Media, mediana y modo

Son las tres medidas de posición central, y cada una responde una pregunta distinta sobre dónde está el centro de los datos.

La media es el promedio: la suma de todos los datos dividida por la cantidad. Usa toda la información pero es sensible a valores extremos.

La mediana es el valor que deja la mitad de los datos a cada lado, una vez ordenados. No se mueve por valores extremos, porque solo le importa la posición y no el tamaño.

El modo es el valor que más se repite. Es la única que sirve para variables cualitativas, y puede no ser única.

Cuando la distribución es simétrica las tres coinciden. Cuando está torcida se separan, y comparar la media con la mediana es una forma rápida de detectar asimetría.

Si la media es bastante mayor que la mediana, hay valores altos que la están arrastrando. Ese es el caso típico de los ingresos, donde el promedio no representa a la mayoría.

Elegir cuál usar depende del objetivo y de si hay valores atípicos.

\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}, \quad \text{agrupados: } \bar{x} = \frac{\sum x_{i} f_{i}}{n}

Cuándo se usa

Cuando hay que describir el centro de los datos. Si hay valores extremos, la mediana representa mejor. Comparar media con mediana es la forma más rápida de detectar asimetría.

Ejemplo 1

Calcular media, mediana y modo de: $4, 5, 6, 6, 19$ .

Calculamos la media. $(4 + 5 + 6 + 6 + 19) / 5 = 40 / 5 = 8$ .
Buscamos la mediana. Los datos ya están ordenados y son $5$ , que es impar. El del medio es el tercero: $6$ .
Buscamos el modo. El $6$ aparece dos veces y los demás una. El modo es $6$ .
Respuesta: Media $8$ , mediana $6$ , modo $6$

Ejemplo 2

Calcular la media de los datos agrupados en las clases $[10; 20), [20; 30)$ y $[30; 40)$ con frecuencias $4, 10$ y $6$ .

Calculamos las marcas de clase. Son $15$ , $25$ y $35$ .
Multiplicamos cada marca por su frecuencia y sumamos. $15 \cdot 4 + 25 \cdot 10 + 35 \cdot 6 = 60 + 250 + 210 = 520$ .
Dividimos por el total de datos. $n = 4 + 10 + 6 = 20$ y la media es $520 / 20 = 26$ .
Respuesta: $\bar{x} = 26$

Error típico

Calcular la mediana sin ordenar los datos. El valor que queda en el medio de la lista tal como fue anotada no es la mediana de nada.

Practicar

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