Ejercicios: Sucesos incompatibles y complementarios

1. Se tira un dado equilibrado. Sean $A$ : «sale un número par» y $B$ : «sale un $3$ ». Decidí si son incompatibles, complementarios o ninguna de las dos cosas.

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1. Escribimos los dos sucesos por extensión. $A = \{2; 4; 6\}$ y $B = \{3\}$ , dentro de $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Miramos la intersección. $A \cap B = \emptyset$ . Es vacía, así que no pueden ocurrir a la vez: son incompatibles.

3. Miramos la unión. $A \cup B = \{2; 3; 4; 6\}$ . No cubre todo $S$ : falta $\{1; 5\}$ .

4. Clasificamos. Son incompatibles. Complementarios exige las dos condiciones: intersección vacía y unión igual a $S$ . Incompatibles pide solo la primera.

5. Qué habilita cada caso. Si son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Si además son complementarios, $P(B) = 1 - P(A)$ , que es lo que permite calcular por el complemento.

Respuesta: $A$ y $B$ son incompatibles

2. En una serie de $4$ componentes de un lote independientes, la probabilidad de que cada uno salga fallado es $\dfrac{1}{10}$ . Calculá la probabilidad de que al menos uno salga fallado, usando el complemento.

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1. Definimos el suceso y su complemento. $A$ : «al menos uno salga fallado». Su complemento es $A^{c}$ : «ninguno salga fallado», y los dos son incompatibles y cubren todo el espacio muestral.

2. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular $A$ directo obliga a sumar los casos de exactamente uno, exactamente dos, y así hasta $4$ . El complemento es un caso solo.

3. Calculamos el complemento. Cada uno falla en salga fallado con probabilidad $1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$ , y son independientes: $P(A^{c}) = \left(\dfrac{9}{10}\right)^{4} = 0{,}6561$ .

4. Restamos de uno. $P(A) = 1 - 0{,}6561 = 0{,}3439$

5. Verificamos el sentido. El resultado está entre $0$ y $1$ , y es mayor que $\dfrac{1}{10}$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}6561 = 0{,}3439$

3. Dos sucesos incompatibles cumplen $P(A) = 0{,}39$ y $P(B) = 0{,}61$ . Decidí si son complementarios.

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1. Recordamos las dos condiciones. Complementarios significa incompatibles y además que la unión sea todo el espacio muestral. La primera ya la da el enunciado.

2. Calculamos la probabilidad de la unión. Como son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}39 + 0{,}61 = 1$ .

3. Comparamos con uno. $1$ es igual a $1$ .

4. Concluimos. La unión cubre todo, así que sí son complementarios y vale $P(B) = 1 - P(A)$ .

5. La condición que se olvida. Todo par complementario es incompatible, pero no al revés. La segunda condición es justamente la que habilita restar de uno.

Respuesta: Sí son complementarios: sus probabilidades suman $1$

4. Dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento son incompatibles, con $P(A) = \dfrac{1}{5}$ y $P(B) = \dfrac{3}{10}$ . Decidí si además son independientes.

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1. Escribimos lo que dice la incompatibilidad. $A \cap B = \emptyset$ , así que $P(A \cap B) = 0$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} = 0{,}06$

4. Comparamos. $0 \neq 0{,}06$ , así que no son independientes.

5. Entendemos por qué. Si $A$ ocurre, $B$ se vuelve imposible: $P(B | A) = 0$ , muy distinto de $P(B) = 0{,}3$ . Saber que ocurrió uno cambia todo sobre el otro, que es lo contrario de la independencia.

6. La regla general. Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes. Incompatible e independiente no son parecidos: son casi opuestos.

Respuesta: No son independientes: $P(A \cap B) = 0$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}06$

5. Se tira un dado equilibrado. Sean $A$ : «sale un número menor o igual que $2$ » y $B$ : «sale un número mayor que $2$ ». Decidí si son incompatibles, complementarios o ninguna de las dos cosas.

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1. Escribimos los dos sucesos por extensión. $A = \{1; 2\}$ y $B = \{3; 4; 5; 6\}$ , dentro de $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Miramos la intersección. $A \cap B = \emptyset$ . Es vacía, así que no pueden ocurrir a la vez: son incompatibles.

3. Miramos la unión. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ . Cubre todo $S$ .

4. Clasificamos. Son complementarios. Complementarios exige las dos condiciones: intersección vacía y unión igual a $S$ . Incompatibles pide solo la primera.

5. Qué habilita cada caso. Si son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Si además son complementarios, $P(B) = 1 - P(A)$ , que es lo que permite calcular por el complemento.

Respuesta: $A$ y $B$ son complementarios

6. En una serie de $5$ tiros al blanco independientes, la probabilidad de que cada uno acierte es $\dfrac{3}{10}$ . Calculá la probabilidad de que al menos uno acierte, usando el complemento.

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1. Definimos el suceso y su complemento. $A$ : «al menos uno acierte». Su complemento es $A^{c}$ : «ninguno acierte», y los dos son incompatibles y cubren todo el espacio muestral.

2. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular $A$ directo obliga a sumar los casos de exactamente uno, exactamente dos, y así hasta $5$ . El complemento es un caso solo.

3. Calculamos el complemento. Cada uno falla en acierte con probabilidad $1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$ , y son independientes: $P(A^{c}) = \left(\dfrac{7}{10}\right)^{5} \approx 0{,}1681$ .

4. Restamos de uno. $P(A) = 1 - 0{,}1681 = 0{,}8319$

5. Verificamos el sentido. El resultado está entre $0$ y $1$ , y es mayor que $\dfrac{3}{10}$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}1681 = 0{,}8319$

7. Dos sucesos incompatibles cumplen $P(A) = 0{,}27$ y $P(B) = 0{,}73$ . Decidí si son complementarios.

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1. Recordamos las dos condiciones. Complementarios significa incompatibles y además que la unión sea todo el espacio muestral. La primera ya la da el enunciado.

2. Calculamos la probabilidad de la unión. Como son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}27 + 0{,}73 = 1$ .

3. Comparamos con uno. $1$ es igual a $1$ .

4. Concluimos. La unión cubre todo, así que sí son complementarios y vale $P(B) = 1 - P(A)$ .

5. La condición que se olvida. Todo par complementario es incompatible, pero no al revés. La segunda condición es justamente la que habilita restar de uno.

Respuesta: Sí son complementarios: sus probabilidades suman $1$

8. Dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento son incompatibles, con $P(A) = \dfrac{3}{10}$ y $P(B) = \dfrac{1}{5}$ . Decidí si además son independientes.

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1. Escribimos lo que dice la incompatibilidad. $A \cap B = \emptyset$ , así que $P(A \cap B) = 0$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} = 0{,}06$

4. Comparamos. $0 \neq 0{,}06$ , así que no son independientes.

5. Entendemos por qué. Si $A$ ocurre, $B$ se vuelve imposible: $P(B | A) = 0$ , muy distinto de $P(B) = 0{,}2$ . Saber que ocurrió uno cambia todo sobre el otro, que es lo contrario de la independencia.

6. La regla general. Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes. Incompatible e independiente no son parecidos: son casi opuestos.

Respuesta: No son independientes: $P(A \cap B) = 0$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}06$

9. Se tira un dado equilibrado. Sean $A$ : «sale un número par» y $B$ : «sale un número impar». Decidí si son incompatibles, complementarios o ninguna de las dos cosas.

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1. Escribimos los dos sucesos por extensión. $A = \{2; 4; 6\}$ y $B = \{1; 3; 5\}$ , dentro de $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Miramos la intersección. $A \cap B = \emptyset$ . Es vacía, así que no pueden ocurrir a la vez: son incompatibles.

3. Miramos la unión. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ . Cubre todo $S$ .

4. Clasificamos. Son complementarios. Complementarios exige las dos condiciones: intersección vacía y unión igual a $S$ . Incompatibles pide solo la primera.

5. Qué habilita cada caso. Si son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Si además son complementarios, $P(B) = 1 - P(A)$ , que es lo que permite calcular por el complemento.

Respuesta: $A$ y $B$ son complementarios

10. En una serie de $4$ tiros al blanco independientes, la probabilidad de que cada uno acierte es $\dfrac{1}{5}$ . Calculá la probabilidad de que al menos uno acierte, usando el complemento.

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1. Definimos el suceso y su complemento. $A$ : «al menos uno acierte». Su complemento es $A^{c}$ : «ninguno acierte», y los dos son incompatibles y cubren todo el espacio muestral.

2. Vemos por qué conviene el complemento. Calcular $A$ directo obliga a sumar los casos de exactamente uno, exactamente dos, y así hasta $4$ . El complemento es un caso solo.

3. Calculamos el complemento. Cada uno falla en acierte con probabilidad $1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$ , y son independientes: $P(A^{c}) = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{4} = 0{,}4096$ .

4. Restamos de uno. $P(A) = 1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$

5. Verificamos el sentido. El resultado está entre $0$ y $1$ , y es mayor que $\dfrac{1}{5}$ , la probabilidad de un solo intento, como corresponde: con más intentos es más probable que ocurra alguna vez.

Respuesta: $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$

11. Dos sucesos incompatibles cumplen $P(A) = 0{,}59$ y $P(B) = 0{,}28$ . Decidí si son complementarios.

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1. Recordamos las dos condiciones. Complementarios significa incompatibles y además que la unión sea todo el espacio muestral. La primera ya la da el enunciado.

2. Calculamos la probabilidad de la unión. Como son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}59 + 0{,}28 = 0{,}87$ .

3. Comparamos con uno. $0{,}87$ no llega a $1$ : falta $0{,}13$ .

4. Concluimos. Queda una parte del espacio muestral fuera de $A \cup B$ , con probabilidad $0{,}13$ . Son incompatibles pero no complementarios, y no se puede calcular uno como uno menos el otro.

5. La condición que se olvida. Todo par complementario es incompatible, pero no al revés. La segunda condición es justamente la que habilita restar de uno.

Respuesta: No son complementarios: suman $0{,}87$ y queda $0{,}13$ afuera

12. Dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento son incompatibles, con $P(A) = \dfrac{3}{10}$ y $P(B) = \dfrac{2}{5}$ . Decidí si además son independientes.

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1. Escribimos lo que dice la incompatibilidad. $A \cap B = \emptyset$ , así que $P(A \cap B) = 0$ .

2. Escribimos la condición de independencia. $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

3. Calculamos el producto. $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = 0{,}12$

4. Comparamos. $0 \neq 0{,}12$ , así que no son independientes.

5. Entendemos por qué. Si $A$ ocurre, $B$ se vuelve imposible: $P(B | A) = 0$ , muy distinto de $P(B) = 0{,}4$ . Saber que ocurrió uno cambia todo sobre el otro, que es lo contrario de la independencia.

6. La regla general. Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes. Incompatible e independiente no son parecidos: son casi opuestos.

Respuesta: No son independientes: $P(A \cap B) = 0$ y $P(A) \cdot P(B) = 0{,}12$