Integradores de Estadística descriptiva y conteo

1. Separamos población de muestra. La población es el conjunto de todos los pacientes que pasan por esa guardia. La muestra es el recorte que efectivamente se midió: los que llegaron en esa hora.

2. Nombramos la variable. La variable es el tiempo de atención en minutos, medido sobre cada paciente.

3. Contamos las observaciones. El listado tiene $10$ tiempos anotados, así que el tamaño de la muestra es $10$.

4. Contamos los valores distintos. Sacando repetidos quedan $7$ tiempos diferentes, que van a ser las filas de la tabla de frecuencias.

Respuesta: población: todos los pacientes de la guardia; muestra: los $10$ atendidos en esa hora; variable: el tiempo de atención. Aparecen $7$ valores distintos

b)

1. Ordenamos los valores. De menor a mayor los tiempos distintos son $12$, $14$, $15$, $16$, $17$, $18$, $20$.

2. Contamos cuántas veces aparece cada uno. el $12$ aparece $3$ · el $14$ aparece $2$ · el $15$ aparece $1$ · el $16$ aparece $1$ · el $17$ aparece $1$ · el $18$ aparece $1$ · el $20$ aparece $1$.

3. Sumamos la columna. $3$ + $2$ + $1$ + $1$ + $1$ + $1$ + $1$ da $10$, que es el total de observaciones, así que la tabla está completa.

Respuesta: frecuencias $3$, $2$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, que suman $10$

c)

1. Sumamos todos los datos. La suma de los $10$ tiempos da $150$.

2. Dividimos por la cantidad. $\dfrac{150}{10} = 15$ minutos.

3. Buscamos la mediana. Con $10$ datos ordenados, la mediana es el promedio del quinto y el sexto. Los ordenados son $12$, $12$, $12$, $14$, $14$, $15$, $16$, $17$, $18$, $20$, así que la mediana vale $\dfrac{29}{2}$.

4. Miramos la frecuencia más alta. El valor que más se repite es $12$, con $3$ apariciones: ese es el modo.

Respuesta: media $15$ minutos, mediana $\dfrac{29}{2}$ y modo $12$

d)

1. Restamos la media a cada dato y elevamos al cuadrado. Los desvíos respecto de $15$ elevados al cuadrado suman $68$.

2. Dividimos por $n - 1$. Como es una muestra, va $n - 1 = 9$ en el denominador: $\dfrac{68}{9} = \dfrac{68}{9}$.

3. Sacamos la raíz. El desvío estándar es $\sqrt{\dfrac{68}{9}} = \dfrac{2 \sqrt{17}}{3} \approx 2{,}7487$ minutos.

4. Miramos si el número tiene sentido. Un desvío de alrededor de $2{,}7487$ minutos sobre una media de $15$ es una dispersión chica, coherente con datos que van del $12$ al $20$.

Respuesta: varianza muestral $\dfrac{68}{9}$ y desvío $\dfrac{2 \sqrt{17}}{3} \approx 2{,}7487$ minutos

1. Miramos qué se midió. Lo que se anota es una cantidad de reclamos, un número, no una etiqueta: la variable es cuantitativa.

2. Miramos qué valores puede tomar. Los reclamos se cuentan de a uno. No existe un día con $3{,}7$ reclamos, así que los valores posibles son enteros aislados.

3. Cerramos la clasificación. Una variable numérica que solo toma valores aislados es cuantitativa discreta.

Respuesta: es una variable cuantitativa discreta

b)

1. Ordenamos. Como en a) es cuantitativa discreta, tiene sentido ordenar los valores y calcular cuartiles: de menor a mayor, $4$, $6$, $7$, $8$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, $30$.

2. Ubicamos el primer cuartil. La posición es $\dfrac{1}{4} \cdot 10$, que no da entero, así que se toma el dato siguiente: el tercero, que vale $7$.

3. Ubicamos la mediana. La posición es $\dfrac{1}{2} \cdot 10$, que da entero, así que se promedian el quinto y el sexto: $\dfrac{17}{2}$.

4. Ubicamos el tercer cuartil. La posición es $\dfrac{3}{4} \cdot 10$, que tampoco da entero: se toma el octavo, que vale $11$.

Respuesta: primer cuartil $7$, mediana $\dfrac{17}{2}$ y tercer cuartil $11$

c)

1. Calculamos el rango intercuartil. $11 - 7 = 4$.

2. Bajamos la valla inferior. $7 - 1{,}5 \cdot 4 = 1$.

3. Subimos la valla superior. $11 + 1{,}5 \cdot 4 = 17$.

4. Miramos qué dato se escapa. Todos los días caen entre las dos vallas salvo el de $30$ reclamos, que queda por encima de la valla superior.

Respuesta: vallas en $1$ y $17$; el único valor atípico es el día de $30$ reclamos

d)

1. Calculamos la media. La suma de los $10$ días da $105$, y dividida por $10$ queda $\dfrac{21}{2}$.

2. Calculamos el desvío. El desvío muestral es $\dfrac{\sqrt{210}}{2} \approx 7{,}2457$.

3. Armamos el coeficiente de Pearson. $As = \dfrac{3 \cdot (\dfrac{21}{2} - \dfrac{17}{2})}{7{,}2457} \approx 0{,}8281$.

4. Leemos el signo. Da positivo, así que la media quedó arriba de la mediana: la cola larga está a la derecha. El día atípico de c) es justamente el que la estira.

Respuesta: media $\dfrac{21}{2}$ contra mediana $\dfrac{17}{2}$, con $As \approx 0{,}8281$: la distribución es asimétrica a la derecha

1. Listamos las frecuencias. Cada fila dice cuántas familias tienen esa cantidad de hijos: $11$, $19$, $24$, $6$.

2. Sumamos. $11$ + $19$ + $24$ + $6$ da $60$.

3. Interpretamos el total. Ese $60$ es la cantidad de familias encuestadas. Que la columna sume el total es la comprobación de que no falta ni sobra ninguna familia.

Respuesta: las frecuencias $11$, $19$, $24$, $6$ suman $60$ familias

b)

1. Dividimos por el total. $\dfrac{24}{60} = \dfrac{2}{5}$, o sea el $40$ por ciento de las familias.

2. Acumulamos hacia abajo. Hasta dos hijos entran las tres primeras filas: $11 + 19 + 24 = 54$.

3. Controlamos el resultado. La acumulada tiene que quedar entre $24$ y $60$, y $54$ cumple.

Respuesta: frecuencia relativa $\dfrac{2}{5}$ y frecuencia acumulada $54$ familias

c)

1. Elegimos qué se representa. En un gráfico de bastones para una variable discreta, cada valor lleva un bastón cuya altura es su frecuencia absoluta.

2. Buscamos la fila. La fila de dos hijos tiene frecuencia $24$.

3. Escribimos la altura. El bastón mide $24$ en el eje vertical, y es el más alto de los cuatro.

Respuesta: el bastón de dos hijos mide $24$

d)

1. Repartimos los 360 grados. El círculo completo representa el total, así que cada sector se lleva $360$ grados multiplicados por su frecuencia relativa.

2. Calculamos el de dos hijos. $360 \cdot \dfrac{2}{5} = 144$ grados.

3. Calculamos el de sin hijos. $360 \cdot \dfrac{11}{60} = 66$ grados.

4. Controlamos que entren. Los dos sectores juntos ocupan menos que el círculo entero, así que los valores son posibles.

Respuesta: $144$ grados para dos hijos y $66$ grados para sin hijos

1. Contamos los intervalos. La tabla tiene $4$ clases.

2. Miramos las amplitudes. No son todas iguales: miden $2$, $10$, $5$, $4$ minutos respectivamente. Eso va a importar en el histograma.

3. Promediamos los extremos de cada clase. $\dfrac{10 + 12}{2} = 11$ · $\dfrac{12 + 22}{2} = 17$ · $\dfrac{22 + 27}{2} = \dfrac{49}{2}$ · $\dfrac{27 + 31}{2} = 29$.

4. Interpretamos la marca. Cada marca es el punto que va a representar a toda su clase cuando haya que calcular o graficar.

Respuesta: hay $4$ clases, con marcas $11$, $17$, $\dfrac{49}{2}$, $29$

b)

1. Decidimos qué representa el área. En un histograma lo que representa la frecuencia es el área de la barra, no su altura. Con amplitudes distintas, poner la frecuencia como altura deformaría el dibujo.

2. Escribimos la altura como densidad. La altura es la frecuencia dividida por la amplitud de su clase.

3. Calculamos las cuatro. $\dfrac{38}{2} = 19$ · $\dfrac{30}{10} = 3$ · $\dfrac{48}{5} = \dfrac{48}{5}$ · $\dfrac{56}{4} = 14$.

4. Controlamos el dibujo. La clase más ancha queda con una barra baja aunque tenga muchas observaciones, que es exactamente lo que corresponde.

Respuesta: alturas $19$, $3$, $\dfrac{48}{5}$, $14$

c)

1. Elegimos la abscisa. El polígono se traza sobre las marcas de clase, no sobre los extremos: cada punto representa a su clase entera.

2. Elegimos la ordenada. La altura de cada punto es la frecuencia absoluta de esa clase.

3. Armamos los pares. $(11; 38)$ · $(17; 30)$ · $(\dfrac{49}{2}; 48)$ · $(29; 56)$.

4. Cerramos la figura. Los cuatro puntos se unen con segmentos y el polígono queda dibujado sobre el histograma de b).

Respuesta: puntos con marcas $11$, $17$, $\dfrac{49}{2}$, $29$ y frecuencias $38$, $30$, $48$, $56$

d)

1. Acumulamos. $38$ · $68$ · $116$ · $172$ es la columna de frecuencias acumuladas.

2. Elegimos dónde va cada punto. La acumulada de una clase recién se alcanza cuando la clase termina, así que el punto va sobre el límite superior y no sobre la marca.

3. Armamos los pares. $(12; 38)$ · $(22; 68)$ · $(27; 116)$ · $(31; 172)$.

4. Controlamos el final. El último punto tiene que llegar al total de personas, y llega: $172$.

Respuesta: límites superiores $12$, $22$, $27$, $31$ con acumuladas $38$, $68$, $116$, $172$

1. Separamos el armado en etapas. Elegir un menú es elegir una entrada, después un plato y después un postre. Son tres decisiones seguidas.

2. Contamos las opciones de cada etapa. $4$ entradas, $6$ platos y $3$ postres, y ninguna elección cambia las opciones de la siguiente.

3. Multiplicamos. $4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$ menúes.

Respuesta: se pueden armar $72$ menúes distintos

b)

1. Vemos qué cambia respecto de a). En a) contamos $72$ menúes eligiendo una opción de cada grupo. Acá no se elige nada: entran todos los platos y lo único que cambia es el orden en que están impresos en la hoja.

2. Reconocemos la permutación. Ordenar los $6$ platos es una permutación de $6$ elementos.

3. Calculamos el factorial. $6! = 720$ órdenes posibles.

Respuesta: la carta se puede ordenar de $720$ maneras

c)

1. Vemos si el orden importa. Sí importa: anunciar el mismo trío en distinto orden da un cartel distinto.

2. Contamos las posiciones una por una. Para el primero hay $6$ platos, para el segundo quedan $5$ y para el tercero $4$.

3. Multiplicamos. $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ carteles.

Respuesta: hay $120$ menúes del día ordenados

d)

1. Vemos qué se repite. En c) contamos $120$ carteles, y cada trío de platos aparece ahí una vez por cada orden posible de sus tres elementos, o sea $3! = 6$ veces.

2. Dividimos por esas repeticiones. $\dfrac{120}{6} = 20$.

3. Confirmamos con la fórmula. La combinación de $6$ tomados de a $3$ da el mismo $20$.

Respuesta: hay $20$ tríos distintos de platos

1. Pensamos el uniforme como una secuencia de decisiones. Hay que elegir una prenda de cada tipo, y elegir la remera no saca ni agrega modelos de pantalón.

2. Anotamos las opciones por decisión. Remeras: $3$. Pantalones: $2$. Cascos: $4$.

3. Multiplicamos las tres. $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ uniformes.

Respuesta: se pueden formar $24$ uniformes

b)

1. Vemos que entran todos. Con los $24$ uniformes de a) ya vestidos, en la foto no queda nadie afuera: los siete están, y lo único que se decide es en qué lugar de la fila va cada uno.

2. Contamos lugar por lugar. Para el primer lugar hay $7$ candidatos, para el segundo $6$, y así hasta que queda uno solo.

3. Reconocemos el factorial. Ese producto es $7! = 5040$ formaciones distintas.

Respuesta: la foto admite $5040$ formaciones

c)

1. Vemos si el orden importa. Importa: a diferencia de la fila de b), donde entraban los $5040$ órdenes completos, acá se eligen tres de los siete y además se los ordena. Dos podios con los mismos tres en distinto orden son podios distintos.

2. Llenamos los tres puestos. Oro: $7$ posibles. Plata: $6$. Bronce: $5$.

3. Multiplicamos. $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ podios.

Respuesta: hay $210$ podios posibles

d)

1. Separamos las dos cosas que hay en el enunciado. Las consignas anteriores contaban posibilidades: $24$ uniformes en a), $5040$ formaciones en b) y $210$ podios en c). Los $8$ números de las carreras son otra cosa: son datos observados, no recuentos de casos posibles.

2. Nombramos población y muestra. La población es el conjunto de todas las carreras del circuito. La muestra es el recorte que efectivamente se registró, las ocho últimas.

3. Nombramos la variable. La variable es la cantidad de ciclistas que llegan a la meta, medida sobre cada carrera.

4. Contamos. Hay $8$ carreras registradas y, sacando repetidos, $6$ cantidades distintas.

Respuesta: población: todas las carreras del circuito; muestra: las $8$ registradas; variable: la cantidad de ciclistas que llegan. Aparecen $6$ valores distintos

1. Identificamos la unidad. Cada dato corresponde a una persona inscripta: la unidad de observación es la persona, no el taller.

2. Distinguimos población de muestra. La población serían todas las personas que se inscriben en el taller. Acá se midió solamente el turno noche, que es la muestra.

3. Contamos. Hay $12$ edades anotadas y, sacando repetidas, $9$ valores diferentes.

Respuesta: la unidad es cada persona inscripta; la muestra tiene $12$ observaciones y $9$ edades distintas

b)

1. Vemos si es número o etiqueta. Cada una de las $12$ edades contadas en a) es un número con el que se puede promediar y comparar, así que la variable es cuantitativa.

2. Miramos cómo se registró. Todas las edades están anotadas en años cumplidos, sin fracciones: los valores que aparecen son enteros.

3. Concluimos. Registrada de esa forma, la variable es cuantitativa discreta. Si se midiera en años con decimales sería continua.

Respuesta: es cuantitativa discreta

c)

1. Ordenamos de menor a mayor. $21$, $22$, $22$, $22$, $23$, $24$, $24$, $25$, $26$, $27$, $28$, $30$.

2. Ubicamos el primer cuartil. La posición $\dfrac{1}{4} \cdot 12$ da entera, así que se promedian el tercero y el cuarto dato: ambos valen $22$.

3. Ubicamos el tercer cuartil. La posición $\dfrac{3}{4} \cdot 12$ también da entera: se promedian el noveno y el décimo, y queda $\dfrac{53}{2}$.

4. Restamos. El rango intercuartil es $\dfrac{53}{2} - 22 = \dfrac{9}{2}$ años.

Respuesta: primer cuartil $22$, tercer cuartil $\dfrac{53}{2}$ y rango intercuartil $\dfrac{9}{2}$ años

d)

1. Bajamos la valla inferior. $22 - 1{,}5 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{61}{4}$ años.

2. Subimos la valla superior. $\dfrac{53}{2} + 1{,}5 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{133}{4}$ años.

3. Comparamos los extremos con las vallas. La edad más chica del grupo es $21$ y la más grande $30$, y las dos caen dentro del tramo delimitado.

4. Cerramos. Ninguna observación queda afuera, así que el diagrama de caja se dibuja sin puntos sueltos: los bigotes llegan hasta el mínimo y el máximo.

Respuesta: vallas en $\dfrac{61}{4}$ y $\dfrac{133}{4}$ años; no hay valores atípicos

1. Tomamos el total. Las frecuencias suman $30$ lotes.

2. Dividimos fila por fila. $\dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$ · $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ · $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ · $\dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$.

3. Acumulamos hasta una falla. $8 + 12 = 20$ lotes tienen a lo sumo una pieza fallada.

4. Controlamos la suma. Las cuatro frecuencias relativas suman $1$, así que la tabla está bien calculada.

Respuesta: relativas $\dfrac{4}{15}$, $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{2}{15}$; acumulada hasta una falla $20$ lotes

b)

1. Elegimos la escala. Se grafican las frecuencias absolutas, así que el eje vertical se lee directamente en lotes.

2. Buscamos el máximo. La frecuencia más grande de la tabla es $12$.

3. Identificamos el valor. Corresponde a los lotes con una pieza fallada, así que ese bastón llega a $12$ y es el más alto del gráfico.

Respuesta: el bastón más alto mide $12$ y es el de una falla

c)

1. Armamos la suma ponderada. $0 \cdot 8$ + $1 \cdot 12$ + $2 \cdot 6$ + $3 \cdot 4$ da $36$ piezas falladas en total.

2. Dividimos por la cantidad de lotes. $\dfrac{36}{30} = \dfrac{6}{5}$ fallas por lote.

3. Calculamos la varianza. Pesando cada desvío al cuadrado por su frecuencia y dividiendo por $n - 1 = 29$ queda $\dfrac{144}{145} \approx 0{,}9931$.

4. Sacamos la raíz. El desvío estándar es $\dfrac{12 \sqrt{145}}{145} \approx 0{,}9965$ fallas.

Respuesta: media $\dfrac{6}{5}$, varianza muestral $\dfrac{144}{145} \approx 0{,}9931$ y desvío $\dfrac{12 \sqrt{145}}{145} \approx 0{,}9965$

d)

1. Buscamos la mediana. Acumulando frecuencias, el dato del medio cae en la fila de una falla, así que la mediana vale $1$.

2. Restamos media y mediana. $\dfrac{6}{5} - 1 = \dfrac{1}{5}$, o sea la media quedó por encima.

3. Armamos el coeficiente. $As = \dfrac{3 \cdot \dfrac{1}{5}}{0{,}9965} \approx 0{,}6021$.

4. Decidimos la forma. Es positivo y de tamaño apreciable, así que la distribución tiene la cola larga hacia los valores altos.

Respuesta: $As \approx 0{,}6021$, positivo: la distribución es asimétrica a la derecha

1. Restamos los extremos de una clase. $2 - 0 = 2$, y todas las clases miden lo mismo.

2. Contamos los intervalos. Son $5$ clases, que cubren de $0$ a $10$ sin dejar huecos.

3. Calculamos las marcas. $\dfrac{0 + 2}{2} = 1$ · $\dfrac{2 + 4}{2} = 3$ · $\dfrac{4 + 6}{2} = 5$ · $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$ · $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.

Respuesta: amplitud $2$ y marcas $1$, $3$, $5$, $7$, $9$

b)

1. Recordamos qué representa el área. En el histograma la frecuencia es el área de la barra, o sea la altura por la amplitud.

2. Usamos que las amplitudes son iguales. Como todas las clases miden $2$, dividir cada frecuencia por la amplitud las achica a todas en la misma proporción y no cambia la forma del dibujo.

3. Escribimos las alturas. Con esa escala, la altura de cada barra se puede leer directamente como la frecuencia: $3$, $7$, $12$, $10$, $8$.

4. Marcamos el límite. Esto vale solamente porque las amplitudes son iguales. Con clases de distinto ancho habría que volver a la densidad.

Respuesta: alturas $3$, $7$, $12$, $10$, $8$

c)

1. Acumulamos hacia abajo. $3$ · $10$ · $22$ · $32$ · $40$.

2. Elegimos la abscisa de cada punto. Cada acumulada se completa cuando su clase termina, así que el punto va sobre el límite superior del intervalo.

3. Armamos los pares. $(2; 3)$ · $(4; 10)$ · $(6; 22)$ · $(8; 32)$ · $(10; 40)$.

4. Verificamos el cierre. El último valor acumulado es $40$, que coincide con el total de parciales corregidos.

Respuesta: puntos sobre los límites $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ con acumuladas $3$, $10$, $22$, $32$, $40$

d)

1. Aceptamos la aproximación. Con los datos ya agrupados no se sabe la nota exacta de cada alumno, así que se supone que todos los de una clase valen su marca.

2. Ponderamos. $1 \cdot 3$ + $3 \cdot 7$ + $5 \cdot 12$ + $7 \cdot 10$ + $9 \cdot 8$ da $226$.

3. Dividimos por el total. $\dfrac{226}{40} = \dfrac{113}{20}$.

4. Ubicamos el resultado. La media cae dentro de la clase más numerosa, lo cual es coherente con la forma de la tabla.

Respuesta: la nota media del curso es $\dfrac{113}{20}$

1. Leemos fila por fila. $0$ mascotas en $5$ casas · $1$ mascotas en $14$ casas · $2$ mascotas en $9$ casas · $3$ mascotas en $2$ casas · $8$ mascotas en $1$ casas.

2. Sumamos la columna. $5$ + $14$ + $9$ + $2$ + $1$ da $31$.

3. Anotamos el total. Se relevaron $31$ casas en total, y ese número va a ser el denominador de todas las frecuencias relativas.

Respuesta: frecuencias $5$, $14$, $9$, $2$, $1$ sobre un total de $31$ casas

b)

1. Dividimos la fila de una mascota por el total. $\dfrac{14}{31} = \dfrac{14}{31} \approx 0{,}4516$.

2. Acumulamos hasta dos mascotas. $5 + 14 + 9 = 28$ casas.

3. Leemos el resultado. Casi la mitad de la cuadra tiene una sola mascota, y $28$ de las $31$ casas tienen dos o menos.

Respuesta: proporción $\dfrac{14}{31} \approx 0{,}4516$ con una mascota; $28$ casas con a lo sumo dos

c)

1. Elegimos qué representar. La cantidad de mascotas es discreta, así que en lugar de barras pegadas se dibuja un bastón sobre cada valor.

2. Comparamos las alturas. Las frecuencias son $5$, $14$, $9$, $2$, $1$, y la mayor es $14$.

3. Escribimos la respuesta. El bastón más alto está sobre el valor una mascota y mide $14$.

Respuesta: el bastón más alto corresponde a una mascota y mide $14$

d)

1. Ubicamos los cuartiles. Con $31$ casas ordenadas, el primer cuartil cae en la fila de una mascota y vale $1$, y el tercero cae en la de dos y vale $2$.

2. Calculamos el rango intercuartil. $2 - 1 = 1$.

3. Trazamos las vallas. Inferior: $1 - 1{,}5 \cdot 1 = - \dfrac{1}{2}$. Superior: $2 + 1{,}5 \cdot 1 = \dfrac{7}{2}$.

4. Buscamos datos afuera. La casa con $8$ mascotas queda muy por encima de la valla superior, así que es un valor atípico. Ninguna queda por debajo de la inferior.

Respuesta: vallas $- \dfrac{1}{2}$ y $\dfrac{7}{2}$; la casa de $8$ mascotas es atípica

1. Restamos extremo superior menos inferior en cada intervalo. $10 - 0 = 10$ · $20 - 10 = 10$ · $40 - 20 = 20$ · $80 - 40 = 40$.

2. Notamos que no son iguales. Los intervalos se van ensanchando, cosa habitual cuando la variable tiene una cola larga hacia arriba.

3. Calculamos las marcas. $5$ · $15$ · $30$ · $60$ son los puntos medios de cada intervalo.

4. Anotamos la consecuencia. Con amplitudes distintas, el histograma no se puede dibujar con la frecuencia como altura.

Respuesta: hay $4$ clases, de amplitudes $10$, $10$, $20$, $40$ y marcas $5$, $15$, $30$, $60$

b)

1. Escribimos la relación. El área de cada barra tiene que ser la frecuencia, así que la altura es la frecuencia dividida por la amplitud de a): $10$, $10$, $20$, $40$.

2. Calculamos las cuatro densidades. $\dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}$ · $\dfrac{28}{10} = \dfrac{14}{5}$ · $\dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}$ · $\dfrac{16}{40} = \dfrac{2}{5}$.

3. Comparamos con la frecuencia pelada. La última clase es la más ancha y la que menos densidad tiene, aunque su frecuencia no sea la más chica: dibujarla con la frecuencia haría parecer que ahí se concentra el gasto.

4. Cerramos. Las alturas del histograma son las densidades, no las frecuencias.

Respuesta: densidades $\dfrac{6}{5}$, $\dfrac{14}{5}$, $\dfrac{6}{5}$, $\dfrac{2}{5}$

c)

1. Elegimos las abscisas. Van las marcas de clase, porque cada punto representa a su intervalo entero.

2. Elegimos las ordenadas. Va la frecuencia absoluta de cada clase, que es lo que la tabla informa.

3. Escribimos los pares. $(5; 12)$ · $(15; 28)$ · $(30; 24)$ · $(60; 16)$.

4. Advertimos sobre el ancho. El polígono une puntos que están a distinta distancia entre sí, porque las clases no tienen el mismo ancho.

Respuesta: pares con marcas $5$, $15$, $30$, $60$ y frecuencias $12$, $28$, $24$, $16$

d)

1. Acumulamos. $12$ · $40$ · $64$ · $80$ son las frecuencias acumuladas.

2. Buscamos la clase de la mediana. La mitad de las familias son $\dfrac{1}{2} \cdot 80 = 40$, y la acumulada llega justo a $40$ al terminar la segunda clase, así que la mediana cae en ese borde.

3. Interpolamos la mediana. $10 + 10 \cdot \dfrac{40 - 12}{28} = 20$.

4. Interpolamos el tercer cuartil. Tres cuartos de las familias son $60$, que cae en la tercera clase: $20 + 20 \cdot \dfrac{60 - 40}{24} = \dfrac{110}{3} \approx 36{,}6667$.

Respuesta: mediana $20$ y tercer cuartil $\dfrac{110}{3} \approx 36{,}6667$ miles de pesos

1. Contamos el total. $6$ + $10$ + $14$ + $5$ + $5$ da $40$ sucursales.

2. Calculamos la frecuencia relativa. $\dfrac{14}{40} = \dfrac{7}{20}$.

3. Repartimos el círculo. $360 \cdot \dfrac{7}{20} = 126$ grados.

4. Controlamos. Son algo más de un tercio del círculo, coherente con que sea el grupo más numeroso.

Respuesta: el sector mide $126$ grados

b)

1. Sumamos ponderando. $1 \cdot 6$ + $2 \cdot 10$ + $3 \cdot 14$ + $4 \cdot 5$ + $5 \cdot 5$ da $113$ reclamos.

2. Dividimos por la cantidad de sucursales. $\dfrac{113}{40} = \dfrac{113}{40}$.

3. Ubicamos la mediana. Acumulando frecuencias, los dos datos centrales caen en la fila de $3$ reclamos, así que la mediana es $3$.

4. Identificamos el modo. La categoría de $3$ reclamos ya tenía frecuencia $14$ en a), la más alta de la tabla, así que es el modo, sin recalcular.

Respuesta: media $\dfrac{113}{40}$, mediana $3$ y modo $3$

c)

1. Restamos la media a cada valor. Los desvíos respecto de $\dfrac{113}{40}$ se elevan al cuadrado y se pesan por la frecuencia de su fila.

2. Sumamos los cuadrados pesados. La suma da $\dfrac{2311}{40} \approx 57{,}775$.

3. Dividimos por $n - 1$. Con $n - 1 = 39$ queda una varianza de $\dfrac{2311}{1560} \approx 1{,}4814$.

4. Sacamos la raíz. El desvío estándar es $\dfrac{\sqrt{901290}}{780} \approx 1{,}2171$ reclamos.

Respuesta: varianza muestral $\dfrac{2311}{1560} \approx 1{,}4814$ y desvío $\dfrac{\sqrt{901290}}{780} \approx 1{,}2171$

d)

1. Vemos si el orden importa. Las tres sucursales se eligen juntas y todas reciben la misma auditoría, así que un grupo queda determinado por quiénes lo integran y no por en qué orden se los nombró.

2. Elegimos la fórmula. Es una combinación: se eligen $3$ sucursales entre las $40$ que sumó la tabla en b), sin repetir y sin ordenar.

3. Calculamos. $\dbinom{40}{3} = 9880$ grupos distintos.

4. Marcamos la diferencia con lo anterior. Las tres consignas anteriores describían los datos que ya se observaron. Esta cuenta posibilidades que todavía no ocurrieron, y por eso no usa las frecuencias sino solo cuántas sucursales hay.

Respuesta: se puede elegir el grupo de $3$ de $9880$ maneras