Ejercicios: Experimento aleatorio y espacio muestral

1. En un experimento aleatorio se tira una moneda y después un dado, y se anota el par. Escribí el espacio muestral y decí cuántos elementos tiene.

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1. Verificamos que el experimento sea aleatorio. Se conocen todos los resultados posibles pero no se puede predecir cuál va a salir, así que es aleatorio.

2. Escribimos los resultados como pares o secuencias ordenadas. $S = \{(cara; 1); (cara; 2); \dots; (ceca; 6)\}$ . Cada elemento registra qué pasó en cada etapa, no un resumen de las dos.

3. Contamos los elementos. Son $12$ : los dos resultados de la moneda por los seis del dado.

4. Verificamos que sean equiprobables. Ninguna secuencia tiene más chances que otra, así que cada una vale $\dfrac{1}{12}$ . Eso es lo que después habilita usar la definición clásica.

5. Por qué conviene escribirlo primero. Todo lo que se calcule después depende de este conjunto. Un espacio muestral mal armado da probabilidades equivocadas por más que las cuentas estén bien.

Respuesta: $S = \{(cara; 1); (cara; 2); \dots; (ceca; 6)\}$ , con $12$ elementos

2. Decidí cuáles de estos experimentos son aleatorios y cuáles deterministas, y justificá: (1) sumar dos números conocidos; (2) medir cuántos clientes entran a un local en una hora; (3) calentar agua a $100$ grados al nivel del mar y ver si hierve.

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1. Recordamos el criterio. Un experimento es aleatorio si, conociendo todas las condiciones, igual no se puede predecir con certeza el resultado. Si el resultado queda determinado, es determinista.

2. Analizamos el caso (1). Es determinista, porque el resultado es siempre el mismo.

3. Analizamos el caso (2). Es aleatorio, porque el número cambia de una hora a otra sin poder predecirlo.

4. Analizamos el caso (3). Es determinista, porque en esas condiciones el resultado está fijado.

5. Qué se puede hacer con los aleatorios. Aunque no se pueda predecir el resultado, sí se pueden listar todos los posibles. Por ejemplo, en «medir cuántos clientes entran a un local en una hora» ese listado es el espacio muestral, y es el punto de partida de cualquier cálculo.

Respuesta: (1) determinista; (2) aleatorio; (3) determinista

3. Se tiran dos dados y se anota la suma. Alguien afirma que el espacio muestral son las once sumas posibles, del $2$ al $12$ , y que cada una tiene probabilidad $\dfrac{1}{11}$ . Mostrá que eso es falso calculando de cuántas formas se obtiene la suma $9$ .

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1. Armamos el espacio muestral correcto. El experimento tiene dos etapas, así que sus resultados son pares ordenados: $S = \{(1; 1); (1; 2); \dots; (6; 6)\}$ , con $6 \cdot 6 = 36$ elementos, y esos sí son equiprobables.

2. Contamos los pares que suman $9$ . $(3; 6)$ · $(4; 5)$ · $(5; 4)$ · $(6; 3)$ , o sea $4$ pares.

3. Calculamos su probabilidad. $P(\text{suma} = 9) = \dfrac{4}{36} \approx 0{,}1111$

4. Comparamos con la afirmación. $\dfrac{1}{11} \approx 0{,}0909$ , distinto de $0{,}1111$ . La suma $7$ sale de $6$ pares y la suma $2$ de uno solo: las once sumas no son igualmente probables.

5. La conclusión que importa. El espacio muestral de un experimento compuesto son los resultados de cada etapa, no un resumen de ellos. Ese resumen no es equiprobable y por eso no se puede dividir por once.

Respuesta: La suma $9$ sale de $4$ de los $36$ pares, con probabilidad $0{,}1111$ , y no $0{,}0909$

4. En un experimento aleatorio se extraen $3$ bolillas de una urna con $8$ , una por vez y sin reposición, anotando el orden. Calculá cuántos elementos tiene el espacio muestral, sin listarlos.

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1. Decidimos si el orden distingue resultados. El orden se anota, así que dos secuencias con las mismas bolillas en distinto orden son resultados distintos. Y como no hay reposición, en cada extracción queda una bolilla menos.

2. Elegimos la herramienta de conteo. Con orden y sin reposición van variaciones; con orden y reposición, una potencia; sin orden, combinaciones.

3. Contamos. $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

4. Verificamos que los elementos sean equiprobables. Contados de esta forma, los $336$ resultados tienen la misma chance, así que sirven para aplicar la definición clásica.

5. Por qué no hace falta listar. Con $336$ elementos, escribir el conjunto no aporta nada. Para calcular probabilidades alcanza con saber cuántos son.

Respuesta: El espacio muestral tiene $336$ elementos

5. En un experimento aleatorio se extraen dos bolillas de una urna con las bolillas $1$ , $2$ y $3$ , una por vez y sin reposición. Escribí el espacio muestral y decí cuántos elementos tiene.

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1. Verificamos que el experimento sea aleatorio. Se conocen todos los resultados posibles pero no se puede predecir cuál va a salir, así que es aleatorio.

2. Escribimos los resultados como pares o secuencias ordenadas. $S = \{(1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3); (3; 1); (3; 2)\}$ . Cada elemento registra qué pasó en cada etapa, no un resumen de las dos.

3. Contamos los elementos. Son $6$ : tres opciones para la primera y dos para la segunda.

4. Verificamos que sean equiprobables. Ninguna secuencia tiene más chances que otra, así que cada una vale $\dfrac{1}{6}$ . Eso es lo que después habilita usar la definición clásica.

5. Por qué conviene escribirlo primero. Todo lo que se calcule después depende de este conjunto. Un espacio muestral mal armado da probabilidades equivocadas por más que las cuentas estén bien.

Respuesta: $S = \{(1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3); (3; 1); (3; 2)\}$ , con $6$ elementos

6. Decidí cuáles de estos experimentos son aleatorios y cuáles deterministas, y justificá: (1) soltar una piedra desde una ventana y ver si cae; (2) calentar agua a $100$ grados al nivel del mar y ver si hierve; (3) tirar un dado y anotar el número.

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1. Recordamos el criterio. Un experimento es aleatorio si, conociendo todas las condiciones, igual no se puede predecir con certeza el resultado. Si el resultado queda determinado, es determinista.

2. Analizamos el caso (1). Es determinista, porque la gravedad garantiza el resultado.

3. Analizamos el caso (2). Es determinista, porque en esas condiciones el resultado está fijado.

4. Analizamos el caso (3). Es aleatorio, porque no se puede predecir cuál de los seis va a salir.

5. Qué se puede hacer con los aleatorios. Aunque no se pueda predecir el resultado, sí se pueden listar todos los posibles. Por ejemplo, en «tirar un dado y anotar el número» ese listado es el espacio muestral, y es el punto de partida de cualquier cálculo.

Respuesta: (1) determinista; (2) determinista; (3) aleatorio

7. Se tiran dos dados y se anota la suma. Alguien afirma que el espacio muestral son las once sumas posibles, del $2$ al $12$ , y que cada una tiene probabilidad $\dfrac{1}{11}$ . Mostrá que eso es falso calculando de cuántas formas se obtiene la suma $8$ .

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1. Armamos el espacio muestral correcto. El experimento tiene dos etapas, así que sus resultados son pares ordenados: $S = \{(1; 1); (1; 2); \dots; (6; 6)\}$ , con $6 \cdot 6 = 36$ elementos, y esos sí son equiprobables.

2. Contamos los pares que suman $8$ . $(2; 6)$ · $(3; 5)$ · $(4; 4)$ · $(5; 3)$ · $(6; 2)$ , o sea $5$ pares.

3. Calculamos su probabilidad. $P(\text{suma} = 8) = \dfrac{5}{36} \approx 0{,}1389$

4. Comparamos con la afirmación. $\dfrac{1}{11} \approx 0{,}0909$ , distinto de $0{,}1389$ . La suma $7$ sale de $6$ pares y la suma $2$ de uno solo: las once sumas no son igualmente probables.

5. La conclusión que importa. El espacio muestral de un experimento compuesto son los resultados de cada etapa, no un resumen de ellos. Ese resumen no es equiprobable y por eso no se puede dividir por once.

Respuesta: La suma $8$ sale de $5$ de los $36$ pares, con probabilidad $0{,}1389$ , y no $0{,}0909$

8. En un experimento aleatorio se extraen $3$ bolillas de una urna con $7$ , una por vez y con reposición, anotando el orden. Calculá cuántos elementos tiene el espacio muestral, sin listarlos.

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1. Decidimos si el orden distingue resultados. El orden se anota y la bolilla vuelve a la urna, así que las tres extracciones tienen siempre las mismas opciones.

2. Elegimos la herramienta de conteo. Con orden y sin reposición van variaciones; con orden y reposición, una potencia; sin orden, combinaciones.

3. Contamos. $7^{3} = 343$

4. Verificamos que los elementos sean equiprobables. Contados de esta forma, los $343$ resultados tienen la misma chance, así que sirven para aplicar la definición clásica.

5. Por qué no hace falta listar. Con $343$ elementos, escribir el conjunto no aporta nada. Para calcular probabilidades alcanza con saber cuántos son.

Respuesta: El espacio muestral tiene $343$ elementos

9. En un experimento aleatorio se tiran tres monedas y se anota la secuencia. Escribí el espacio muestral y decí cuántos elementos tiene.

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1. Verificamos que el experimento sea aleatorio. Se conocen todos los resultados posibles pero no se puede predecir cuál va a salir, así que es aleatorio.

2. Escribimos los resultados como pares o secuencias ordenadas. $S = \{(c; c; c); (c; c; x); \dots; (x; x; x)\}$ . Cada elemento registra qué pasó en cada etapa, no un resumen de las dos.

3. Contamos los elementos. Son $8$ : dos resultados por cada una de las tres monedas.

4. Verificamos que sean equiprobables. Ninguna secuencia tiene más chances que otra, así que cada una vale $\dfrac{1}{8}$ . Eso es lo que después habilita usar la definición clásica.

5. Por qué conviene escribirlo primero. Todo lo que se calcule después depende de este conjunto. Un espacio muestral mal armado da probabilidades equivocadas por más que las cuentas estén bien.

Respuesta: $S = \{(c; c; c); (c; c; x); \dots; (x; x; x)\}$ , con $8$ elementos

10. Decidí cuáles de estos experimentos son aleatorios y cuáles deterministas, y justificá: (1) medir cuántos clientes entran a un local en una hora; (2) tirar un dado y anotar el número; (3) calentar agua a $100$ grados al nivel del mar y ver si hierve.

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1. Recordamos el criterio. Un experimento es aleatorio si, conociendo todas las condiciones, igual no se puede predecir con certeza el resultado. Si el resultado queda determinado, es determinista.

2. Analizamos el caso (1). Es aleatorio, porque el número cambia de una hora a otra sin poder predecirlo.

3. Analizamos el caso (2). Es aleatorio, porque no se puede predecir cuál de los seis va a salir.

4. Analizamos el caso (3). Es determinista, porque en esas condiciones el resultado está fijado.

5. Qué se puede hacer con los aleatorios. Aunque no se pueda predecir el resultado, sí se pueden listar todos los posibles. Por ejemplo, en «medir cuántos clientes entran a un local en una hora» ese listado es el espacio muestral, y es el punto de partida de cualquier cálculo.

Respuesta: (1) aleatorio; (2) aleatorio; (3) determinista

11. Se tiran dos dados y se anota la suma. Alguien afirma que el espacio muestral son las once sumas posibles, del $2$ al $12$ , y que cada una tiene probabilidad $\dfrac{1}{11}$ . Mostrá que eso es falso calculando de cuántas formas se obtiene la suma $10$ .

Ver solución

1. Armamos el espacio muestral correcto. El experimento tiene dos etapas, así que sus resultados son pares ordenados: $S = \{(1; 1); (1; 2); \dots; (6; 6)\}$ , con $6 \cdot 6 = 36$ elementos, y esos sí son equiprobables.

2. Contamos los pares que suman $10$ . $(4; 6)$ · $(5; 5)$ · $(6; 4)$ , o sea $3$ pares.

3. Calculamos su probabilidad. $P(\text{suma} = 10) = \dfrac{3}{36} \approx 0{,}0833$

4. Comparamos con la afirmación. $\dfrac{1}{11} \approx 0{,}0909$ , distinto de $0{,}0833$ . La suma $7$ sale de $6$ pares y la suma $2$ de uno solo: las once sumas no son igualmente probables.

5. La conclusión que importa. El espacio muestral de un experimento compuesto son los resultados de cada etapa, no un resumen de ellos. Ese resumen no es equiprobable y por eso no se puede dividir por once.

Respuesta: La suma $10$ sale de $3$ de los $36$ pares, con probabilidad $0{,}0833$ , y no $0{,}0909$

12. En un experimento aleatorio se eligen $3$ personas de un grupo de $10$ para formar una comisión sin cargos. Calculá cuántos elementos tiene el espacio muestral, sin listarlos.

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1. Decidimos si el orden distingue resultados. La comisión no tiene cargos, así que el orden no distingue: las mismas tres personas en otro orden son el mismo resultado.

2. Elegimos la herramienta de conteo. Con orden y sin reposición van variaciones; con orden y reposición, una potencia; sin orden, combinaciones.

3. Contamos. $C_{10,3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = 120$

4. Verificamos que los elementos sean equiprobables. Contados de esta forma, los $120$ resultados tienen la misma chance, así que sirven para aplicar la definición clásica.

5. Por qué no hace falta listar. Con $120$ elementos, escribir el conjunto no aporta nada. Para calcular probabilidades alcanza con saber cuántos son.

Respuesta: El espacio muestral tiene $120$ elementos