Método

Ejercicios: Media, mediana y modo

xˉ=∑xin,agrupados: xˉ=∑xifin\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}, \quad \text{agrupados: } \bar{x} = \frac{\sum x_{i} f_{i}}{n}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Se registraron los goles por partido de un torneo: 1212; 44; 1616; 44; 55; 1616; 55; 1010; 1616. Calculá la media, la mediana y el modo.

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1. Calculamos la media sumando todo y dividiendo por la cantidad. xˉ=889≈9,7778\bar{x} = \dfrac{88}{9} \approx 9{,}7778 goles.

2. Para la mediana, primero ordenamos. 44; 44; 55; 55; 1010; 1212; 1616; 1616; 1616. Sin ordenar, el valor del medio de la lista no es la mediana de nada.

3. Buscamos la posición central. Con n=9n = 9, que es impar, el dato central es el número 55: vale 1010.

4. Buscamos el modo. Es el valor que más se repite: 1616 aparece 33 veces, más que cualquier otro.

5. Comparamos las tres. xˉ=9,7778\bar{x} = 9{,}7778, Me=10Me = 10 y Mo=16Mo = 16. Como la media queda por debajo de la mediana, hay datos bajos tirando del promedio.

Respuesta: xˉ=9,7778\bar{x} = 9{,}7778, Me=10Me = 10 y Mo=16Mo = 16

2. Se registraron las edades de un grupo: 77; 1111; 1212; 1414; 1818; 2020; 2323; 3030; 3636. Después se detecta que el valor más alto estaba mal anotado y en realidad era 166166. Recalculá la media y la mediana con la corrección y decidí cuál de las dos se movió más.

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1. Calculamos las dos medidas con los datos originales. xˉ=1719=19\bar{x} = \dfrac{171}{9} = 19. Con n=9n = 9 datos ordenados, la mediana es el quinto: Me=18Me = 18.

2. Reemplazamos el dato. El conjunto pasa a ser 77; 1111; 1212; 1414; 1818; 2020; 2323; 3030; 166166.

3. Recalculamos la media. xˉ=3019≈33,4444\bar{x} = \dfrac{301}{9} \approx 33{,}4444, o sea 14,444414{,}4444 años más que antes.

4. Recalculamos la mediana. El dato cambiado sigue siendo el más grande, así que el orden del resto no se altera y el quinto valor sigue siendo el mismo: Me=18Me = 18.

5. Comparamos cuánto se movió cada una. La media subió 14,444414{,}4444 y la mediana no se movió. La media usa el valor de todos los datos, así que un solo dato extremo la arrastra; a la mediana solo le importa la posición.

6. Cuándo conviene cada una. Con valores extremos, la mediana representa mejor al conjunto. Por eso los sueldos se informan con la mediana y no con el promedio.

Respuesta: La media pasa de 1919 a 33,444433{,}4444 y la mediana se queda en 1818

3. Se registraron los goles por partido de un torneo y quedaron resumidos en esta tabla de valores: 1→161 \to 16 · 3→43 \to 4 · 4→84 \to 8 · 5→65 \to 6 · 7→87 \to 8. Calculá la media, la mediana y el modo a partir de la tabla.

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1. Calculamos el total de datos. n=16+4+8+6+8=42n = 16 + 4 + 8 + 6 + 8 = 42

2. La media se calcula pesando cada valor por su frecuencia. xˉ=∑xifin=1⋅16+3⋅4+4⋅8+5⋅6+7⋅842=14642≈3,4762\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{1 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 6 + 7 \cdot 8}{42} = \dfrac{146}{42} \approx 3{,}4762

3. Para la mediana usamos la columna acumulada. F(1)=16F(1) = 16 · F(3)=20F(3) = 20 · F(4)=28F(4) = 28 · F(5)=34F(5) = 34 · F(7)=42F(7) = 42. Con n=42n = 42, la mediana está entre las posiciones 2121 y 2222.

4. Leemos la mediana en la acumulada. La primera acumulada que alcanza esa posición corresponde al valor 44, así que Me=4Me = 4.

5. El modo se lee directo. Es el valor con mayor frecuencia: 11, con 1616 casos.

6. El detalle que hace que esto sea exacto. La tabla lista valor por valor, sin agrupar en intervalos, así que no se pierde información: estas tres medidas son las mismas que saldrían con los datos sueltos.

Respuesta: xˉ=3,4762\bar{x} = 3{,}4762, Me=4Me = 4 y Mo=1Mo = 1

4. De los tiempos de atención en minutos se conocen 55 valores: 23;11;5;8;1123; 11; 5; 8; 11. Falta el último. Hallá qué valor tiene que tomar para que el promedio de los 66 dé exactamente 1212 minutos.

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1. Escribimos la condición. xˉ=∑xin=12\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = 12, con n=6n = 6.

2. Despejamos la suma total. ∑xi=xˉ⋅n=12⋅6=72\sum x_i = \bar{x} \cdot n = 12 \cdot 6 = 72. Esta es la cuenta clave: fijar el promedio es fijar la suma.

3. Sumamos los valores conocidos. 23+11+5+8+11=5823 + 11 + 5 + 8 + 11 = 58

4. Despejamos el que falta. x=72−58=14x = 72 - 58 = 14

5. Verificamos. 58+146=726=12\dfrac{58 + 14}{6} = \dfrac{72}{6} = 12, que es el promedio pedido.

Respuesta: El valor que falta es 1414 minutos

5. Se registraron los pedidos diarios de una sucursal: 88; 2424; 88; 1616; 2424; 88; 1111; 2323; 2424; 88; 1111. Calculá la media, la mediana y el modo.

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1. Calculamos la media sumando todo y dividiendo por la cantidad. xˉ=16511=15\bar{x} = \dfrac{165}{11} = 15 pedidos.

2. Para la mediana, primero ordenamos. 88; 88; 88; 88; 1111; 1111; 1616; 2323; 2424; 2424; 2424. Sin ordenar, el valor del medio de la lista no es la mediana de nada.

3. Buscamos la posición central. Con n=11n = 11, que es impar, el dato central es el número 66: vale 1111.

4. Buscamos el modo. Es el valor que más se repite: 88 aparece 44 veces, más que cualquier otro.

5. Comparamos las tres. xˉ=15\bar{x} = 15, Me=11Me = 11 y Mo=8Mo = 8. Como la media supera a la mediana, hay datos altos tirando del promedio.

Respuesta: xˉ=15\bar{x} = 15, Me=11Me = 11 y Mo=8Mo = 8

6. Se registraron los tiempos de atención en minutos: 55; 66; 1111; 1212; 1313; 1919; 2020; 3535; 3737. Después se detecta que el valor más alto estaba mal anotado y en realidad era 107107. Recalculá la media y la mediana con la corrección y decidí cuál de las dos se movió más.

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1. Calculamos las dos medidas con los datos originales. xˉ=1589≈17,5556\bar{x} = \dfrac{158}{9} \approx 17{,}5556. Con n=9n = 9 datos ordenados, la mediana es el quinto: Me=13Me = 13.

2. Reemplazamos el dato. El conjunto pasa a ser 55; 66; 1111; 1212; 1313; 1919; 2020; 3535; 107107.

3. Recalculamos la media. xˉ=2289≈25,3333\bar{x} = \dfrac{228}{9} \approx 25{,}3333, o sea 7,77787{,}7778 minutos más que antes.

4. Recalculamos la mediana. El dato cambiado sigue siendo el más grande, así que el orden del resto no se altera y el quinto valor sigue siendo el mismo: Me=13Me = 13.

5. Comparamos cuánto se movió cada una. La media subió 7,77787{,}7778 y la mediana no se movió. La media usa el valor de todos los datos, así que un solo dato extremo la arrastra; a la mediana solo le importa la posición.

6. Cuándo conviene cada una. Con valores extremos, la mediana representa mejor al conjunto. Por eso los sueldos se informan con la mediana y no con el promedio.

Respuesta: La media pasa de 17,555617{,}5556 a 25,333325{,}3333 y la mediana se queda en 1313

7. Se registraron las notas del parcial y quedaron resumidos en esta tabla de valores: 1→131 \to 13 · 2→112 \to 11 · 3→193 \to 19 · 5→175 \to 17 · 6→116 \to 11. Calculá la media, la mediana y el modo a partir de la tabla.

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1. Calculamos el total de datos. n=13+11+19+17+11=71n = 13 + 11 + 19 + 17 + 11 = 71

2. La media se calcula pesando cada valor por su frecuencia. xˉ=∑xifin=1⋅13+2⋅11+3⋅19+5⋅17+6⋅1171=24371≈3,4225\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{1 \cdot 13 + 2 \cdot 11 + 3 \cdot 19 + 5 \cdot 17 + 6 \cdot 11}{71} = \dfrac{243}{71} \approx 3{,}4225

3. Para la mediana usamos la columna acumulada. F(1)=13F(1) = 13 · F(2)=24F(2) = 24 · F(3)=43F(3) = 43 · F(5)=60F(5) = 60 · F(6)=71F(6) = 71. Con n=71n = 71, que es impar, la mediana es el dato de la posición 3636.

4. Leemos la mediana en la acumulada. La primera acumulada que alcanza esa posición corresponde al valor 33, así que Me=3Me = 3.

5. El modo se lee directo. Es el valor con mayor frecuencia: 33, con 1919 casos.

6. El detalle que hace que esto sea exacto. La tabla lista valor por valor, sin agrupar en intervalos, así que no se pierde información: estas tres medidas son las mismas que saldrían con los datos sueltos.

Respuesta: xˉ=3,4225\bar{x} = 3{,}4225, Me=3Me = 3 y Mo=3Mo = 3

8. De los pedidos diarios de una sucursal se conocen 55 valores: 32;7;16;24;1132; 7; 16; 24; 11. Falta el último. Hallá qué valor tiene que tomar para que el promedio de los 66 dé exactamente 2323 pedidos.

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1. Escribimos la condición. xˉ=∑xin=23\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = 23, con n=6n = 6.

2. Despejamos la suma total. ∑xi=xˉ⋅n=23⋅6=138\sum x_i = \bar{x} \cdot n = 23 \cdot 6 = 138. Esta es la cuenta clave: fijar el promedio es fijar la suma.

3. Sumamos los valores conocidos. 32+7+16+24+11=9032 + 7 + 16 + 24 + 11 = 90

4. Despejamos el que falta. x=138−90=48x = 138 - 90 = 48

5. Verificamos. 90+486=1386=23\dfrac{90 + 48}{6} = \dfrac{138}{6} = 23, que es el promedio pedido.

Respuesta: El valor que falta es 4848 pedidos

9. Se registraron las edades de un grupo: 2222; 99; 1010; 1515; 88; 2222; 99; 1010; 99; 2222; 99. Calculá la media, la mediana y el modo.

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1. Calculamos la media sumando todo y dividiendo por la cantidad. xˉ=14511≈13,1818\bar{x} = \dfrac{145}{11} \approx 13{,}1818 años.

2. Para la mediana, primero ordenamos. 88; 99; 99; 99; 99; 1010; 1010; 1515; 2222; 2222; 2222. Sin ordenar, el valor del medio de la lista no es la mediana de nada.

3. Buscamos la posición central. Con n=11n = 11, que es impar, el dato central es el número 66: vale 1010.

4. Buscamos el modo. Es el valor que más se repite: 99 aparece 44 veces, más que cualquier otro.

5. Comparamos las tres. xˉ=13,1818\bar{x} = 13{,}1818, Me=10Me = 10 y Mo=9Mo = 9. Como la media supera a la mediana, hay datos altos tirando del promedio.

Respuesta: xˉ=13,1818\bar{x} = 13{,}1818, Me=10Me = 10 y Mo=9Mo = 9

10. Se registraron las notas del parcial: 88; 1010; 1212; 1313; 1414; 3131; 3333; 3434; 3838. Después se detecta que el valor más alto estaba mal anotado y en realidad era 9898. Recalculá la media y la mediana con la corrección y decidí cuál de las dos se movió más.

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1. Calculamos las dos medidas con los datos originales. xˉ=1939≈21,4444\bar{x} = \dfrac{193}{9} \approx 21{,}4444. Con n=9n = 9 datos ordenados, la mediana es el quinto: Me=14Me = 14.

2. Reemplazamos el dato. El conjunto pasa a ser 88; 1010; 1212; 1313; 1414; 3131; 3333; 3434; 9898.

3. Recalculamos la media. xˉ=2539≈28,1111\bar{x} = \dfrac{253}{9} \approx 28{,}1111, o sea 6,66676{,}6667 puntos más que antes.

4. Recalculamos la mediana. El dato cambiado sigue siendo el más grande, así que el orden del resto no se altera y el quinto valor sigue siendo el mismo: Me=14Me = 14.

5. Comparamos cuánto se movió cada una. La media subió 6,66676{,}6667 y la mediana no se movió. La media usa el valor de todos los datos, así que un solo dato extremo la arrastra; a la mediana solo le importa la posición.

6. Cuándo conviene cada una. Con valores extremos, la mediana representa mejor al conjunto. Por eso los sueldos se informan con la mediana y no con el promedio.

Respuesta: La media pasa de 21,444421{,}4444 a 28,111128{,}1111 y la mediana se queda en 1414

11. Se registraron los tiempos de atención en minutos y quedaron resumidos en esta tabla de valores: 0→100 \to 10 · 1→41 \to 4 · 5→75 \to 7 · 6→86 \to 8 · 7→97 \to 9. Calculá la media, la mediana y el modo a partir de la tabla.

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1. Calculamos el total de datos. n=10+4+7+8+9=38n = 10 + 4 + 7 + 8 + 9 = 38

2. La media se calcula pesando cada valor por su frecuencia. xˉ=∑xifin=0⋅10+1⋅4+5⋅7+6⋅8+7⋅938=15038≈3,9474\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{0 \cdot 10 + 1 \cdot 4 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 8 + 7 \cdot 9}{38} = \dfrac{150}{38} \approx 3{,}9474

3. Para la mediana usamos la columna acumulada. F(0)=10F(0) = 10 · F(1)=14F(1) = 14 · F(5)=21F(5) = 21 · F(6)=29F(6) = 29 · F(7)=38F(7) = 38. Con n=38n = 38, la mediana está entre las posiciones 1919 y 2020.

4. Leemos la mediana en la acumulada. La primera acumulada que alcanza esa posición corresponde al valor 55, así que Me=5Me = 5.

5. El modo se lee directo. Es el valor con mayor frecuencia: 00, con 1010 casos.

6. El detalle que hace que esto sea exacto. La tabla lista valor por valor, sin agrupar en intervalos, así que no se pierde información: estas tres medidas son las mismas que saldrían con los datos sueltos.

Respuesta: xˉ=3,9474\bar{x} = 3{,}9474, Me=5Me = 5 y Mo=0Mo = 0

12. De los goles por partido de un torneo se conocen 77 valores: 10;14;11;17;33;25;3210; 14; 11; 17; 33; 25; 32. Falta el último. Hallá qué valor tiene que tomar para que el promedio de los 88 dé exactamente 1818 goles.

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1. Escribimos la condición. xˉ=∑xin=18\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = 18, con n=8n = 8.

2. Despejamos la suma total. ∑xi=xˉ⋅n=18⋅8=144\sum x_i = \bar{x} \cdot n = 18 \cdot 8 = 144. Esta es la cuenta clave: fijar el promedio es fijar la suma.

3. Sumamos los valores conocidos. 10+14+11+17+33+25+32=14210 + 14 + 11 + 17 + 33 + 25 + 32 = 142

4. Despejamos el que falta. x=144−142=2x = 144 - 142 = 2

5. Verificamos. 142+28=1448=18\dfrac{142 + 2}{8} = \dfrac{144}{8} = 18, que es el promedio pedido.

Respuesta: El valor que falta es 22 goles

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