Ejercicios: Diagrama de caja y valores atípicos

1. Un diagrama de caja de la duración de las llamadas en minutos se armó con este resumen de cinco números: mínimo $26$ , $Q_1 = 40$ , mediana $50$ , $Q_3 = 60$ y máximo $84$ . Calculá el rango intercuartil y los dos límites que separan los valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil, que es el ancho de la caja. $RIC = Q_3 - Q_1 = 60 - 40 = 20$ minutos. Adentro de ese tramo está la mitad central de los datos.

2. Escribimos el criterio. Un dato es atípico si $x < Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC$ o si $x > Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC$ .

3. Calculamos el límite inferior. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 40 - 1{,}5 \cdot 20 = 40 - 30 = 10$

4. Calculamos el límite superior. $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 60 + 30 = 90$

5. Miramos los extremos del resumen. El mínimo $26$ está dentro del límite inferior, y el máximo $84$ está dentro del superior.

6. Qué queda dibujado. La caja va de $40$ a $60$ con la mediana en $50$ . Los bigotes no llegan a $10$ ni a $90$ : esos son solo los límites de tolerancia, no la punta de los bigotes.

Respuesta: $RIC = 20$ minutos; los límites son $10$ y $90$

2. En un conjunto de el consumo mensual en kWh se sabe que $Q_1 = 55$ y $Q_3 = 65$ . Los datos más alejados del centro son $32; 44; 79; 88; 100$ . Identificá cuáles son valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil. $RIC = 65 - 55 = 10$ kWh.

2. Calculamos los dos límites. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 55 - 15 = 40$ y $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 65 + 15 = 80$ .

3. Comparamos cada dato con los límites. $32$ : atípico · $44$ : dentro del rango normal · $79$ : dentro del rango normal · $88$ : atípico · $100$ : atípico

4. Marcamos los atípicos. Quedan fuera de los límites $32; 88; 100$ : se dibujan con un punto suelto, fuera de los bigotes.

5. Qué significa que un dato sea atípico. Que está lejos del grueso de los datos según este criterio, y nada más. No son necesariamente errores: pueden ser observaciones legítimas y raras, y hay que mirarlas antes de decidir qué hacer con ellas.

Respuesta: Son atípicos $32; 88; 100$ . Los demás ( $44; 79$ ) están dentro de los límites $40$ y $80$

3. De un conjunto de las notas del curso se sabe que $Q_1 = 65$ y $Q_3 = 80$ . Los tres datos más chicos son $36; 46; 48$ y los tres más grandes son $93; 101; 107$ . Calculá hasta dónde llega cada bigote del diagrama de caja.

Ver solución

1. Calculamos los límites de tolerancia. $RIC = 15$ , así que los límites son $65 - 22{,}5 = 42{,}5$ y $80 + 22{,}5 = 102{,}5$ .

2. Recordamos qué es la punta de un bigote. No es el límite calculado ni el mínimo o el máximo del conjunto. Es el dato más alejado que todavía cae dentro del límite.

3. Buscamos la punta del bigote inferior. De los datos más chicos, $36$ queda por debajo de $42{,}5$ , así que es atípico y no lo alcanza el bigote. El más chico que sí entra es $46$ .

4. Buscamos la punta del bigote superior. $107$ supera $102{,}5$ y queda como punto suelto. El más grande que entra es $101$ .

5. Armamos el dibujo. La caja va de $65$ a $80$ , el bigote izquierdo llega hasta $46$ y el derecho hasta $101$ . Los datos $36$ y $107$ se marcan como puntos, afuera.

6. El error más común. Estirar los bigotes hasta el mínimo y el máximo siempre. Si se hace eso, los atípicos desaparecen del gráfico y el diagrama deja de servir para detectarlos.

Respuesta: El bigote inferior llega a $46$ y el superior a $101$

4. Se comparan las notas del curso de dos grupos con dos diagramas de caja. El turno noche: $Q_1 = 25$ , mediana $32$ , $Q_3 = 40$ . El turno mañana: $Q_1 = 45$ , mediana $50$ , $Q_3 = 80$ . Compará los dos grupos en centro, dispersión y asimetría.

Ver solución

1. Comparamos el centro. Las medianas son $32$ y $50$ : el turno mañana está corrido hacia valores más altos. La mediana es lo que marca la línea de adentro de cada caja.

2. Comparamos la dispersión de la mitad central. $RIC = 40 - 25 = 15$ contra $RIC = 80 - 45 = 35$ . La caja de el turno mañana es más ancha, así que su mitad central está más desparramada.

3. Miramos dónde cae la mediana dentro de cada caja. En el turno noche, la mediana está a $7$ de $Q_1$ y a $8$ de $Q_3$ . En el turno mañana, a $5$ y a $30$ .

4. Diagnosticamos la asimetría. En el turno mañana la mediana está mucho más cerca de $Q_1$ que de $Q_3$ , así que el cuarto superior de los datos se estira hacia arriba: hay asimetría a la derecha. En el turno noche la mediana está más centrada.

5. Lo que no hay que leer mal. El largo de un tramo no dice cuántos datos tiene. Cada tramo de la caja contiene el $25\%$ de los datos, sea corto o largo: lo que cambia es cuánto se desparraman esos datos.

Respuesta: El turno mañana tiene la mediana más alta, el turno mañana tiene la mitad central más dispersa ( $RIC = 35$ contra $15$ ), y el turno mañana muestra asimetría a la derecha

5. Un diagrama de caja de los tiempos de entrega en días se armó con este resumen de cinco números: mínimo $29$ , $Q_1 = 40$ , mediana $51$ , $Q_3 = 60$ y máximo $68$ . Calculá el rango intercuartil y los dos límites que separan los valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil, que es el ancho de la caja. $RIC = Q_3 - Q_1 = 60 - 40 = 20$ días. Adentro de ese tramo está la mitad central de los datos.

2. Escribimos el criterio. Un dato es atípico si $x < Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC$ o si $x > Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC$ .

3. Calculamos el límite inferior. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 40 - 1{,}5 \cdot 20 = 40 - 30 = 10$

4. Calculamos el límite superior. $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 60 + 30 = 90$

5. Miramos los extremos del resumen. El mínimo $29$ está dentro del límite inferior, y el máximo $68$ está dentro del superior.

6. Qué queda dibujado. La caja va de $40$ a $60$ con la mediana en $51$ . Los bigotes no llegan a $10$ ni a $90$ : esos son solo los límites de tolerancia, no la punta de los bigotes.

Respuesta: $RIC = 20$ días; los límites son $10$ y $90$

6. En un conjunto de la duración de las llamadas en minutos se sabe que $Q_1 = 35$ y $Q_3 = 45$ . Los datos más alejados del centro son $11; 23; 58; 67; 85$ . Identificá cuáles son valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil. $RIC = 45 - 35 = 10$ minutos.

2. Calculamos los dos límites. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 35 - 15 = 20$ y $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 45 + 15 = 60$ .

3. Comparamos cada dato con los límites. $11$ : atípico · $23$ : dentro del rango normal · $58$ : dentro del rango normal · $67$ : atípico · $85$ : atípico

4. Marcamos los atípicos. Quedan fuera de los límites $11; 67; 85$ : se dibujan con un punto suelto, fuera de los bigotes.

5. Qué significa que un dato sea atípico. Que está lejos del grueso de los datos según este criterio, y nada más. No son necesariamente errores: pueden ser observaciones legítimas y raras, y hay que mirarlas antes de decidir qué hacer con ellas.

Respuesta: Son atípicos $11; 67; 85$ . Los demás ( $23; 58$ ) están dentro de los límites $20$ y $60$

7. De un conjunto de la duración de las llamadas en minutos se sabe que $Q_1 = 60$ y $Q_3 = 75$ . Los tres datos más chicos son $34; 38; 46$ y los tres más grandes son $89; 94; 110$ . Calculá hasta dónde llega cada bigote del diagrama de caja.

Ver solución

1. Calculamos los límites de tolerancia. $RIC = 15$ , así que los límites son $60 - 22{,}5 = 37{,}5$ y $75 + 22{,}5 = 97{,}5$ .

2. Recordamos qué es la punta de un bigote. No es el límite calculado ni el mínimo o el máximo del conjunto. Es el dato más alejado que todavía cae dentro del límite.

3. Buscamos la punta del bigote inferior. De los datos más chicos, $34$ queda por debajo de $37{,}5$ , así que es atípico y no lo alcanza el bigote. El más chico que sí entra es $38$ .

4. Buscamos la punta del bigote superior. $110$ supera $97{,}5$ y queda como punto suelto. El más grande que entra es $94$ .

5. Armamos el dibujo. La caja va de $60$ a $75$ , el bigote izquierdo llega hasta $38$ y el derecho hasta $94$ . Los datos $34$ y $110$ se marcan como puntos, afuera.

6. El error más común. Estirar los bigotes hasta el mínimo y el máximo siempre. Si se hace eso, los atípicos desaparecen del gráfico y el diagrama deja de servir para detectarlos.

Respuesta: El bigote inferior llega a $38$ y el superior a $94$

8. Se comparan los sueldos en miles de pesos de dos grupos con dos diagramas de caja. El grupo A: $Q_1 = 20$ , mediana $27$ , $Q_3 = 35$ . El grupo B: $Q_1 = 45$ , mediana $47$ , $Q_3 = 75$ . Compará los dos grupos en centro, dispersión y asimetría.

Ver solución

1. Comparamos el centro. Las medianas son $27$ y $47$ : el grupo B está corrido hacia valores más altos. La mediana es lo que marca la línea de adentro de cada caja.

2. Comparamos la dispersión de la mitad central. $RIC = 35 - 20 = 15$ contra $RIC = 75 - 45 = 30$ . La caja de el grupo B es más ancha, así que su mitad central está más desparramada.

3. Miramos dónde cae la mediana dentro de cada caja. En el grupo A, la mediana está a $7$ de $Q_1$ y a $8$ de $Q_3$ . En el grupo B, a $2$ y a $28$ .

4. Diagnosticamos la asimetría. En el grupo B la mediana está mucho más cerca de $Q_1$ que de $Q_3$ , así que el cuarto superior de los datos se estira hacia arriba: hay asimetría a la derecha. En el grupo A la mediana está más centrada.

5. Lo que no hay que leer mal. El largo de un tramo no dice cuántos datos tiene. Cada tramo de la caja contiene el $25\%$ de los datos, sea corto o largo: lo que cambia es cuánto se desparraman esos datos.

Respuesta: El grupo B tiene la mediana más alta, el grupo B tiene la mitad central más dispersa ( $RIC = 30$ contra $15$ ), y el grupo B muestra asimetría a la derecha

9. Un diagrama de caja de las notas del curso se armó con este resumen de cinco números: mínimo $23$ , $Q_1 = 35$ , mediana $53$ , $Q_3 = 60$ y máximo $81$ . Calculá el rango intercuartil y los dos límites que separan los valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil, que es el ancho de la caja. $RIC = Q_3 - Q_1 = 60 - 35 = 25$ puntos. Adentro de ese tramo está la mitad central de los datos.

2. Escribimos el criterio. Un dato es atípico si $x < Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC$ o si $x > Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC$ .

3. Calculamos el límite inferior. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 35 - 1{,}5 \cdot 25 = 35 - 37{,}5 = -2{,}5$

4. Calculamos el límite superior. $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 60 + 37{,}5 = 97{,}5$

5. Miramos los extremos del resumen. El mínimo $23$ está dentro del límite inferior, y el máximo $81$ está dentro del superior.

6. Qué queda dibujado. La caja va de $35$ a $60$ con la mediana en $53$ . Los bigotes no llegan a $-2{,}5$ ni a $97{,}5$ : esos son solo los límites de tolerancia, no la punta de los bigotes.

Respuesta: $RIC = 25$ puntos; los límites son $-2{,}5$ y $97{,}5$

10. En un conjunto de los sueldos en miles de pesos se sabe que $Q_1 = 35$ y $Q_3 = 55$ . Los datos más alejados del centro son $2; 6; 84; 87; 102$ . Identificá cuáles son valores atípicos.

Ver solución

1. Calculamos el rango intercuartil. $RIC = 55 - 35 = 20$ miles de pesos.

2. Calculamos los dos límites. $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC = 35 - 30 = 5$ y $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC = 55 + 30 = 85$ .

3. Comparamos cada dato con los límites. $2$ : atípico · $6$ : dentro del rango normal · $84$ : dentro del rango normal · $87$ : atípico · $102$ : atípico

4. Marcamos los atípicos. Quedan fuera de los límites $2; 87; 102$ : se dibujan con un punto suelto, fuera de los bigotes.

5. Qué significa que un dato sea atípico. Que está lejos del grueso de los datos según este criterio, y nada más. No son necesariamente errores: pueden ser observaciones legítimas y raras, y hay que mirarlas antes de decidir qué hacer con ellas.

Respuesta: Son atípicos $2; 87; 102$ . Los demás ( $6; 84$ ) están dentro de los límites $5$ y $85$

11. De un conjunto de el consumo mensual en kWh se sabe que $Q_1 = 65$ y $Q_3 = 75$ . Los tres datos más chicos son $43; 51; 58$ y los tres más grandes son $83; 87; 104$ . Calculá hasta dónde llega cada bigote del diagrama de caja.

Ver solución

1. Calculamos los límites de tolerancia. $RIC = 10$ , así que los límites son $65 - 15 = 50$ y $75 + 15 = 90$ .

2. Recordamos qué es la punta de un bigote. No es el límite calculado ni el mínimo o el máximo del conjunto. Es el dato más alejado que todavía cae dentro del límite.

3. Buscamos la punta del bigote inferior. De los datos más chicos, $43$ queda por debajo de $50$ , así que es atípico y no lo alcanza el bigote. El más chico que sí entra es $51$ .

4. Buscamos la punta del bigote superior. $104$ supera $90$ y queda como punto suelto. El más grande que entra es $87$ .

5. Armamos el dibujo. La caja va de $65$ a $75$ , el bigote izquierdo llega hasta $51$ y el derecho hasta $87$ . Los datos $43$ y $104$ se marcan como puntos, afuera.

6. El error más común. Estirar los bigotes hasta el mínimo y el máximo siempre. Si se hace eso, los atípicos desaparecen del gráfico y el diagrama deja de servir para detectarlos.

Respuesta: El bigote inferior llega a $51$ y el superior a $87$

12. Se comparan los sueldos en miles de pesos de dos grupos con dos diagramas de caja. La sucursal norte: $Q_1 = 20$ , mediana $27$ , $Q_3 = 35$ . El grupo B: $Q_1 = 25$ , mediana $29$ , $Q_3 = 60$ . Compará los dos grupos en centro, dispersión y asimetría.

Ver solución

1. Comparamos el centro. Las medianas son $27$ y $29$ : el grupo B está corrido hacia valores más altos. La mediana es lo que marca la línea de adentro de cada caja.

2. Comparamos la dispersión de la mitad central. $RIC = 35 - 20 = 15$ contra $RIC = 60 - 25 = 35$ . La caja de el grupo B es más ancha, así que su mitad central está más desparramada.

3. Miramos dónde cae la mediana dentro de cada caja. En la sucursal norte, la mediana está a $7$ de $Q_1$ y a $8$ de $Q_3$ . En el grupo B, a $4$ y a $31$ .

4. Diagnosticamos la asimetría. En el grupo B la mediana está mucho más cerca de $Q_1$ que de $Q_3$ , así que el cuarto superior de los datos se estira hacia arriba: hay asimetría a la derecha. En la sucursal norte la mediana está más centrada.

5. Lo que no hay que leer mal. El largo de un tramo no dice cuántos datos tiene. Cada tramo de la caja contiene el $25\%$ de los datos, sea corto o largo: lo que cambia es cuánto se desparraman esos datos.

Respuesta: El grupo B tiene la mediana más alta, el grupo B tiene la mitad central más dispersa ( $RIC = 35$ contra $15$ ), y el grupo B muestra asimetría a la derecha