Ejercicios: Operaciones entre sucesos

1. En un experimento con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ se definen $A = \{3; 4; 5; 6; 8\}$ y $B = \{1; 2; 4; 8\}$ . Calculá $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{c}$ y $A - B$ .

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1. La unión reúne los elementos que están en alguno de los dos. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 8\}$ . Los que están en los dos se escriben una sola vez.

2. La intersección son los que están en los dos a la vez. $A \cap B = \{4; 8\}$

3. El complemento son los elementos de $S$ que no están en $A$ . $A^{c} = \{1; 2; 7\}$

4. La diferencia son los de $A$ que no están en $B$ . $A - B = \{3; 5; 6\}$

5. Verificamos con los cardinales. $|A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7 = |A \cup B|$ . La resta corrige los elementos que se contaron dos veces.

Respuesta: $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 8\}$ , $A \cap B = \{4; 8\}$ , $A^{c} = \{1; 2; 7\}$ y $A - B = \{3; 5; 6\}$

2. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento. Escribí en lenguaje de conjuntos cada una de estas frases: (1) ocurre al menos uno de los dos; (2) ocurre exactamente uno de los dos; (3) ocurre $A$ pero no $B$ .

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1. Fijamos la traducción de cada palabra. «y» es intersección, «o» en sentido inclusivo es unión, y «no» es complemento. Subrayarlas en el enunciado convierte el problema en una cuenta.

2. Traducimos la frase (1). $A \cup B$ , porque «al menos uno» es unión.

3. Traducimos la frase (2). $(A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ , porque «exactamente uno» son los dos casos cruzados, unidos.

4. Traducimos la frase (3). $A - B = A \cap B^{c}$ , porque «pero no» es una diferencia.

5. El chequeo que evita errores. Probar la traducción con un caso concreto: elegir un resultado que cumpla la frase y verificar que pertenezca al conjunto escrito.

Respuesta: (1) $A \cup B$ ; (2) $(A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ ; (3) $A - B = A \cap B^{c}$

3. Con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ , $A = \{5; 7; 8\}$ y $B = \{4; 5; 6; 9\}$ , verificá la ley de De Morgan $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ calculando los dos lados por separado.

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1. Calculamos la unión. $A \cup B = \{4; 5; 6; 7; 8; 9\}$

2. Calculamos el lado izquierdo. $(A \cup B)^{c} = \{1; 2; 3; 10\}$ : los elementos de $S$ que no están en la unión.

3. Calculamos los dos complementos. $A^{c} = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 10\}$ y $B^{c} = \{1; 2; 3; 7; 8; 10\}$

4. Calculamos el lado derecho. $A^{c} \cap B^{c} = \{1; 2; 3; 10\}$

5. Comparamos. Los dos lados dan $\{1; 2; 3; 10\}$ , así que la igualdad se verifica.

6. Para qué sirve en la práctica. La frase «no ocurre ninguno de los dos» se puede calcular como el complemento de la unión, y muchas veces eso es mucho más corto que enumerar los casos directamente.

Respuesta: Los dos lados dan $\{1; 2; 3; 10\}$ , así que la ley se verifica

4. De $150$ empleados, $53$ hicieron el curso A, $39$ hicieron el curso B y $17$ hacen las dos cosas. Calculá cuántos hacen solo la primera, cuántos solo la segunda y cuántos ninguna de las dos.

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1. Empezamos por la intersección. Conviene completar el diagrama desde adentro hacia afuera. En el centro van los $17$ que hacen las dos cosas.

2. Calculamos la parte exclusiva de cada suceso. Solo la primera: $53 - 17 = 36$ . Solo la segunda: $39 - 17 = 22$ .

3. Calculamos la unión. $|A \cup B| = 36 + 17 + 22 = 75$ . Con la fórmula: $53 + 39 - 17 = 75$ , el mismo número.

4. Calculamos los que quedan afuera. $150 - 75 = 75$ , que es $|(A \cup B)^{c}|$ .

5. Verificamos que las cuatro regiones cubran el total. $36 + 17 + 22 + 75 = 150$ . Si no cerrara, la parte compartida se contó dos veces.

Respuesta: Solo la primera: $36$ . Solo la segunda: $22$ . Ninguna: $75$

5. En un experimento con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ se definen $A = \{1; 4; 8; 9; 10\}$ y $B = \{2; 6; 8; 9\}$ . Calculá $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{c}$ y $A - B$ .

Ver solución

1. La unión reúne los elementos que están en alguno de los dos. $A \cup B = \{1; 2; 4; 6; 8; 9; 10\}$ . Los que están en los dos se escriben una sola vez.

2. La intersección son los que están en los dos a la vez. $A \cap B = \{8; 9\}$

3. El complemento son los elementos de $S$ que no están en $A$ . $A^{c} = \{2; 3; 5; 6; 7\}$

4. La diferencia son los de $A$ que no están en $B$ . $A - B = \{1; 4; 10\}$

5. Verificamos con los cardinales. $|A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7 = |A \cup B|$ . La resta corrige los elementos que se contaron dos veces.

Respuesta: $A \cup B = \{1; 2; 4; 6; 8; 9; 10\}$ , $A \cap B = \{8; 9\}$ , $A^{c} = \{2; 3; 5; 6; 7\}$ y $A - B = \{1; 4; 10\}$

6. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento. Escribí en lenguaje de conjuntos cada una de estas frases: (1) ocurren los dos; (2) ocurre $A$ pero no $B$ ; (3) ocurre exactamente uno de los dos.

Ver solución

1. Fijamos la traducción de cada palabra. «y» es intersección, «o» en sentido inclusivo es unión, y «no» es complemento. Subrayarlas en el enunciado convierte el problema en una cuenta.

2. Traducimos la frase (1). $A \cap B$ , porque «y» es intersección.

3. Traducimos la frase (2). $A - B = A \cap B^{c}$ , porque «pero no» es una diferencia.

4. Traducimos la frase (3). $(A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ , porque «exactamente uno» son los dos casos cruzados, unidos.

5. El chequeo que evita errores. Probar la traducción con un caso concreto: elegir un resultado que cumpla la frase y verificar que pertenezca al conjunto escrito.

Respuesta: (1) $A \cap B$ ; (2) $A - B = A \cap B^{c}$ ; (3) $(A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$

7. Con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ , $A = \{1; 5; 7; 10\}$ y $B = \{2; 3; 4; 9\}$ , verificá la ley de De Morgan $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ calculando los dos lados por separado.

Ver solución

1. Calculamos la unión. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10\}$

2. Calculamos el lado izquierdo. $(A \cup B)^{c} = \{6; 8\}$ : los elementos de $S$ que no están en la unión.

3. Calculamos los dos complementos. $A^{c} = \{2; 3; 4; 6; 8; 9\}$ y $B^{c} = \{1; 5; 6; 7; 8; 10\}$

4. Calculamos el lado derecho. $A^{c} \cap B^{c} = \{6; 8\}$

5. Comparamos. Los dos lados dan $\{6; 8\}$ , así que la igualdad se verifica.

6. Para qué sirve en la práctica. La frase «no ocurre ninguno de los dos» se puede calcular como el complemento de la unión, y muchas veces eso es mucho más corto que enumerar los casos directamente.

Respuesta: Los dos lados dan $\{6; 8\}$ , así que la ley se verifica

8. De $100$ empleados, $46$ hicieron el curso A, $54$ hicieron el curso B y $22$ hacen las dos cosas. Calculá cuántos hacen solo la primera, cuántos solo la segunda y cuántos ninguna de las dos.

Ver solución

1. Empezamos por la intersección. Conviene completar el diagrama desde adentro hacia afuera. En el centro van los $22$ que hacen las dos cosas.

2. Calculamos la parte exclusiva de cada suceso. Solo la primera: $46 - 22 = 24$ . Solo la segunda: $54 - 22 = 32$ .

3. Calculamos la unión. $|A \cup B| = 24 + 22 + 32 = 78$ . Con la fórmula: $46 + 54 - 22 = 78$ , el mismo número.

4. Calculamos los que quedan afuera. $100 - 78 = 22$ , que es $|(A \cup B)^{c}|$ .

5. Verificamos que las cuatro regiones cubran el total. $24 + 22 + 32 + 22 = 100$ . Si no cerrara, la parte compartida se contó dos veces.

Respuesta: Solo la primera: $24$ . Solo la segunda: $32$ . Ninguna: $22$

9. En un experimento con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ se definen $A = \{1; 2; 5; 6; 7\}$ y $B = \{1; 3; 4; 5; 6\}$ . Calculá $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{c}$ y $A - B$ .

Ver solución

1. La unión reúne los elementos que están en alguno de los dos. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ . Los que están en los dos se escriben una sola vez.

2. La intersección son los que están en los dos a la vez. $A \cap B = \{1; 5; 6\}$

3. El complemento son los elementos de $S$ que no están en $A$ . $A^{c} = \{3; 4; 8\}$

4. La diferencia son los de $A$ que no están en $B$ . $A - B = \{2; 7\}$

5. Verificamos con los cardinales. $|A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 5 - 3 = 7 = |A \cup B|$ . La resta corrige los elementos que se contaron dos veces.

Respuesta: $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ , $A \cap B = \{1; 5; 6\}$ , $A^{c} = \{3; 4; 8\}$ y $A - B = \{2; 7\}$

10. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento. Escribí en lenguaje de conjuntos cada una de estas frases: (1) ocurre al menos uno de los dos; (2) ocurren los dos; (3) no ocurren los dos a la vez.

Ver solución

1. Fijamos la traducción de cada palabra. «y» es intersección, «o» en sentido inclusivo es unión, y «no» es complemento. Subrayarlas en el enunciado convierte el problema en una cuenta.

2. Traducimos la frase (1). $A \cup B$ , porque «al menos uno» es unión.

3. Traducimos la frase (2). $A \cap B$ , porque «y» es intersección.

4. Traducimos la frase (3). $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ , porque es el complemento de la intersección, que por De Morgan es la unión de los complementos.

5. El chequeo que evita errores. Probar la traducción con un caso concreto: elegir un resultado que cumpla la frase y verificar que pertenezca al conjunto escrito.

Respuesta: (1) $A \cup B$ ; (2) $A \cap B$ ; (3) $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

11. Con $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ , $A = \{2; 6; 10\}$ y $B = \{1; 2; 3; 4\}$ , verificá la ley de De Morgan $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ calculando los dos lados por separado.

Ver solución

1. Calculamos la unión. $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 10\}$

2. Calculamos el lado izquierdo. $(A \cup B)^{c} = \{5; 7; 8; 9\}$ : los elementos de $S$ que no están en la unión.

3. Calculamos los dos complementos. $A^{c} = \{1; 3; 4; 5; 7; 8; 9\}$ y $B^{c} = \{5; 6; 7; 8; 9; 10\}$

4. Calculamos el lado derecho. $A^{c} \cap B^{c} = \{5; 7; 8; 9\}$

5. Comparamos. Los dos lados dan $\{5; 7; 8; 9\}$ , así que la igualdad se verifica.

6. Para qué sirve en la práctica. La frase «no ocurre ninguno de los dos» se puede calcular como el complemento de la unión, y muchas veces eso es mucho más corto que enumerar los casos directamente.

Respuesta: Los dos lados dan $\{5; 7; 8; 9\}$ , así que la ley se verifica

12. De $110$ empleados, $43$ hicieron el curso A, $30$ hicieron el curso B y $15$ hacen las dos cosas. Calculá cuántos hacen solo la primera, cuántos solo la segunda y cuántos ninguna de las dos.

Ver solución

1. Empezamos por la intersección. Conviene completar el diagrama desde adentro hacia afuera. En el centro van los $15$ que hacen las dos cosas.

2. Calculamos la parte exclusiva de cada suceso. Solo la primera: $43 - 15 = 28$ . Solo la segunda: $30 - 15 = 15$ .

3. Calculamos la unión. $|A \cup B| = 28 + 15 + 15 = 58$ . Con la fórmula: $43 + 30 - 15 = 58$ , el mismo número.

4. Calculamos los que quedan afuera. $110 - 58 = 52$ , que es $|(A \cup B)^{c}|$ .

5. Verificamos que las cuatro regiones cubran el total. $28 + 15 + 15 + 52 = 110$ . Si no cerrara, la parte compartida se contó dos veces.

Respuesta: Solo la primera: $28$ . Solo la segunda: $15$ . Ninguna: $52$