Bayes en pruebas diagnósticas

El caso más importante de Bayes es el de los tests médicos, y conviene tener claros los cuatro términos que se usan.

La sensibilidad es la probabilidad de que el test dé positivo en alguien que efectivamente tiene la enfermedad. La especificidad es la de que dé negativo en alguien sano.

Esas dos describen la calidad del test y son las que el fabricante publica.

Pero lo que le importa al paciente es otra cosa: la probabilidad de estar enfermo habiendo dado positivo. Eso se llama valor predictivo positivo y se calcula con Bayes.

Y ahí aparece el resultado que sorprende a todo el mundo. Si la enfermedad es poco frecuente, aunque el test sea muy bueno, la mayoría de los positivos pueden ser falsos.

La razón es que hay muchísima más gente sana que enferma. Un porcentaje chico de falsos positivos sobre una población enorme puede superar en cantidad a todos los verdaderos positivos.

Por eso el valor predictivo depende de la prevalencia de la enfermedad, no solo del test. El mismo test aplicado a poblaciones distintas da valores predictivos muy distintos.

lo que importa al paciente es P(enfermo | positivo)

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da sensibilidad, especificidad y prevalencia, y pregunta por la probabilidad de estar enfermo con un resultado positivo. Si la prevalencia es baja, esperá un resultado más bajo de lo que parece.

Ejemplo 1

Con prevalencia $4$ %, sensibilidad $98$ % y falso positivo $3$ %, resolver el problema pensando en $1000$ personas.

Contamos los enfermos y los sanos. $1000 \cdot 0{,}04 = 40$ enfermos y $960$ sanos.
Contamos los positivos de cada grupo. De los enfermos, $40 \cdot 0{,}98 \approx 39$ . De los sanos, $960 \cdot 0{,}03 \approx 29$ .
Armamos la fracción. Positivos hay $39 + 29 = 68$ , y $39$ están enfermos: $39 / 68 \approx 0{,}574$ .
Respuesta: Alrededor del $57$ %

Ejemplo 2

Con la misma prueba aplicada a un grupo de riesgo donde la prevalencia es del $30$ %, calcular la probabilidad de estar enfermo dado positivo.

Contamos sobre $1.000$ personas. $300$ enfermos y $700$ sanos.
Contamos los positivos. $300 \cdot 0{,}98 = 294$ y $700 \cdot 0{,}03 = 21$ .
Armamos la fracción. $294 / 315 \approx 0{,}933$ . El mismo resultado positivo ahora acierta el $93 \%$ de las veces.
Respuesta: Alrededor del $93$ %

Error típico

Leer la sensibilidad como si fuera la confianza del resultado. Una prueba que detecta al $98$ % de los enfermos puede dar positivos que aciertan poco más de la mitad de las veces.

Practicar

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Otros subtemas de Probabilidad

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