Ejercicios: El polígono de frecuencias

1. Se agrupó la demora de los envíos en días en cuatro clases: $[20; 30) \to 5$ · $[30; 40) \to 19$ · $[40; 50) \to 17$ · $[50; 60) \to 8$ . Dá todos los puntos por los que pasa el polígono de frecuencias, incluidos los de cierre.

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1. El polígono se pincha sobre las marcas de clase. Cada punto tiene por abscisa la marca de clase y por ordenada la frecuencia de esa clase. No se usan los límites: ese es el error más común.

2. Calculamos las marcas. $\dfrac{20 + 30}{2} = 25$ · $\dfrac{30 + 40}{2} = 35$ · $\dfrac{40 + 50}{2} = 45$ · $\dfrac{50 + 60}{2} = 55$

3. Armamos los puntos de las clases. $(25; 5)$ · $(35; 19)$ · $(45; 17)$ · $(55; 8)$

4. Agregamos los dos puntos de cierre. Se suma una clase vacía a cada lado, separada una amplitud de la marca vecina: $(15; 0)$ antes de la primera y $(65; 0)$ después de la última.

5. Por qué hay que cerrar. Con los dos extremos apoyados en el eje, el área encerrada por el polígono coincide con la del histograma. Sin ellos, cualquier área o porcentaje calculado sobre la figura sale mal. El total sigue siendo $n = 49$ .

Respuesta: El polígono pasa por $(15; 0)$ , $(25; 5)$ , $(35; 19)$ , $(45; 17)$ , $(55; 8)$ , $(65; 0)$

2. Se agrupó el consumo mensual en kilovatios hora en cuatro clases de amplitud $5$ : $[20; 25) \to 12$ · $[25; 30) \to 17$ · $[30; 35) \to 14$ · $[35; 40) \to 25$ . Calculá el área del histograma y verificá que el polígono de frecuencias, cerrado en los extremos, encierra la misma área.

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1. Calculamos el área del histograma. Cada barra tiene base la amplitud y altura la frecuencia, así que su área es $a \cdot f_i$ : $5 \cdot 12 = 60$ · $5 \cdot 17 = 85$ · $5 \cdot 14 = 70$ · $5 \cdot 25 = 125$ .

2. Sumamos. $A = 60 + 85 + 70 + 125 = 340$ . Sacando factor común, $A = a \cdot n = 5 \cdot 68 = 340$ .

3. Vemos qué hace el polígono en cada barra. La línea pasa por el punto medio del techo de cada barra. A cada lado deja afuera un triángulo y mete adentro otro del mismo tamaño, porque los segmentos son rectos y los cortes ocurren a media distancia entre marcas.

4. Concluimos sobre el área. Lo que el polígono saca de una barra se lo agrega a la vecina, así que el área total no cambia: también vale $340$ .

5. Dónde entran los puntos de cierre. Los triángulos de los extremos solo se compensan si el polígono baja hasta cero antes de la primera clase y después de la última. Sin esos dos puntos, la figura queda abierta y el área ya no coincide.

Respuesta: El área es $A = a \cdot n = 5 \cdot 68 = 340$ , la misma en el histograma y en el polígono cerrado

3. Se midió la demora en minutos en dos turnos, con las mismas clases en los dos casos. En el turno mañana: $[10; 20) \to 29$ · $[20; 30) \to 11$ · $[30; 40) \to 9$ · $[40; 50) \to 26$ . En el turno noche: $[10; 20) \to 25$ · $[20; 30) \to 16$ · $[30; 40) \to 26$ · $[40; 50) \to 10$ . Los dos polígonos se dibujan superpuestos. Indicá en qué clases uno queda por encima del otro y qué significa.

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1. Vemos por qué se pueden superponer. Las clases son las mismas en los dos grupos, así que los dos polígonos se pinchan sobre las mismas marcas: $15$ · $25$ · $35$ · $45$ . Dos histogramas superpuestos se taparían; dos líneas se cruzan y se siguen distinguiendo.

2. Comparamos clase por clase. $[10; 20)$ : $29$ contra $25$ · $[20; 30)$ : $11$ contra $16$ · $[30; 40)$ : $9$ contra $26$ · $[40; 50)$ : $26$ contra $10$

3. Marcamos dónde queda arriba el turno mañana. En $[10; 20)$ , $[40; 50)$ .

4. Marcamos dónde queda arriba el turno noche. En $[20; 30)$ , $[30; 40)$ .

5. Interpretamos. Calculando la media aproximada con las marcas, el turno mañana da $29{,}27$ y el turno noche da $27{,}73$ : el turno mañana está corrido hacia los valores más altos. Que un polígono esté por encima en una clase significa que ese grupo tiene más casos en ese tramo, no que sea más grande en total.

6. El cuidado que hay que tener. Si los dos grupos tienen distinta cantidad de datos, hay que comparar con frecuencias relativas. Con absolutas, el grupo más numeroso queda arriba en casi todas las clases y la comparación no dice nada.

Respuesta: El turno mañana queda arriba en $[10; 20)$ , $[40; 50)$ ; el turno noche en $[20; 30)$ , $[30; 40)$ . La media aproximada es mayor en el turno mañana

4. Para la demora de los envíos en días agrupado en las clases $[25; 29) \to 11$ · $[29; 33) \to 18$ · $[33; 37) \to 19$ · $[37; 41) \to 7$ , alguien trazó el polígono de frecuencias sobre los puntos $(29; 11)$ · $(33; 18)$ · $(37; 19)$ · $(41; 7)$ . Decidí si está bien trazado, calculá cuánto se corrió el trazado y dá los puntos correctos.

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1. Vemos sobre qué se pincharon los puntos. Las abscisas usadas son $29; 33; 37; 41$ , que son los límites superiores de cada clase.

2. Recordamos la regla del polígono. El polígono se traza sobre las marcas de clase, que son los puntos medios. Los límites superiores son para la ojiva, que es otro gráfico.

3. Calculamos las marcas correctas. $\dfrac{25 + 29}{2} = 27$ · $\dfrac{29 + 33}{2} = 31$ · $\dfrac{33 + 37}{2} = 35$ · $\dfrac{37 + 41}{2} = 39$

4. Medimos el corrimiento. $29 - 27 = 2$ , y lo mismo en todas: el trazado quedó corrido media amplitud, $2$ días, hacia la derecha.

5. Damos los puntos correctos. $(27; 11)$ · $(31; 18)$ · $(35; 19)$ · $(39; 7)$ , más los dos de cierre en $(23; 0)$ y $(43; 0)$ .

6. Qué consecuencias tiene el error. Toda lectura hecha sobre esa figura, como estimar dónde está el centro de la distribución, sale desplazada media clase.

Respuesta: Está mal: se pinchó sobre los límites y quedó corrido $2$ días. Los puntos correctos son $(27; 11)$ · $(31; 18)$ · $(35; 19)$ · $(39; 7)$

5. Se agrupó la altura de las plantas en centímetros en cuatro clases: $[30; 34) \to 33$ · $[34; 38) \to 28$ · $[38; 42) \to 25$ · $[42; 46) \to 21$ . Dá todos los puntos por los que pasa el polígono de frecuencias, incluidos los de cierre.

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1. El polígono se pincha sobre las marcas de clase. Cada punto tiene por abscisa la marca de clase y por ordenada la frecuencia de esa clase. No se usan los límites: ese es el error más común.

2. Calculamos las marcas. $\dfrac{30 + 34}{2} = 32$ · $\dfrac{34 + 38}{2} = 36$ · $\dfrac{38 + 42}{2} = 40$ · $\dfrac{42 + 46}{2} = 44$

3. Armamos los puntos de las clases. $(32; 33)$ · $(36; 28)$ · $(40; 25)$ · $(44; 21)$

4. Agregamos los dos puntos de cierre. Se suma una clase vacía a cada lado, separada una amplitud de la marca vecina: $(28; 0)$ antes de la primera y $(48; 0)$ después de la última.

5. Por qué hay que cerrar. Con los dos extremos apoyados en el eje, el área encerrada por el polígono coincide con la del histograma. Sin ellos, cualquier área o porcentaje calculado sobre la figura sale mal. El total sigue siendo $n = 107$ .

Respuesta: El polígono pasa por $(28; 0)$ , $(32; 33)$ , $(36; 28)$ , $(40; 25)$ , $(44; 21)$ , $(48; 0)$

6. Se agrupó el tiempo de atención en minutos en cuatro clases de amplitud $5$ : $[30; 35) \to 24$ · $[35; 40) \to 6$ · $[40; 45) \to 25$ · $[45; 50) \to 9$ . Calculá el área del histograma y verificá que el polígono de frecuencias, cerrado en los extremos, encierra la misma área.

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1. Calculamos el área del histograma. Cada barra tiene base la amplitud y altura la frecuencia, así que su área es $a \cdot f_i$ : $5 \cdot 24 = 120$ · $5 \cdot 6 = 30$ · $5 \cdot 25 = 125$ · $5 \cdot 9 = 45$ .

2. Sumamos. $A = 120 + 30 + 125 + 45 = 320$ . Sacando factor común, $A = a \cdot n = 5 \cdot 64 = 320$ .

3. Vemos qué hace el polígono en cada barra. La línea pasa por el punto medio del techo de cada barra. A cada lado deja afuera un triángulo y mete adentro otro del mismo tamaño, porque los segmentos son rectos y los cortes ocurren a media distancia entre marcas.

4. Concluimos sobre el área. Lo que el polígono saca de una barra se lo agrega a la vecina, así que el área total no cambia: también vale $320$ .

5. Dónde entran los puntos de cierre. Los triángulos de los extremos solo se compensan si el polígono baja hasta cero antes de la primera clase y después de la última. Sin esos dos puntos, la figura queda abierta y el área ya no coincide.

Respuesta: El área es $A = a \cdot n = 5 \cdot 64 = 320$ , la misma en el histograma y en el polígono cerrado

7. Se midió el consumo en kWh en dos meses, con las mismas clases en los dos casos. En marzo: $[0; 5) \to 23$ · $[5; 10) \to 13$ · $[10; 15) \to 27$ · $[15; 20) \to 16$ . En septiembre: $[0; 5) \to 17$ · $[5; 10) \to 29$ · $[10; 15) \to 7$ · $[15; 20) \to 8$ . Los dos polígonos se dibujan superpuestos. Indicá en qué clases uno queda por encima del otro y qué significa.

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1. Vemos por qué se pueden superponer. Las clases son las mismas en los dos grupos, así que los dos polígonos se pinchan sobre las mismas marcas: $2{,}5$ · $7{,}5$ · $12{,}5$ · $17{,}5$ . Dos histogramas superpuestos se taparían; dos líneas se cruzan y se siguen distinguiendo.

2. Comparamos clase por clase. $[0; 5)$ : $23$ contra $17$ · $[5; 10)$ : $13$ contra $29$ · $[10; 15)$ : $27$ contra $7$ · $[15; 20)$ : $16$ contra $8$

3. Marcamos dónde queda arriba marzo. En $[0; 5)$ , $[10; 15)$ , $[15; 20)$ .

4. Marcamos dónde queda arriba septiembre. En $[5; 10)$ .

5. Interpretamos. Calculando la media aproximada con las marcas, marzo da $9{,}78$ y septiembre da $7{,}99$ : marzo está corrido hacia los valores más altos. Que un polígono esté por encima en una clase significa que ese grupo tiene más casos en ese tramo, no que sea más grande en total.

6. El cuidado que hay que tener. Si los dos grupos tienen distinta cantidad de datos, hay que comparar con frecuencias relativas. Con absolutas, el grupo más numeroso queda arriba en casi todas las clases y la comparación no dice nada.

Respuesta: Marzo queda arriba en $[0; 5)$ , $[10; 15)$ , $[15; 20)$ ; septiembre en $[5; 10)$ . La media aproximada es mayor en marzo

8. Para el consumo mensual en kilovatios hora agrupado en las clases $[30; 34) \to 11$ · $[34; 38) \to 9$ · $[38; 42) \to 14$ · $[42; 46) \to 6$ , alguien trazó el polígono de frecuencias sobre los puntos $(34; 11)$ · $(38; 9)$ · $(42; 14)$ · $(46; 6)$ . Decidí si está bien trazado, calculá cuánto se corrió el trazado y dá los puntos correctos.

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1. Vemos sobre qué se pincharon los puntos. Las abscisas usadas son $34; 38; 42; 46$ , que son los límites superiores de cada clase.

2. Recordamos la regla del polígono. El polígono se traza sobre las marcas de clase, que son los puntos medios. Los límites superiores son para la ojiva, que es otro gráfico.

3. Calculamos las marcas correctas. $\dfrac{30 + 34}{2} = 32$ · $\dfrac{34 + 38}{2} = 36$ · $\dfrac{38 + 42}{2} = 40$ · $\dfrac{42 + 46}{2} = 44$

4. Medimos el corrimiento. $34 - 32 = 2$ , y lo mismo en todas: el trazado quedó corrido media amplitud, $2$ kWh, hacia la derecha.

5. Damos los puntos correctos. $(32; 11)$ · $(36; 9)$ · $(40; 14)$ · $(44; 6)$ , más los dos de cierre en $(28; 0)$ y $(48; 0)$ .

6. Qué consecuencias tiene el error. Toda lectura hecha sobre esa figura, como estimar dónde está el centro de la distribución, sale desplazada media clase.

Respuesta: Está mal: se pinchó sobre los límites y quedó corrido $2$ kWh. Los puntos correctos son $(32; 11)$ · $(36; 9)$ · $(40; 14)$ · $(44; 6)$

9. Se agrupó el consumo mensual en kilovatios hora en cuatro clases: $[30; 34) \to 14$ · $[34; 38) \to 19$ · $[38; 42) \to 8$ · $[42; 46) \to 33$ . Dá todos los puntos por los que pasa el polígono de frecuencias, incluidos los de cierre.

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1. El polígono se pincha sobre las marcas de clase. Cada punto tiene por abscisa la marca de clase y por ordenada la frecuencia de esa clase. No se usan los límites: ese es el error más común.

2. Calculamos las marcas. $\dfrac{30 + 34}{2} = 32$ · $\dfrac{34 + 38}{2} = 36$ · $\dfrac{38 + 42}{2} = 40$ · $\dfrac{42 + 46}{2} = 44$

3. Armamos los puntos de las clases. $(32; 14)$ · $(36; 19)$ · $(40; 8)$ · $(44; 33)$

4. Agregamos los dos puntos de cierre. Se suma una clase vacía a cada lado, separada una amplitud de la marca vecina: $(28; 0)$ antes de la primera y $(48; 0)$ después de la última.

5. Por qué hay que cerrar. Con los dos extremos apoyados en el eje, el área encerrada por el polígono coincide con la del histograma. Sin ellos, cualquier área o porcentaje calculado sobre la figura sale mal. El total sigue siendo $n = 74$ .

Respuesta: El polígono pasa por $(28; 0)$ , $(32; 14)$ , $(36; 19)$ , $(40; 8)$ , $(44; 33)$ , $(48; 0)$

10. Se agrupó la demora de los envíos en días en cuatro clases de amplitud $20$ : $[20; 40) \to 11$ · $[40; 60) \to 15$ · $[60; 80) \to 6$ · $[80; 100) \to 14$ . Calculá el área del histograma y verificá que el polígono de frecuencias, cerrado en los extremos, encierra la misma área.

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1. Calculamos el área del histograma. Cada barra tiene base la amplitud y altura la frecuencia, así que su área es $a \cdot f_i$ : $20 \cdot 11 = 220$ · $20 \cdot 15 = 300$ · $20 \cdot 6 = 120$ · $20 \cdot 14 = 280$ .

2. Sumamos. $A = 220 + 300 + 120 + 280 = 920$ . Sacando factor común, $A = a \cdot n = 20 \cdot 46 = 920$ .

3. Vemos qué hace el polígono en cada barra. La línea pasa por el punto medio del techo de cada barra. A cada lado deja afuera un triángulo y mete adentro otro del mismo tamaño, porque los segmentos son rectos y los cortes ocurren a media distancia entre marcas.

4. Concluimos sobre el área. Lo que el polígono saca de una barra se lo agrega a la vecina, así que el área total no cambia: también vale $920$ .

5. Dónde entran los puntos de cierre. Los triángulos de los extremos solo se compensan si el polígono baja hasta cero antes de la primera clase y después de la última. Sin esos dos puntos, la figura queda abierta y el área ya no coincide.

Respuesta: El área es $A = a \cdot n = 20 \cdot 46 = 920$ , la misma en el histograma y en el polígono cerrado

11. Se midió el tiempo de atención en minutos en dos sucursales, con las mismas clases en los dos casos. En la sucursal centro: $[0; 5) \to 9$ · $[5; 10) \to 8$ · $[10; 15) \to 15$ · $[15; 20) \to 11$ . En la sucursal norte: $[0; 5) \to 17$ · $[5; 10) \to 18$ · $[10; 15) \to 23$ · $[15; 20) \to 15$ . Los dos polígonos se dibujan superpuestos. Indicá en qué clases uno queda por encima del otro y qué significa.

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1. Vemos por qué se pueden superponer. Las clases son las mismas en los dos grupos, así que los dos polígonos se pinchan sobre las mismas marcas: $2{,}5$ · $7{,}5$ · $12{,}5$ · $17{,}5$ . Dos histogramas superpuestos se taparían; dos líneas se cruzan y se siguen distinguiendo.

2. Comparamos clase por clase. $[0; 5)$ : $9$ contra $17$ · $[5; 10)$ : $8$ contra $18$ · $[10; 15)$ : $15$ contra $23$ · $[15; 20)$ : $11$ contra $15$

3. Marcamos dónde queda arriba la sucursal centro. En ninguna clase.

4. Marcamos dónde queda arriba la sucursal norte. En $[0; 5)$ , $[5; 10)$ , $[10; 15)$ , $[15; 20)$ .

5. Interpretamos. Calculando la media aproximada con las marcas, la sucursal centro da $10{,}76$ y la sucursal norte da $9{,}97$ : la sucursal centro está corrido hacia los valores más altos. Que un polígono esté por encima en una clase significa que ese grupo tiene más casos en ese tramo, no que sea más grande en total.

6. El cuidado que hay que tener. Si los dos grupos tienen distinta cantidad de datos, hay que comparar con frecuencias relativas. Con absolutas, el grupo más numeroso queda arriba en casi todas las clases y la comparación no dice nada.

Respuesta: La sucursal centro no queda arriba en ninguna clase; la sucursal norte en $[0; 5)$ , $[5; 10)$ , $[10; 15)$ , $[15; 20)$ . La media aproximada es mayor en la sucursal centro

12. Para el tiempo de atención en minutos agrupado en las clases $[30; 34) \to 25$ · $[34; 38) \to 10$ · $[38; 42) \to 22$ · $[42; 46) \to 24$ , alguien trazó el polígono de frecuencias sobre los puntos $(34; 25)$ · $(38; 10)$ · $(42; 22)$ · $(46; 24)$ . Decidí si está bien trazado, calculá cuánto se corrió el trazado y dá los puntos correctos.

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1. Vemos sobre qué se pincharon los puntos. Las abscisas usadas son $34; 38; 42; 46$ , que son los límites superiores de cada clase.

2. Recordamos la regla del polígono. El polígono se traza sobre las marcas de clase, que son los puntos medios. Los límites superiores son para la ojiva, que es otro gráfico.

3. Calculamos las marcas correctas. $\dfrac{30 + 34}{2} = 32$ · $\dfrac{34 + 38}{2} = 36$ · $\dfrac{38 + 42}{2} = 40$ · $\dfrac{42 + 46}{2} = 44$

4. Medimos el corrimiento. $34 - 32 = 2$ , y lo mismo en todas: el trazado quedó corrido media amplitud, $2$ minutos, hacia la derecha.

5. Damos los puntos correctos. $(32; 25)$ · $(36; 10)$ · $(40; 22)$ · $(44; 24)$ , más los dos de cierre en $(28; 0)$ y $(48; 0)$ .

6. Qué consecuencias tiene el error. Toda lectura hecha sobre esa figura, como estimar dónde está el centro de la distribución, sale desplazada media clase.

Respuesta: Está mal: se pinchó sobre los límites y quedó corrido $2$ minutos. Los puntos correctos son $(32; 25)$ · $(36; 10)$ · $(40; 22)$ · $(44; 24)$