Ejercicios: Independencia de tres o más sucesos

1. Se tiran dos monedas equilibradas. Se definen $A$ : «la primera sale cara», $B$ : «la segunda sale cara» y $C$ : «las dos salen iguales». Verificá si los tres sucesos son independientes.

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{(c; c); (c; x); (x; c); (x; x)\}$ , con $4$ resultados equiprobables. $A = \{(c; c); (c; x)\}$ , $B = \{(c; c); (x; c)\}$ y $C = \{(c; c); (x; x)\}$ .

2. Calculamos las probabilidades simples. $P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$

3. Verificamos los tres pares. $A \cap B = \{(c; c)\}$ , así que $P = 0{,}25 = 0{,}5 \cdot 0{,}5$ . Lo mismo pasa con $A \cap C$ y con $B \cap C$ : los tres pares cumplen la condición.

4. Verificamos el trío. $A \cap B \cap C = \{(c; c)\}$ , así que $P(A \cap B \cap C) = 0{,}25$ , mientras que $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0{,}125$ .

5. Concluimos. $0{,}25 \neq 0{,}125$ , así que no son independientes en conjunto, aunque lo sean de a pares.

6. Lo que muestra el ejemplo. La independencia de a pares es estrictamente más débil que la del conjunto. Hay que verificar todas las combinaciones.

Respuesta: No son independientes en conjunto: los pares cumplen la condición pero $P(A \cap B \cap C) = 0{,}25 \neq 0{,}125$

2. Un sistema tiene tres componentes que fallan de forma independiente, con probabilidades de funcionar $0{,}83$ , $0{,}87$ y $0{,}83$ . Calculá la probabilidad de que el sistema funcione si los tres están en serie, y si están en paralelo.

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1. Traducimos la configuración en serie. En serie, el sistema funciona solo si funcionan los tres: es la intersección de los tres sucesos.

2. Calculamos. $P = 0{,}83 \cdot 0{,}87 \cdot 0{,}83 \approx 0{,}5993$ , usando que la independencia del conjunto permite multiplicar las tres.

3. Traducimos la configuración en paralelo. En paralelo alcanza con que funcione uno. Conviene calcular el complemento: que fallen los tres.

4. Calculamos el complemento. $P(\text{fallan los tres}) = 0{,}17 \cdot 0{,}13 \cdot 0{,}17 \approx 0{,}0038$ , así que $P(\text{funciona}) = 1 - 0{,}0038 = 0{,}9962$ .

5. Comparamos. $0{,}9962 > 0{,}5993$ , y las dos se comparan con el mejor componente solo, $0{,}87$ . En serie el sistema es peor que su peor pieza; en paralelo es mejor que su mejor pieza.

6. La suposición que sostiene todo. Que las fallas sean independientes. Si comparten fuente de alimentación o ambiente, deja de valer y el cálculo sobreestima la confiabilidad.

Respuesta: En serie $0{,}5993$ y en paralelo $0{,}9962$

3. Se hacen $5$ tiros al blanco independientes, y en cada uno la probabilidad de éxito es $\dfrac{1}{5}$ . Calculá la probabilidad de que los $5$ sean exitosos y la de que haya al menos un éxito.

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1. Verificamos que se pueda multiplicar. Los intentos son independientes entre sí, así que la probabilidad de una secuencia es el producto de las individuales. Esa suposición es la que permite tratar los $5$ intentos juntos.

2. Calculamos que los todos sean exitosos. $P = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{5} \approx 0{,}0003$

3. Planteamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ningún éxito}) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{5} \approx 0{,}3277$

4. Restamos. $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}3277 = 0{,}6723$

5. Comparamos los dos resultados. $0{,}0003$ es mucho más chico que $0{,}6723$ : exigir que salgan todos es mucho más fuerte que pedir que salga alguno.

6. Hacia dónde lleva esto. Contar de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos entre los $5$ intentos es lo que da la distribución binomial, que se ve más adelante.

Respuesta: $P(\text{los 5 exitosos}) = 0{,}0003$ y $P(\text{al menos uno}) = 0{,}6723$

4. Se tira un dado equilibrado. Se definen $A = \{1; 2; 3; 4\}$ , $B = \{2; 3; 4; 5\}$ y $C = \{1; 2; 5; 6\}$ . Verificá si son independientes de a pares y si lo son en conjunto.

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1. Calculamos las probabilidades simples. $P(A) = \dfrac{4}{6}$ , $P(B) = \dfrac{4}{6}$ y $P(C) = \dfrac{4}{6}$ , o sea $0{,}6667$ , $0{,}6667$ y $0{,}6667$ .

2. Escribimos las intersecciones de a pares. $A \cap B = \{2; 3; 4\}$ · $A \cap C = \{1; 2\}$ · $B \cap C = \{2; 5\}$

3. Verificamos cada par. $P(A \cap B) = 0{,}5$ contra $0{,}4444$ · $P(A \cap C) = 0{,}3333$ contra $0{,}4444$ · $P(B \cap C) = 0{,}3333$ contra $0{,}4444$ . Ninguno cumple la condición.

4. Verificamos el trío. $A \cap B \cap C = \{2\}$ , con probabilidad $0{,}1667$ , contra $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0{,}2963$ .

5. Concluimos. No son independientes en conjunto, porque la condición del trío no se cumple.

6. La regla general. Para afirmar que un conjunto de sucesos es independiente hay que verificar todas las combinaciones: los pares, los tríos, y así hasta el conjunto completo. Ninguna condición implica a la otra.

Respuesta: Ningún par cumple la condición, y en conjunto no son independientes: $0{,}1667$ contra $0{,}2963$

5. Se tiran dos dados equilibrados. Se definen $A$ : «el primero sale par», $B$ : «el segundo sale par» y $C$ : «la suma es par». Verificá si los tres sucesos son independientes.

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1. Contamos sobre los $36$ pares ordenados. $A$ tiene $3 \cdot 6 = 18$ casos, $B$ también $18$ , y $C$ reúne los pares con los dos números pares o los dos impares: $9 + 9 = 18$ .

2. Calculamos las probabilidades simples. $P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{18}{36} = 0{,}5$

3. Verificamos los pares. $A \cap B$ son los dos pares: $9$ casos, o sea $0{,}25$ . $A \cap C$ también da $9$ casos, y $B \cap C$ igual. Los tres pares cumplen $0{,}25 = 0{,}5 \cdot 0{,}5$ .

4. Verificamos el trío. Si los dos son pares, la suma ya es par: $A \cap B \cap C = A \cap B$ , con $9$ casos y probabilidad $0{,}25$ . El producto de las tres da $0{,}125$ .

5. Concluimos. No son independientes en conjunto. De hecho $C$ queda determinado por $A$ y $B$ : sabiendo los dos, no aporta nada nuevo.

6. La lección. Que los pares den bien no alcanza. Con tres sucesos hay cuatro condiciones para verificar, no tres.

Respuesta: No son independientes en conjunto: la triple da $0{,}25$ contra un producto de $0{,}125$

6. Un sistema tiene tres componentes que fallan de forma independiente, con probabilidades de funcionar $0{,}81$ , $0{,}83$ y $0{,}81$ . Calculá la probabilidad de que el sistema funcione si los tres están en serie, y si están en paralelo.

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1. Traducimos la configuración en serie. En serie, el sistema funciona solo si funcionan los tres: es la intersección de los tres sucesos.

2. Calculamos. $P = 0{,}81 \cdot 0{,}83 \cdot 0{,}81 \approx 0{,}5446$ , usando que la independencia del conjunto permite multiplicar las tres.

3. Traducimos la configuración en paralelo. En paralelo alcanza con que funcione uno. Conviene calcular el complemento: que fallen los tres.

4. Calculamos el complemento. $P(\text{fallan los tres}) = 0{,}19 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}19 \approx 0{,}0061$ , así que $P(\text{funciona}) = 1 - 0{,}0061 = 0{,}9939$ .

5. Comparamos. $0{,}9939 > 0{,}5446$ , y las dos se comparan con el mejor componente solo, $0{,}83$ . En serie el sistema es peor que su peor pieza; en paralelo es mejor que su mejor pieza.

6. La suposición que sostiene todo. Que las fallas sean independientes. Si comparten fuente de alimentación o ambiente, deja de valer y el cálculo sobreestima la confiabilidad.

Respuesta: En serie $0{,}5446$ y en paralelo $0{,}9939$

7. Se hacen $6$ tiros al blanco independientes, y en cada uno la probabilidad de éxito es $\dfrac{1}{2}$ . Calculá la probabilidad de que los $6$ sean exitosos y la de que haya al menos un éxito.

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1. Verificamos que se pueda multiplicar. Los intentos son independientes entre sí, así que la probabilidad de una secuencia es el producto de las individuales. Esa suposición es la que permite tratar los $6$ intentos juntos.

2. Calculamos que los todos sean exitosos. $P = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{6} \approx 0{,}0156$

3. Planteamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ningún éxito}) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{6} \approx 0{,}0156$

4. Restamos. $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}0156 = 0{,}9844$

5. Comparamos los dos resultados. $0{,}0156$ es mucho más chico que $0{,}9844$ : exigir que salgan todos es mucho más fuerte que pedir que salga alguno.

6. Hacia dónde lleva esto. Contar de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos entre los $6$ intentos es lo que da la distribución binomial, que se ve más adelante.

Respuesta: $P(\text{los 6 exitosos}) = 0{,}0156$ y $P(\text{al menos uno}) = 0{,}9844$

8. Se tira un dado equilibrado. Se definen $A = \{1; 2; 3; 4\}$ , $B = \{3; 4; 5; 6\}$ y $C = \{1; 3; 5; 6\}$ . Verificá si son independientes de a pares y si lo son en conjunto.

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1. Calculamos las probabilidades simples. $P(A) = \dfrac{4}{6}$ , $P(B) = \dfrac{4}{6}$ y $P(C) = \dfrac{4}{6}$ , o sea $0{,}6667$ , $0{,}6667$ y $0{,}6667$ .

2. Escribimos las intersecciones de a pares. $A \cap B = \{3; 4\}$ · $A \cap C = \{1; 3\}$ · $B \cap C = \{3; 5; 6\}$

3. Verificamos cada par. $P(A \cap B) = 0{,}3333$ contra $0{,}4444$ · $P(A \cap C) = 0{,}3333$ contra $0{,}4444$ · $P(B \cap C) = 0{,}5$ contra $0{,}4444$ . Ninguno cumple la condición.

4. Verificamos el trío. $A \cap B \cap C = \{3\}$ , con probabilidad $0{,}1667$ , contra $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0{,}2963$ .

5. Concluimos. No son independientes en conjunto, porque la condición del trío no se cumple.

6. La regla general. Para afirmar que un conjunto de sucesos es independiente hay que verificar todas las combinaciones: los pares, los tríos, y así hasta el conjunto completo. Ninguna condición implica a la otra.

Respuesta: Ningún par cumple la condición, y en conjunto no son independientes: $0{,}1667$ contra $0{,}2963$

9. Una urna tiene cuatro papeles con las etiquetas $abc$ , $a$ , $b$ y $c$ , y se extrae uno al azar. Se definen $A$ : «el papel contiene la letra $a$ », $B$ : «contiene la $b$ » y $C$ : «contiene la $c$ ». Verificá si los tres sucesos son independientes.

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1. Calculamos las probabilidades simples. La letra $a$ aparece en $abc$ y en $a$ : $P(A) = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$ . Por simetría, $P(B) = P(C) = 0{,}5$ .

2. Calculamos las intersecciones de a pares. El único papel con $a$ y $b$ a la vez es $abc$ : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ . Lo mismo para los otros dos pares.

3. Verificamos los pares. $0{,}25 = 0{,}5 \cdot 0{,}5$ en los tres casos, así que son independientes de a pares.

4. Verificamos el trío. $A \cap B \cap C$ también es solo el papel $abc$ : $P = 0{,}25$ , contra un producto de $0{,}125$ .

5. Concluimos. No son independientes en conjunto. Este es el ejemplo clásico de que la independencia de a pares no alcanza.

6. Cómo se generaliza. Para $n$ sucesos hay que verificar todos los subconjuntos de tamaño $2$ o más, no solo los pares.

Respuesta: Son independientes de a pares pero no en conjunto: la triple da $0{,}25$ y el producto $0{,}125$

10. Un sistema tiene tres componentes que fallan de forma independiente, con probabilidades de funcionar $0{,}89$ , $0{,}8$ y $0{,}84$ . Calculá la probabilidad de que el sistema funcione si los tres están en serie, y si están en paralelo.

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1. Traducimos la configuración en serie. En serie, el sistema funciona solo si funcionan los tres: es la intersección de los tres sucesos.

2. Calculamos. $P = 0{,}89 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}84 \approx 0{,}5981$ , usando que la independencia del conjunto permite multiplicar las tres.

3. Traducimos la configuración en paralelo. En paralelo alcanza con que funcione uno. Conviene calcular el complemento: que fallen los tres.

4. Calculamos el complemento. $P(\text{fallan los tres}) = 0{,}11 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}16 \approx 0{,}0035$ , así que $P(\text{funciona}) = 1 - 0{,}0035 = 0{,}9965$ .

5. Comparamos. $0{,}9965 > 0{,}5981$ , y las dos se comparan con el mejor componente solo, $0{,}89$ . En serie el sistema es peor que su peor pieza; en paralelo es mejor que su mejor pieza.

6. La suposición que sostiene todo. Que las fallas sean independientes. Si comparten fuente de alimentación o ambiente, deja de valer y el cálculo sobreestima la confiabilidad.

Respuesta: En serie $0{,}5981$ y en paralelo $0{,}9965$

11. Se hacen $4$ controles de calidad independientes, y en cada uno la probabilidad de éxito es $\dfrac{2}{5}$ . Calculá la probabilidad de que los $4$ sean exitosos y la de que haya al menos un éxito.

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1. Verificamos que se pueda multiplicar. Los intentos son independientes entre sí, así que la probabilidad de una secuencia es el producto de las individuales. Esa suposición es la que permite tratar los $4$ intentos juntos.

2. Calculamos que los todos sean exitosos. $P = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4} = 0{,}0256$

3. Planteamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ningún éxito}) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} = 0{,}1296$

4. Restamos. $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}1296 = 0{,}8704$

5. Comparamos los dos resultados. $0{,}0256$ es mucho más chico que $0{,}8704$ : exigir que salgan todos es mucho más fuerte que pedir que salga alguno.

6. Hacia dónde lleva esto. Contar de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos entre los $4$ intentos es lo que da la distribución binomial, que se ve más adelante.

Respuesta: $P(\text{los 4 exitosos}) = 0{,}0256$ y $P(\text{al menos uno}) = 0{,}8704$

12. Se tira un dado equilibrado. Se definen $A = \{1; 2; 3\}$ , $B = \{1; 4\}$ y $C = \{1; 5\}$ . Verificá si son independientes de a pares y si lo son en conjunto.

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1. Calculamos las probabilidades simples. $P(A) = \dfrac{3}{6}$ , $P(B) = \dfrac{2}{6}$ y $P(C) = \dfrac{2}{6}$ , o sea $0{,}5$ , $0{,}3333$ y $0{,}3333$ .

2. Escribimos las intersecciones de a pares. $A \cap B = \{1\}$ · $A \cap C = \{1\}$ · $B \cap C = \{1\}$

3. Verificamos cada par. $P(A \cap B) = 0{,}1667$ contra $0{,}1667$ · $P(A \cap C) = 0{,}1667$ contra $0{,}1667$ · $P(B \cap C) = 0{,}1667$ contra $0{,}1111$ . Cumplen la condición: $A \cap B$ , $A \cap C$ .

4. Verificamos el trío. $A \cap B \cap C = \{1\}$ , con probabilidad $0{,}1667$ , contra $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0{,}0556$ .

5. Concluimos. No son independientes en conjunto, porque la condición del trío no se cumple.

6. La regla general. Para afirmar que un conjunto de sucesos es independiente hay que verificar todas las combinaciones: los pares, los tríos, y así hasta el conjunto completo. Ninguna condición implica a la otra.

Respuesta: Cumplen la condición de a pares $A \cap B$ , $A \cap C$ , y en conjunto no son independientes: $0{,}1667$ contra $0{,}0556$