Ejercicios: La ojiva

1. Se agrupó el tiempo de espera en minutos en cinco clases: $[30; 35) \to 17$ · $[35; 40) \to 21$ · $[40; 45) \to 16$ · $[45; 50) \to 10$ · $[50; 55) \to 22$ . Calculá las frecuencias acumuladas y dá todos los puntos por los que pasa la ojiva.

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1. Calculamos las acumuladas. $F_1 = 17$ · $F_2 = 38$ · $F_3 = 54$ · $F_4 = 64$ · $F_5 = 86$ , con total $n = 86$ .

2. La ojiva se pincha sobre los límites superiores. Cada punto dice cuántos datos hay por debajo del final de esa clase. Por eso no se usan las marcas: la acumulada cuenta todo lo que hay hasta el final del intervalo.

3. Armamos los puntos de las clases. $(35; 17)$ · $(40; 38)$ · $(45; 54)$ · $(50; 64)$ · $(55; 86)$

4. Agregamos el punto inicial. Antes de la primera clase no hay ningún dato acumulado, así que la curva arranca en $(30; 0)$ .

5. Verificamos la forma. La ojiva nunca baja, porque cada valor se obtiene sumándole al anterior una frecuencia que no es negativa. Y termina en el total: $(55; 86)$ .

6. Diferencia con el polígono. El polígono se pincha sobre las marcas de clase y la ojiva sobre los límites superiores. Es la única diferencia de construcción, y cambia todo lo que se lee.

Respuesta: La ojiva pasa por $(30; 0)$ , $(35; 17)$ , $(40; 38)$ , $(45; 54)$ , $(50; 64)$ , $(55; 86)$

2. Sobre la ojiva de el tiempo de espera en minutos se quiere leer la mediana. Las clases y sus frecuencias son $[30; 35) \to 26$ · $[35; 40) \to 17$ · $[40; 45) \to 29$ · $[45; 50) \to 20$ · $[50; 55) \to 16$ . Estimá ese valor interpolando sobre la acumulada.

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1. Armamos la columna acumulada, que es lo que dibuja la ojiva. $(35; 26)$ · $(40; 43)$ · $(45; 72)$ · $(50; 92)$ · $(55; 108)$ , con $n = 108$ .

2. Calculamos la altura que hay que buscar en el eje vertical. Para la mediana se busca el $50\%$ de los datos: $\dfrac{50 \cdot 108}{100} = 54$ .

3. Ubicamos en qué clase corta la ojiva. La acumulada pasa de $43$ a $72$ dentro de $[40; 45)$ , así que el valor buscado está en esa clase.

4. Interpolamos dentro de la clase. La ojiva se dibuja recta entre los dos puntos, así que se reparte la subida en proporción al ancho: $x = L + a \cdot \dfrac{54 - 43}{29} = 40 + 5 \cdot \dfrac{11}{29} \approx 41{,}9$

5. Interpretamos el resultado. Aproximadamente el $50\%$ de las observaciones están por debajo de $41{,}9$ minutos.

6. Por qué es una estimación. Dentro de la clase no se sabe cómo están repartidos los datos. La interpolación supone que están parejos, y ese supuesto es lo único que permite leer un valor intermedio.

Respuesta: La mediana vale aproximadamente $41{,}9$ minutos

3. La ojiva de la edad de los socios en años se armó con estas clases: $[10; 20) \to 12$ · $[20; 30) \to 7$ · $[30; 40) \to 18$ · $[40; 50) \to 24$ · $[50; 60) \to 9$ . Estimá cuántas observaciones quedan por debajo de $29$ años y qué porcentaje representan.

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1. Armamos la acumulada. $F_1 = 12$ · $F_2 = 19$ · $F_3 = 37$ · $F_4 = 61$ · $F_5 = 70$ , con $n = 70$ .

2. Ubicamos el valor. $29$ cae dentro de $[20; 30)$ , que es una clase, no un límite. La tabla solo dice que hasta $20$ hay $12$ datos y hasta $30$ hay $19$ .

3. Vemos qué fracción de la clase quedó a la izquierda. $\dfrac{29 - 20}{10} = 0{,}9$ de la amplitud.

4. Interpolamos sobre la ojiva. $F(x) = 12 + 7 \cdot 0{,}9 = 18{,}3$ , o sea unas $18$ observaciones.

5. Pasamos a porcentaje. $\dfrac{18{,}3}{70} \approx 0{,}2614$ , es decir alrededor del $26{,}14\%$ .

6. El límite de esta lectura. El resultado es una estimación, porque supone que los datos de la clase están repartidos parejos. Con los datos sin agrupar se sabría el número exacto.

Respuesta: Quedan por debajo unas $18$ observaciones, alrededor del $26{,}14\%$

4. Alguien presenta esta ojiva de la demora de los envíos en días, dada por sus puntos: $(30; 10)$ · $(40; 22)$ · $(50; 18)$ · $(60; 59)$ · $(70; 70)$ . Decidí si puede ser correcta y justificá.

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1. Recordamos qué dibuja la ojiva. Frecuencias acumuladas: cada valor es el anterior más la frecuencia de la clase, y las frecuencias nunca son negativas.

2. Concluimos qué forma tiene que tener. La ojiva nunca puede bajar. A lo sumo se queda horizontal, si una clase quedó vacía.

3. Buscamos el punto que falla. Entre $(40; 22)$ y $(50; 18)$ la curva baja: $18 < 22$ .

4. Traducimos el defecto. Eso equivale a una frecuencia de $18 - 22 = -4$ en esa clase, y una frecuencia negativa no existe.

5. Qué hay que revisar. El error está en la columna acumulada, casi siempre por sumar mal o por acumular en desorden. Hay que rehacer las sumas desde las frecuencias absolutas.

Respuesta: No puede ser: la ojiva baja entre $40$ y $50$ , lo que implicaría una frecuencia negativa

5. Se agrupó el gasto semanal en miles de pesos en cinco clases: $[10; 15) \to 22$ · $[15; 20) \to 19$ · $[20; 25) \to 16$ · $[25; 30) \to 20$ · $[30; 35) \to 25$ . Calculá las frecuencias acumuladas y dá todos los puntos por los que pasa la ojiva.

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1. Calculamos las acumuladas. $F_1 = 22$ · $F_2 = 41$ · $F_3 = 57$ · $F_4 = 77$ · $F_5 = 102$ , con total $n = 102$ .

2. La ojiva se pincha sobre los límites superiores. Cada punto dice cuántos datos hay por debajo del final de esa clase. Por eso no se usan las marcas: la acumulada cuenta todo lo que hay hasta el final del intervalo.

3. Armamos los puntos de las clases. $(15; 22)$ · $(20; 41)$ · $(25; 57)$ · $(30; 77)$ · $(35; 102)$

4. Agregamos el punto inicial. Antes de la primera clase no hay ningún dato acumulado, así que la curva arranca en $(10; 0)$ .

5. Verificamos la forma. La ojiva nunca baja, porque cada valor se obtiene sumándole al anterior una frecuencia que no es negativa. Y termina en el total: $(35; 102)$ .

6. Diferencia con el polígono. El polígono se pincha sobre las marcas de clase y la ojiva sobre los límites superiores. Es la única diferencia de construcción, y cambia todo lo que se lee.

Respuesta: La ojiva pasa por $(10; 0)$ , $(15; 22)$ , $(20; 41)$ , $(25; 57)$ , $(30; 77)$ , $(35; 102)$

6. Sobre la ojiva de la demora de los envíos en días se quiere leer la mediana. Las clases y sus frecuencias son $[30; 40) \to 14$ · $[40; 50) \to 14$ · $[50; 60) \to 24$ · $[60; 70) \to 10$ · $[70; 80) \to 23$ . Estimá ese valor interpolando sobre la acumulada.

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1. Armamos la columna acumulada, que es lo que dibuja la ojiva. $(40; 14)$ · $(50; 28)$ · $(60; 52)$ · $(70; 62)$ · $(80; 85)$ , con $n = 85$ .

2. Calculamos la altura que hay que buscar en el eje vertical. Para la mediana se busca el $50\%$ de los datos: $\dfrac{50 \cdot 85}{100} = 42{,}5$ .

3. Ubicamos en qué clase corta la ojiva. La acumulada pasa de $28$ a $52$ dentro de $[50; 60)$ , así que el valor buscado está en esa clase.

4. Interpolamos dentro de la clase. La ojiva se dibuja recta entre los dos puntos, así que se reparte la subida en proporción al ancho: $x = L + a \cdot \dfrac{42{,}5 - 28}{24} = 50 + 10 \cdot \dfrac{14{,}5}{24} \approx 56{,}04$

5. Interpretamos el resultado. Aproximadamente el $50\%$ de las observaciones están por debajo de $56{,}04$ días.

6. Por qué es una estimación. Dentro de la clase no se sabe cómo están repartidos los datos. La interpolación supone que están parejos, y ese supuesto es lo único que permite leer un valor intermedio.

Respuesta: La mediana vale aproximadamente $56{,}04$ días

7. La ojiva de el tiempo de espera en minutos se armó con estas clases: $[20; 25) \to 17$ · $[25; 30) \to 29$ · $[30; 35) \to 9$ · $[35; 40) \to 15$ · $[40; 45) \to 29$ . Estimá cuántas observaciones quedan por debajo de $32$ minutos y qué porcentaje representan.

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1. Armamos la acumulada. $F_1 = 17$ · $F_2 = 46$ · $F_3 = 55$ · $F_4 = 70$ · $F_5 = 99$ , con $n = 99$ .

2. Ubicamos el valor. $32$ cae dentro de $[30; 35)$ , que es una clase, no un límite. La tabla solo dice que hasta $30$ hay $46$ datos y hasta $35$ hay $55$ .

3. Vemos qué fracción de la clase quedó a la izquierda. $\dfrac{32 - 30}{5} = 0{,}4$ de la amplitud.

4. Interpolamos sobre la ojiva. $F(x) = 46 + 9 \cdot 0{,}4 = 49{,}6$ , o sea unas $50$ observaciones.

5. Pasamos a porcentaje. $\dfrac{49{,}6}{99} \approx 0{,}501$ , es decir alrededor del $50{,}1\%$ .

6. El límite de esta lectura. El resultado es una estimación, porque supone que los datos de la clase están repartidos parejos. Con los datos sin agrupar se sabría el número exacto.

Respuesta: Quedan por debajo unas $50$ observaciones, alrededor del $50{,}1\%$

8. Para la edad de los socios en años agrupado en $[20; 25) \to 20$ · $[25; 30) \to 21$ · $[30; 35) \to 16$ · $[35; 40) \to 30$ · $[40; 45) \to 23$ , alguien trazó la ojiva sobre los puntos $(22{,}5; 20)$ · $(27{,}5; 41)$ · $(32{,}5; 57)$ · $(37{,}5; 87)$ · $(42{,}5; 110)$ . Decidí si está bien trazada, calculá el corrimiento y dá los puntos correctos.

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1. Vemos qué abscisas se usaron. Son $22{,}5$ , $27{,}5$ , $32{,}5$ , $37{,}5$ , $42{,}5$ , que son las marcas de clase, o sea los puntos medios.

2. Recordamos la regla de la ojiva. Se pincha sobre los límites superiores, porque la acumulada cuenta todos los datos hasta el final de la clase, no hasta su punto medio.

3. Medimos el corrimiento. $25 - 22{,}5 = 2{,}5$ , y lo mismo en todas: la curva quedó corrida media clase, $2{,}5$ años, hacia la izquierda.

4. Damos los puntos correctos. $(20; 0)$ · $(25; 20)$ · $(30; 41)$ · $(35; 57)$ · $(40; 87)$ · $(45; 110)$

5. Qué se arruina con el error. Toda posición leída sobre la curva, mediana o percentiles, sale desplazada media clase.

Respuesta: Está mal: se pinchó sobre las marcas y quedó corrida $2{,}5$ años. Va sobre los límites superiores, empezando en $(20; 0)$

9. Se agrupó la demora de los envíos en días en cinco clases: $[20; 30) \to 24$ · $[30; 40) \to 26$ · $[40; 50) \to 25$ · $[50; 60) \to 29$ · $[60; 70) \to 12$ . Calculá las frecuencias acumuladas y dá todos los puntos por los que pasa la ojiva.

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1. Calculamos las acumuladas. $F_1 = 24$ · $F_2 = 50$ · $F_3 = 75$ · $F_4 = 104$ · $F_5 = 116$ , con total $n = 116$ .

2. La ojiva se pincha sobre los límites superiores. Cada punto dice cuántos datos hay por debajo del final de esa clase. Por eso no se usan las marcas: la acumulada cuenta todo lo que hay hasta el final del intervalo.

3. Armamos los puntos de las clases. $(30; 24)$ · $(40; 50)$ · $(50; 75)$ · $(60; 104)$ · $(70; 116)$

4. Agregamos el punto inicial. Antes de la primera clase no hay ningún dato acumulado, así que la curva arranca en $(20; 0)$ .

5. Verificamos la forma. La ojiva nunca baja, porque cada valor se obtiene sumándole al anterior una frecuencia que no es negativa. Y termina en el total: $(70; 116)$ .

6. Diferencia con el polígono. El polígono se pincha sobre las marcas de clase y la ojiva sobre los límites superiores. Es la única diferencia de construcción, y cambia todo lo que se lee.

Respuesta: La ojiva pasa por $(20; 0)$ , $(30; 24)$ , $(40; 50)$ , $(50; 75)$ , $(60; 104)$ , $(70; 116)$

10. Sobre la ojiva de el gasto semanal en miles de pesos se quiere leer la mediana. Las clases y sus frecuencias son $[30; 40) \to 13$ · $[40; 50) \to 26$ · $[50; 60) \to 26$ · $[60; 70) \to 12$ · $[70; 80) \to 10$ . Estimá ese valor interpolando sobre la acumulada.

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1. Armamos la columna acumulada, que es lo que dibuja la ojiva. $(40; 13)$ · $(50; 39)$ · $(60; 65)$ · $(70; 77)$ · $(80; 87)$ , con $n = 87$ .

2. Calculamos la altura que hay que buscar en el eje vertical. Para la mediana se busca el $50\%$ de los datos: $\dfrac{50 \cdot 87}{100} = 43{,}5$ .

3. Ubicamos en qué clase corta la ojiva. La acumulada pasa de $39$ a $65$ dentro de $[50; 60)$ , así que el valor buscado está en esa clase.

4. Interpolamos dentro de la clase. La ojiva se dibuja recta entre los dos puntos, así que se reparte la subida en proporción al ancho: $x = L + a \cdot \dfrac{43{,}5 - 39}{26} = 50 + 10 \cdot \dfrac{4{,}5}{26} \approx 51{,}73$

5. Interpretamos el resultado. Aproximadamente el $50\%$ de las observaciones están por debajo de $51{,}73$ miles de pesos.

6. Por qué es una estimación. Dentro de la clase no se sabe cómo están repartidos los datos. La interpolación supone que están parejos, y ese supuesto es lo único que permite leer un valor intermedio.

Respuesta: La mediana vale aproximadamente $51{,}73$ miles de pesos

11. La ojiva de la demora de los envíos en días se armó con estas clases: $[30; 35) \to 27$ · $[35; 40) \to 9$ · $[40; 45) \to 14$ · $[45; 50) \to 9$ · $[50; 55) \to 14$ . Estimá cuántas observaciones quedan por debajo de $47$ días y qué porcentaje representan.

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1. Armamos la acumulada. $F_1 = 27$ · $F_2 = 36$ · $F_3 = 50$ · $F_4 = 59$ · $F_5 = 73$ , con $n = 73$ .

2. Ubicamos el valor. $47$ cae dentro de $[45; 50)$ , que es una clase, no un límite. La tabla solo dice que hasta $45$ hay $50$ datos y hasta $50$ hay $59$ .

3. Vemos qué fracción de la clase quedó a la izquierda. $\dfrac{47 - 45}{5} = 0{,}4$ de la amplitud.

4. Interpolamos sobre la ojiva. $F(x) = 50 + 9 \cdot 0{,}4 = 53{,}6$ , o sea unas $54$ observaciones.

5. Pasamos a porcentaje. $\dfrac{53{,}6}{73} \approx 0{,}7342$ , es decir alrededor del $73{,}42\%$ .

6. El límite de esta lectura. El resultado es una estimación, porque supone que los datos de la clase están repartidos parejos. Con los datos sin agrupar se sabría el número exacto.

Respuesta: Quedan por debajo unas $54$ observaciones, alrededor del $73{,}42\%$

12. Alguien presenta esta ojiva de el gasto semanal en miles de pesos, dada por sus puntos: $(30; 25)$ · $(40; 45)$ · $(50; 41)$ · $(60; 82)$ · $(70; 104)$ . Decidí si puede ser correcta y justificá.

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1. Recordamos qué dibuja la ojiva. Frecuencias acumuladas: cada valor es el anterior más la frecuencia de la clase, y las frecuencias nunca son negativas.

2. Concluimos qué forma tiene que tener. La ojiva nunca puede bajar. A lo sumo se queda horizontal, si una clase quedó vacía.

3. Buscamos el punto que falla. Entre $(40; 45)$ y $(50; 41)$ la curva baja: $41 < 45$ .

4. Traducimos el defecto. Eso equivale a una frecuencia de $41 - 45 = -4$ en esa clase, y una frecuencia negativa no existe.

5. Qué hay que revisar. El error está en la columna acumulada, casi siempre por sumar mal o por acumular en desorden. Hay que rehacer las sumas desde las frecuencias absolutas.

Respuesta: No puede ser: la ojiva baja entre $40$ y $50$ , lo que implicaría una frecuencia negativa