0{,}4439$

3. Dos sucesos independientes cumplen $P(A) = 0{,}56$ y $P(B) = 0{,}47$ . Verificá que $A^{c}$ y $B^{c}$ también son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades de los complementos. $P(A^{c}) = 1 - 0{,}56 = 0{,}44$ y $P(B^{c}) = 1 - 0{,}47 = 0{,}53$ .

2. Calculamos la probabilidad de que no ocurra ninguno. Por De Morgan, $A^{c} \cap B^{c} = (A \cup B)^{c}$ . Y $P(A \cup B) = 0{,}56 + 0{,}47 - 0{,}56 \cdot 0{,}47 = 0{,}7668$ , donde la intersección se calculó como producto por ser independientes.

3. Calculamos el complemento. $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0{,}7668 = 0{,}2332$

4. Comparamos con el producto de los complementos. $P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}44 \cdot 0{,}53 = 0{,}2332$

5. Concluimos. Los dos valores coinciden, así que se cumple la definición y los complementos son independientes.

6. Para qué se usa esta propiedad. Permite calcular «ninguno de los dos ocurre» multiplicando directamente los complementos, que es el paso central de casi todos los problemas de «al menos uno».

Respuesta: $P(A^{c} \cap B^{c}) = P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}2332$ , así que son independientes

4. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}26$ , $P(B) = 0{,}21$ y $P(A \cup B) = 0{,}4154$ . Decidí si son independientes.

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1. Vemos qué falta para poder decidir. La condición de independencia se escribe con la intersección, y el enunciado da la unión. Hay que pasar de una a la otra.

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}26 + 0{,}21 - 0{,}4154 = 0{,}0546$

3. Calculamos el producto de las simples. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}26 \cdot 0{,}21 = 0{,}0546$

4. Comparamos. $0{,}0546$ contra $0{,}0546$ : son iguales.

5. Concluimos. Son independientes.

6. Lo que no hay que confundir. Incompatibles no es lo mismo que independientes. Acá $P(A \cap B) = 0{,}0546$ es positiva, así que además no son incompatibles.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}0546$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}0546$

5. En una encuesta a $264$ personas se cruzaron dos criterios. Los resultados fueron: $A$ y $B$ : $38$ ; $A$ y no $B$ : $114$ ; no $A$ y $B$ : $28$ ; no $A$ y no $B$ : $84$ . Verificá si $A$ y $B$ son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades que hacen falta. $P(A) = \dfrac{152}{264} \approx 0{,}5758$ , $P(B) = \dfrac{66}{264} = 0{,}25$ y $P(A \cap B) = \dfrac{38}{264} \approx 0{,}1439$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $0{,}5758 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}1439$

4. Comparamos. $0{,}1439$ contra $0{,}1439$ : coinciden.

5. Concluimos. Son independientes: saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro.

6. Por qué hay que verificar y no intuir. La independencia no se decide mirando si los criterios «parecen» tener relación. Hay que hacer la cuenta: sucesos que parecen ajenos resultan dependientes con frecuencia.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}1439$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}1439$

6. En un sistema hay dos sensores instalados en distintos sectores. El primero funciona sin fallar durante el mes con probabilidad $0{,}89$ y el segundo con probabilidad $0{,}66$ , de forma independiente. Calculá la probabilidad de que los dos funcionen todo el mes y la de que falle al menos uno.

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1. Verificamos que se pueda multiplicar. El enunciado dice que fallan de forma independiente, así que la probabilidad de que uno funcione no cambia por lo que pase con el otro.

2. Calculamos que funcionen los dos. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}89 \cdot 0{,}66 = 0{,}5874$

3. Calculamos que falle al menos uno. Es el complemento del anterior: $1 - 0{,}5874 = 0{,}4126$ .

4. Calculamos también que fallen los dos. $(1 - 0{,}89) \cdot (1 - 0{,}66) = 0{,}11 \cdot 0{,}34 = 0{,}0374$ . Si dos sucesos son independientes, sus complementos también lo son.

5. Verificamos el sentido. $0{,}5874$ es menor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una intersección.

Respuesta: $P(\text{los dos funcionan}) = 0{,}5874$ y $P(\text{falla al menos uno}) = 0{,}4126$

7. Dos sucesos independientes cumplen $P(A) = 0{,}38$ y $P(B) = 0{,}54$ . Verificá que $A^{c}$ y $B^{c}$ también son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades de los complementos. $P(A^{c}) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62$ y $P(B^{c}) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46$ .

2. Calculamos la probabilidad de que no ocurra ninguno. Por De Morgan, $A^{c} \cap B^{c} = (A \cup B)^{c}$ . Y $P(A \cup B) = 0{,}38 + 0{,}54 - 0{,}38 \cdot 0{,}54 = 0{,}7148$ , donde la intersección se calculó como producto por ser independientes.

3. Calculamos el complemento. $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0{,}7148 = 0{,}2852$

4. Comparamos con el producto de los complementos. $P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}62 \cdot 0{,}46 = 0{,}2852$

5. Concluimos. Los dos valores coinciden, así que se cumple la definición y los complementos son independientes.

6. Para qué se usa esta propiedad. Permite calcular «ninguno de los dos ocurre» multiplicando directamente los complementos, que es el paso central de casi todos los problemas de «al menos uno».

Respuesta: $P(A^{c} \cap B^{c}) = P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}2852$ , así que son independientes

8. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}31$ , $P(B) = 0{,}26$ y $P(A \cup B) = 0{,}4894$ . Decidí si son independientes.

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1. Vemos qué falta para poder decidir. La condición de independencia se escribe con la intersección, y el enunciado da la unión. Hay que pasar de una a la otra.

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}31 + 0{,}26 - 0{,}4894 = 0{,}0806$

3. Calculamos el producto de las simples. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}31 \cdot 0{,}26 = 0{,}0806$

4. Comparamos. $0{,}0806$ contra $0{,}0806$ : son iguales.

5. Concluimos. Son independientes.

6. Lo que no hay que confundir. Incompatibles no es lo mismo que independientes. Acá $P(A \cap B) = 0{,}0806$ es positiva, así que además no son incompatibles.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}0806$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}0806$

9. En una encuesta a $188$ personas se cruzaron dos criterios. Los resultados fueron: $A$ y $B$ : $26$ ; $A$ y no $B$ : $78$ ; no $A$ y $B$ : $21$ ; no $A$ y no $B$ : $63$ . Verificá si $A$ y $B$ son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades que hacen falta. $P(A) = \dfrac{104}{188} \approx 0{,}5532$ , $P(B) = \dfrac{47}{188} = 0{,}25$ y $P(A \cap B) = \dfrac{26}{188} \approx 0{,}1383$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $0{,}5532 \cdot 0{,}25 = 0{,}1383$

4. Comparamos. $0{,}1383$ contra $0{,}1383$ : coinciden.

5. Concluimos. Son independientes: saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro.

6. Por qué hay que verificar y no intuir. La independencia no se decide mirando si los criterios «parecen» tener relación. Hay que hacer la cuenta: sucesos que parecen ajenos resultan dependientes con frecuencia.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}1383$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}1383$

10. En un sistema hay dos servidores con alimentación independiente. El primero funciona sin fallar durante el mes con probabilidad $0{,}64$ y el segundo con probabilidad $0{,}92$ , de forma independiente. Calculá la probabilidad de que los dos funcionen todo el mes y la de que falle al menos uno.

Ver solución

1. Verificamos que se pueda multiplicar. El enunciado dice que fallan de forma independiente, así que la probabilidad de que uno funcione no cambia por lo que pase con el otro.

2. Calculamos que funcionen los dos. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}64 \cdot 0{,}92 = 0{,}5888$

3. Calculamos que falle al menos uno. Es el complemento del anterior: $1 - 0{,}5888 = 0{,}4112$ .

4. Calculamos también que fallen los dos. $(1 - 0{,}64) \cdot (1 - 0{,}92) = 0{,}36 \cdot 0{,}08 = 0{,}0288$ . Si dos sucesos son independientes, sus complementos también lo son.

5. Verificamos el sentido. $0{,}5888$ es menor que cada probabilidad por separado, como corresponde a una intersección.

Respuesta: $P(\text{los dos funcionan}) = 0{,}5888$ y $P(\text{falla al menos uno}) = 0{,}4112$

11. Dos sucesos independientes cumplen $P(A) = 0{,}31$ y $P(B) = 0{,}66$ . Verificá que $A^{c}$ y $B^{c}$ también son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades de los complementos. $P(A^{c}) = 1 - 0{,}31 = 0{,}69$ y $P(B^{c}) = 1 - 0{,}66 = 0{,}34$ .

2. Calculamos la probabilidad de que no ocurra ninguno. Por De Morgan, $A^{c} \cap B^{c} = (A \cup B)^{c}$ . Y $P(A \cup B) = 0{,}31 + 0{,}66 - 0{,}31 \cdot 0{,}66 = 0{,}7654$ , donde la intersección se calculó como producto por ser independientes.

3. Calculamos el complemento. $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0{,}7654 = 0{,}2346$

4. Comparamos con el producto de los complementos. $P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}69 \cdot 0{,}34 = 0{,}2346$

5. Concluimos. Los dos valores coinciden, así que se cumple la definición y los complementos son independientes.

6. Para qué se usa esta propiedad. Permite calcular «ninguno de los dos ocurre» multiplicando directamente los complementos, que es el paso central de casi todos los problemas de «al menos uno».

Respuesta: $P(A^{c} \cap B^{c}) = P(A^{c}) \cdot P(B^{c}) = 0{,}2346$ , así que son independientes

12. De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}48$ , $P(B) = 0{,}44$ y $P(A \cup B) = 0{,}7088$ . Decidí si son independientes.

Ver solución

1. Vemos qué falta para poder decidir. La condición de independencia se escribe con la intersección, y el enunciado da la unión. Hay que pasar de una a la otra.

2. Despejamos la intersección. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}48 + 0{,}44 - 0{,}7088 = 0{,}2112$

3. Calculamos el producto de las simples. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}48 \cdot 0{,}44 = 0{,}2112$

4. Comparamos. $0{,}2112$ contra $0{,}2112$ : son iguales.

5. Concluimos. Son independientes.

6. Lo que no hay que confundir. Incompatibles no es lo mismo que independientes. Acá $P(A \cap B) = 0{,}2112$ es positiva, así que además no son incompatibles.

Respuesta: Son independientes: $P(A \cap B) = 0{,}2112$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}2112$