Ejercicios: Sucesos y sucesos elementales

1. Se tira un dado equilibrado. Escribí por extensión el suceso $A$ : «sale un múltiplo de $3$ », decí si es elemental o compuesto y calculá su probabilidad.

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Traducimos el suceso a un subconjunto. $A = \{3; 6\}$ : son los resultados de $S$ que cumplen la condición.

3. Clasificamos el suceso. Tiene $2$ resultados, así que es compuesto. Los elementales tienen un solo resultado; los compuestos agrupan varios.

4. Calculamos la probabilidad. $P(A) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$

5. El chequeo de siempre. $A$ está incluido en $S$ y $2 \leq 6$ , así que la probabilidad queda entre $0$ y $1$ .

Respuesta: $A = \{3; 6\}$ , es compuesto y $P(A) = \dfrac{1}{3}$

2. En un experimento se tiran $3$ monedas. Escribí en lenguaje de conjuntos los sucesos «sale al menos una cara» y «sale exactamente una cara», y calculá la probabilidad de cada uno.

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1. Traducimos «al menos uno». Es la unión de los sucesos «la primera es cara», «la segunda es cara» y así: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir varios a la vez.

2. Traducimos «exactamente uno». Es el suceso donde uno de los intentos da cara y todos los demás no. Es un subconjunto del anterior, no el mismo.

3. Calculamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ninguno}) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 0{,}125$ , así que $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875$ .

4. Calculamos «exactamente uno». Hay $3$ posiciones donde puede estar el único éxito: $P = 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = 0{,}375$ .

5. Comparamos. $0{,}375 < 0{,}875$ , como tiene que ser: «al menos uno» incluye también los casos con dos o más. Confundir las dos frases cambia por completo el resultado.

Respuesta: $P(\text{al menos una cara}) = 0{,}875$ y $P(\text{exactamente una cara}) = 0{,}375$

3. Se tira un dado equilibrado. Clasificá cada uno de estos sucesos como seguro, imposible o ninguno de los dos, y dá su probabilidad: $A$ : «sale un número entre $1$ y $6$ », $B$ : «sale un $11$ », $C$ : «sale un número mayor o igual que $5$ ».

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Analizamos $A$ . $A = S$ : siempre ocurre, así que es el suceso seguro y $P(A) = 1$ .

3. Analizamos $B$ . Ningún resultado de $S$ vale $11$ , así que $B = \emptyset$ : es el suceso imposible y $P(B) = 0$ .

4. Analizamos $C$ . $C = \{5; 6\}$ , con $2$ resultados. No es ni seguro ni imposible: $P(C) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$ .

5. El detalle que conviene recordar. En un espacio finito, probabilidad $0$ y suceso imposible coinciden. En espacios infinitos eso deja de ser cierto.

Respuesta: $A$ es seguro ( $P = 1$ ), $B$ es imposible ( $P = 0$ ) y $C$ no es ninguno de los dos ( $P = \dfrac{1}{3}$ )

4. Un experimento tiene un espacio muestral con $3$ resultados. Calculá cuántos sucesos distintos se pueden definir y cuántos de ellos son elementales.

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1. Recordamos qué es un suceso. Cualquier subconjunto del espacio muestral, incluidos el vacío y el total.

2. Contamos los subconjuntos. Cada uno de los $3$ resultados se incluye o no se incluye: son $3$ decisiones de $2$ opciones, así que hay $2^{3} = 8$ subconjuntos.

3. Contamos los elementales. Son los que tienen un solo resultado: hay $3$ , uno por cada elemento de $S$ .

4. Ubicamos los dos casos de borde. Entre esos $8$ están el suceso imposible, que es el vacío, y el suceso seguro, que es $S$ entero.

5. Verificamos con el conteo por tamaño. Sumando los subconjuntos de cada tamaño: $C_{3,0} = 1$ + $C_{3,1} = 3$ + $C_{3,2} = 3$ + $C_{3,3} = 1$ , que da $8$ .

Respuesta: Hay $2^{3} = 8$ sucesos posibles y $3$ de ellos son elementales

5. Se tira un dado equilibrado. Escribí por extensión el suceso $A$ : «sale un número menor que $3$ », decí si es elemental o compuesto y calculá su probabilidad.

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Traducimos el suceso a un subconjunto. $A = \{1; 2\}$ : son los resultados de $S$ que cumplen la condición.

3. Clasificamos el suceso. Tiene $2$ resultados, así que es compuesto. Los elementales tienen un solo resultado; los compuestos agrupan varios.

4. Calculamos la probabilidad. $P(A) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}3333$

5. El chequeo de siempre. $A$ está incluido en $S$ y $2 \leq 6$ , así que la probabilidad queda entre $0$ y $1$ .

Respuesta: $A = \{1; 2\}$ , es compuesto y $P(A) = \dfrac{1}{3}$

6. En un experimento se tiran $3$ dados. Escribí en lenguaje de conjuntos los sucesos «sale al menos un seis» y «sale exactamente un seis», y calculá la probabilidad de cada uno.

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1. Traducimos «al menos uno». Es la unión de los sucesos «la primera es seis», «la segunda es seis» y así: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir varios a la vez.

2. Traducimos «exactamente uno». Es el suceso donde uno de los intentos da seis y todos los demás no. Es un subconjunto del anterior, no el mismo.

3. Calculamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ninguno}) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} \approx 0{,}5787$ , así que $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}5787 = 0{,}4213$ .

4. Calculamos «exactamente uno». Hay $3$ posiciones donde puede estar el único éxito: $P = 3 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} \approx 0{,}3472$ .

5. Comparamos. $0{,}3472 < 0{,}4213$ , como tiene que ser: «al menos uno» incluye también los casos con dos o más. Confundir las dos frases cambia por completo el resultado.

Respuesta: $P(\text{al menos un seis}) = 0{,}4213$ y $P(\text{exactamente un seis}) = 0{,}3472$

7. Se tira un dado equilibrado. Clasificá cada uno de estos sucesos como seguro, imposible o ninguno de los dos, y dá su probabilidad: $A$ : «sale un número entre $1$ y $6$ », $B$ : «sale un $10$ », $C$ : «sale un número mayor o igual que $4$ ».

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Analizamos $A$ . $A = S$ : siempre ocurre, así que es el suceso seguro y $P(A) = 1$ .

3. Analizamos $B$ . Ningún resultado de $S$ vale $10$ , así que $B = \emptyset$ : es el suceso imposible y $P(B) = 0$ .

4. Analizamos $C$ . $C = \{4; 5; 6\}$ , con $3$ resultados. No es ni seguro ni imposible: $P(C) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ .

5. El detalle que conviene recordar. En un espacio finito, probabilidad $0$ y suceso imposible coinciden. En espacios infinitos eso deja de ser cierto.

Respuesta: $A$ es seguro ( $P = 1$ ), $B$ es imposible ( $P = 0$ ) y $C$ no es ninguno de los dos ( $P = \dfrac{1}{2}$ )

8. Un experimento tiene un espacio muestral con $5$ resultados. Calculá cuántos sucesos distintos se pueden definir y cuántos de ellos son elementales.

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1. Recordamos qué es un suceso. Cualquier subconjunto del espacio muestral, incluidos el vacío y el total.

2. Contamos los subconjuntos. Cada uno de los $5$ resultados se incluye o no se incluye: son $5$ decisiones de $2$ opciones, así que hay $2^{5} = 32$ subconjuntos.

3. Contamos los elementales. Son los que tienen un solo resultado: hay $5$ , uno por cada elemento de $S$ .

4. Ubicamos los dos casos de borde. Entre esos $32$ están el suceso imposible, que es el vacío, y el suceso seguro, que es $S$ entero.

5. Verificamos con el conteo por tamaño. Sumando los subconjuntos de cada tamaño: $C_{5,0} = 1$ + $C_{5,1} = 5$ + $C_{5,2} = 10$ + $C_{5,3} = 10$ + $C_{5,4} = 5$ + $C_{5,5} = 1$ , que da $32$ .

Respuesta: Hay $2^{5} = 32$ sucesos posibles y $5$ de ellos son elementales

9. Se tira un dado equilibrado. Escribí por extensión el suceso $A$ : «sale un número menor que $2$ », decí si es elemental o compuesto y calculá su probabilidad.

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ , con $6$ resultados equiprobables.

2. Traducimos el suceso a un subconjunto. $A = \{1\}$ : son los resultados de $S$ que cumplen la condición.

3. Clasificamos el suceso. Tiene $1$ resultado, así que es elemental. Los elementales tienen un solo resultado; los compuestos agrupan varios.

4. Calculamos la probabilidad. $P(A) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$

5. El chequeo de siempre. $A$ está incluido en $S$ y $1 \leq 6$ , así que la probabilidad queda entre $0$ y $1$ .

Respuesta: $A = \{1\}$ , es elemental y $P(A) = \dfrac{1}{6}$

10. En un experimento se extraen $2$ cartas de un mazo de $40$ , con reposición. Escribí en lenguaje de conjuntos los sucesos «sale al menos un as» y «sale exactamente un as», y calculá la probabilidad de cada uno.

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1. Traducimos «al menos uno». Es la unión de los sucesos «la primera es as», «la segunda es as» y así: alcanza con que ocurra alguno, y pueden ocurrir varios a la vez.

2. Traducimos «exactamente uno». Es el suceso donde uno de los intentos da as y todos los demás no. Es un subconjunto del anterior, no el mismo.

3. Calculamos «al menos uno» por complemento. $P(\text{ninguno}) = \left(\dfrac{9}{10}\right)^{2} = 0{,}81$ , así que $P(\text{al menos uno}) = 1 - 0{,}81 = 0{,}19$ .

4. Calculamos «exactamente uno». Hay $2$ posiciones donde puede estar el único éxito: $P = 2 \cdot \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{9}{10} = 0{,}18$ .

5. Comparamos. $0{,}18 < 0{,}19$ , como tiene que ser: «al menos uno» incluye también los casos con dos o más. Confundir las dos frases cambia por completo el resultado.

Respuesta: $P(\text{al menos un as}) = 0{,}19$ y $P(\text{exactamente un as}) = 0{,}18$

11. Se tira un dado equilibrado. Clasificá cada uno de estos sucesos como seguro, imposible o ninguno de los dos, y dá su probabilidad: $A$ : «sale un número entre $1$ y $6$ », $B$ : «sale un $12$ », $C$ : «sale un número mayor o igual que $6$ ».

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1. Escribimos el espacio muestral. $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

2. Analizamos $A$ . $A = S$ : siempre ocurre, así que es el suceso seguro y $P(A) = 1$ .

3. Analizamos $B$ . Ningún resultado de $S$ vale $12$ , así que $B = \emptyset$ : es el suceso imposible y $P(B) = 0$ .

4. Analizamos $C$ . $C = \{6\}$ , con $1$ resultado. No es ni seguro ni imposible: $P(C) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$ .

5. El detalle que conviene recordar. En un espacio finito, probabilidad $0$ y suceso imposible coinciden. En espacios infinitos eso deja de ser cierto.

Respuesta: $A$ es seguro ( $P = 1$ ), $B$ es imposible ( $P = 0$ ) y $C$ no es ninguno de los dos ( $P = \dfrac{1}{6}$ )

12. Un experimento tiene un espacio muestral con $4$ resultados. Calculá cuántos sucesos distintos se pueden definir y cuántos de ellos son elementales.

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1. Recordamos qué es un suceso. Cualquier subconjunto del espacio muestral, incluidos el vacío y el total.

2. Contamos los subconjuntos. Cada uno de los $4$ resultados se incluye o no se incluye: son $4$ decisiones de $2$ opciones, así que hay $2^{4} = 16$ subconjuntos.

3. Contamos los elementales. Son los que tienen un solo resultado: hay $4$ , uno por cada elemento de $S$ .

4. Ubicamos los dos casos de borde. Entre esos $16$ están el suceso imposible, que es el vacío, y el suceso seguro, que es $S$ entero.

5. Verificamos con el conteo por tamaño. Sumando los subconjuntos de cada tamaño: $C_{4,0} = 1$ + $C_{4,1} = 4$ + $C_{4,2} = 6$ + $C_{4,3} = 4$ + $C_{4,4} = 1$ , que da $16$ .

Respuesta: Hay $2^{4} = 16$ sucesos posibles y $4$ de ellos son elementales