Independencia de tres o más sucesos

Con tres o más sucesos la independencia se vuelve más exigente de lo que parece.

No alcanza con que sean independientes de a pares. Hace falta además que la probabilidad de que ocurran los tres sea el producto de las tres probabilidades.

Existen ejemplos donde los tres pares son independientes pero el conjunto no lo es. Eso muestra que la independencia de a pares es estrictamente más débil.

Para que un conjunto de sucesos sea independiente hay que verificar todas las combinaciones posibles: los pares, los tríos, y así hasta el conjunto completo.

En los ejercicios casi siempre la independencia viene dada por el enunciado, cuando describe repeticiones que no se afectan entre sí.

Ese es el caso de tirar una moneda varias veces, o de componentes que fallan de forma independiente. Ahí la probabilidad de una secuencia es el producto de las individuales.

Esa suposición es la que permite construir la distribución binomial, que se ve más adelante.

los tres pares y

P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)

Cuándo se usa

Cuando hay tres o más sucesos y el enunciado los declara independientes: podés multiplicar todo. Si tenés que verificarlo, no alcanza con los pares: hay que chequear también el conjunto completo.

Ejemplo 1

Se tira una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que salgan tres caras.

Vemos si hay independencia. Los tiros de una moneda no se afectan entre sí, así que sí.
Aplicamos el producto. $(1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2)$ .
Resolvemos. $(1/2)^{3} = 1/8 = 0{,}125$ .
Respuesta: $P = 0{,}125$

Ejemplo 2

Un sistema tiene $3$ componentes independientes, cada uno con probabilidad $0{,}9$ de funcionar. Calcular la probabilidad de que funcionen los tres y la de que falle al menos uno.

Calculamos que funcionen los tres. $0{,}9^{3} = 0{,}729$ .
Pasamos al complemento para el segundo caso. «Al menos uno falla» es lo contrario de «funcionan los tres».
Restamos de uno. $1 - 0{,}729 = 0{,}271$ .
Respuesta: $0{,}729$ y $0{,}271$

Error típico

Concluir que tres sucesos son independientes después de verificar los tres pares. Falta la cuarta igualdad, y hay casos donde es la única que falla.

Practicar

← Sucesos independientes Particiones y el diagrama de árbol →

Otros subtemas de Probabilidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .