Ejercicios: El histograma

1. Se agrupó el tiempo de espera en minutos en cinco clases de igual amplitud: $[35; 40) \to 23$ · $[40; 45) \to 26$ · $[45; 50) \to 33$ · $[50; 55) \to 17$ · $[55; 60) \to 7$ . Dá la base y la altura de cada barra del histograma y verificá que las clases sean contiguas.

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1. Calculamos la amplitud de las clases. $a = 40 - 35 = 5$ minutos, y es la misma en las cinco. Esa es la base de cada barra.

2. Con clases de igual amplitud, la altura es la frecuencia. $[35; 40)$ : altura $23$ · $[40; 45)$ : altura $26$ · $[45; 50)$ : altura $33$ · $[50; 55)$ : altura $17$ · $[55; 60)$ : altura $7$

3. Verificamos que las clases sean contiguas. El límite superior de cada una es el inferior de la siguiente: $40$ , $45$ , $50$ , $55$ . Por eso las barras van pegadas: entre el final de una clase y el comienzo de la otra no hay hueco.

4. Verificamos el total. $23 + 26 + 33 + 17 + 7 = 106$ observaciones.

5. Leemos el gráfico. La barra más alta es la de $[45; 50)$ , con $33$ datos, que son el $31{,}13\%$ del total.

6. El detalle que no es estético. Dejar espacio entre las barras convierte una variable continua en categorías y contradice el motivo por el que se armaron intervalos.

Respuesta: Base $5$ minutos en las cinco. Alturas: $23$ ; $26$ ; $33$ ; $17$ ; $7$ . Total $n = 106$

2. Se agrupó la duración de las baterías en horas en cuatro clases de distinta amplitud: $[10; 14) \to 30$ · $[14; 16) \to 24$ · $[16; 26) \to 40$ · $[26; 31) \to 32$ . Calculá la altura que corresponde a cada barra del histograma y decidí qué clase se ve más alta.

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1. Calculamos la amplitud de cada clase. $[10; 14)$ : $a_1 = 4$ · $[14; 16)$ : $a_2 = 2$ · $[16; 26)$ : $a_3 = 10$ · $[26; 31)$ : $a_4 = 5$ . No son iguales, así que la altura no puede ser la frecuencia.

2. Recordamos la regla. Con anchos distintos, lo que representa la frecuencia es el área de la barra, no su altura. Como el área es base por altura, la altura tiene que ser la frecuencia dividida por la amplitud.

3. Calculamos la densidad de frecuencia de cada clase. $\dfrac{30}{4} = 7{,}5$ · $\dfrac{24}{2} = 12$ · $\dfrac{40}{10} = 4$ · $\dfrac{32}{5} = 6{,}4$ , en datos por unidad de horas.

4. Vemos qué clase queda más alta. Con las densidades, la barra más alta es la de $[14; 16)$ , con $12$ . Si se hubiera usado la frecuencia como altura, la más alta habría parecido la de $[16; 26)$ , con $40$ datos.

5. Verificamos que las áreas devuelvan las frecuencias. $7{,}5 \cdot 4 = 30$ · $12 \cdot 2 = 24$ · $4 \cdot 10 = 40$ · $6{,}4 \cdot 5 = 32$ , y suman $n = 126$ .

6. Por qué importa. Una clase ancha junta muchos datos solo por ser ancha. Usar la frecuencia como altura hace que parezca que ahí se concentran, cuando en realidad están más desparramados.

Respuesta: Alturas (densidades): $7{,}5$ ; $12$ ; $4$ ; $6{,}4$ . La más alta es $[14; 16)$

3. En un histograma de el gasto mensual en miles de pesos con clases de distinta amplitud, las alturas dibujadas son las densidades de frecuencia: $[0; 5) \to 6{,}4$ · $[5; 7) \to 8$ · $[7; 11) \to 5$ · $[11; 19) \to 5{,}5$ . Calculá qué proporción del área total corresponde al tramo $[5; 11)$ y cuántos datos hay ahí.

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1. Recordamos qué significa el área en un histograma. El área de cada barra es base por altura, y con la densidad como altura ese producto devuelve la frecuencia de la clase. Por eso el área es la cantidad de datos.

2. Calculamos el área de cada barra. $6{,}4 \cdot 5 = 32$ · $8 \cdot 2 = 16$ · $5 \cdot 4 = 20$ · $5{,}5 \cdot 8 = 44$

3. Calculamos el área total. $32 + 16 + 20 + 44 = 112$ , que es la cantidad total de datos.

4. Sumamos el área del tramo pedido. $16 + 20 = 36$ datos, que ocupan el tramo $[5; 11)$ .

5. Calculamos la proporción. $\dfrac{36}{112} \approx 0{,}3214$ , o sea el $32{,}14\%$ del área total.

6. Lo que no se puede hacer. Comparar alturas para responder esto. La barra más alta no es la que tiene más datos si su base es más angosta: lo que cuenta es el área.

Respuesta: El tramo $[5; 11)$ concentra el $32{,}14\%$ del área, que son $36$ datos

4. Un histograma de la duración de las baterías en horas tiene ocho clases de amplitud $10$ : $[10; 20) \to 19$ · $[20; 30) \to 7$ · $[30; 40) \to 5$ · $[40; 50) \to 18$ · $[50; 60) \to 3$ · $[60; 70) \to 11$ · $[70; 80) \to 7$ · $[80; 90) \to 22$ . Reagrupá los mismos datos en cuatro clases juntando las de a pares, dá las nuevas alturas y compará las dos figuras.

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1. Armamos las clases nuevas. Juntando de a dos, la amplitud pasa de $10$ a $20$ : $[10; 30)$ · $[30; 50)$ · $[50; 70)$ · $[70; 90)$ .

2. Sumamos las frecuencias de cada par. $19 + 7 = 26$ · $5 + 18 = 23$ · $3 + 11 = 14$ · $7 + 22 = 29$

3. Verificamos que no se perdió ni se agregó nada. $26 + 23 + 14 + 29 = 92$ , el mismo total que con ocho clases.

4. Comparamos las dos figuras. Con ocho clases la barra más alta era $[80; 90)$ , con $22$ datos. Con cuatro es $[70; 90)$ , con $29$ . Las subidas y bajadas chicas del primer histograma desaparecen: la figura queda más suave y con menos detalle.

5. Qué muestra esta comparación. El histograma no es un hecho de los datos, es una decisión sobre ellos. Los mismos números agrupados distinto dan figuras que se leen distinto, y por eso conviene probar más de un agrupamiento antes de concluir.

Respuesta: Cuatro clases de amplitud $20$ con alturas $26$ ; $23$ ; $14$ ; $29$ , mismo total $n = 92$

5. Se agrupó el gasto mensual en miles de pesos en cinco clases de igual amplitud: $[5; 9) \to 32$ · $[9; 13) \to 30$ · $[13; 17) \to 25$ · $[17; 21) \to 23$ · $[21; 25) \to 38$ . Dá la base y la altura de cada barra del histograma y verificá que las clases sean contiguas.

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1. Calculamos la amplitud de las clases. $a = 9 - 5 = 4$ miles de pesos, y es la misma en las cinco. Esa es la base de cada barra.

2. Con clases de igual amplitud, la altura es la frecuencia. $[5; 9)$ : altura $32$ · $[9; 13)$ : altura $30$ · $[13; 17)$ : altura $25$ · $[17; 21)$ : altura $23$ · $[21; 25)$ : altura $38$

3. Verificamos que las clases sean contiguas. El límite superior de cada una es el inferior de la siguiente: $9$ , $13$ , $17$ , $21$ . Por eso las barras van pegadas: entre el final de una clase y el comienzo de la otra no hay hueco.

4. Verificamos el total. $32 + 30 + 25 + 23 + 38 = 148$ observaciones.

5. Leemos el gráfico. La barra más alta es la de $[21; 25)$ , con $38$ datos, que son el $25{,}68\%$ del total.

6. El detalle que no es estético. Dejar espacio entre las barras convierte una variable continua en categorías y contradice el motivo por el que se armaron intervalos.

Respuesta: Base $4$ miles de pesos en las cinco. Alturas: $32$ ; $30$ ; $25$ ; $23$ ; $38$ . Total $n = 148$

6. Se agrupó el gasto mensual en miles de pesos en cuatro clases de distinta amplitud: $[0; 2) \to 36$ · $[2; 12) \to 38$ · $[12; 16) \to 52$ · $[16; 21) \to 18$ . Calculá la altura que corresponde a cada barra del histograma y decidí qué clase se ve más alta.

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1. Calculamos la amplitud de cada clase. $[0; 2)$ : $a_1 = 2$ · $[2; 12)$ : $a_2 = 10$ · $[12; 16)$ : $a_3 = 4$ · $[16; 21)$ : $a_4 = 5$ . No son iguales, así que la altura no puede ser la frecuencia.

2. Recordamos la regla. Con anchos distintos, lo que representa la frecuencia es el área de la barra, no su altura. Como el área es base por altura, la altura tiene que ser la frecuencia dividida por la amplitud.

3. Calculamos la densidad de frecuencia de cada clase. $\dfrac{36}{2} = 18$ · $\dfrac{38}{10} = 3{,}8$ · $\dfrac{52}{4} = 13$ · $\dfrac{18}{5} = 3{,}6$ , en datos por unidad de miles de pesos.

4. Vemos qué clase queda más alta. Con las densidades, la barra más alta es la de $[0; 2)$ , con $18$ . Si se hubiera usado la frecuencia como altura, la más alta habría parecido la de $[12; 16)$ , con $52$ datos.

5. Verificamos que las áreas devuelvan las frecuencias. $18 \cdot 2 = 36$ · $3{,}8 \cdot 10 = 38$ · $13 \cdot 4 = 52$ · $3{,}6 \cdot 5 = 18$ , y suman $n = 144$ .

6. Por qué importa. Una clase ancha junta muchos datos solo por ser ancha. Usar la frecuencia como altura hace que parezca que ahí se concentran, cuando en realidad están más desparramados.

Respuesta: Alturas (densidades): $18$ ; $3{,}8$ ; $13$ ; $3{,}6$ . La más alta es $[0; 2)$

7. En un histograma de el peso de las piezas en gramos con clases de distinta amplitud, las alturas dibujadas son las densidades de frecuencia: $[15; 23) \to 5{,}75$ · $[23; 27) \to 4{,}5$ · $[27; 32) \to 3{,}2$ · $[32; 34) \to 7$ . Calculá qué proporción del área total corresponde al tramo $[23; 32)$ y cuántos datos hay ahí.

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1. Recordamos qué significa el área en un histograma. El área de cada barra es base por altura, y con la densidad como altura ese producto devuelve la frecuencia de la clase. Por eso el área es la cantidad de datos.

2. Calculamos el área de cada barra. $5{,}75 \cdot 8 = 46$ · $4{,}5 \cdot 4 = 18$ · $3{,}2 \cdot 5 = 16$ · $7 \cdot 2 = 14$

3. Calculamos el área total. $46 + 18 + 16 + 14 = 94$ , que es la cantidad total de datos.

4. Sumamos el área del tramo pedido. $18 + 16 = 34$ datos, que ocupan el tramo $[23; 32)$ .

5. Calculamos la proporción. $\dfrac{34}{94} \approx 0{,}3617$ , o sea el $36{,}17\%$ del área total.

6. Lo que no se puede hacer. Comparar alturas para responder esto. La barra más alta no es la que tiene más datos si su base es más angosta: lo que cuenta es el área.

Respuesta: El tramo $[23; 32)$ concentra el $36{,}17\%$ del área, que son $34$ datos

8. Un histograma de el gasto mensual en miles de pesos tiene ocho clases de amplitud $10$ : $[10; 20) \to 7$ · $[20; 30) \to 24$ · $[30; 40) \to 6$ · $[40; 50) \to 18$ · $[50; 60) \to 20$ · $[60; 70) \to 14$ · $[70; 80) \to 17$ · $[80; 90) \to 4$ . Reagrupá los mismos datos en cuatro clases juntando las de a pares, dá las nuevas alturas y compará las dos figuras.

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1. Armamos las clases nuevas. Juntando de a dos, la amplitud pasa de $10$ a $20$ : $[10; 30)$ · $[30; 50)$ · $[50; 70)$ · $[70; 90)$ .

2. Sumamos las frecuencias de cada par. $7 + 24 = 31$ · $6 + 18 = 24$ · $20 + 14 = 34$ · $17 + 4 = 21$

3. Verificamos que no se perdió ni se agregó nada. $31 + 24 + 34 + 21 = 110$ , el mismo total que con ocho clases.

4. Comparamos las dos figuras. Con ocho clases la barra más alta era $[20; 30)$ , con $24$ datos. Con cuatro es $[50; 70)$ , con $34$ . Las subidas y bajadas chicas del primer histograma desaparecen: la figura queda más suave y con menos detalle.

5. Qué muestra esta comparación. El histograma no es un hecho de los datos, es una decisión sobre ellos. Los mismos números agrupados distinto dan figuras que se leen distinto, y por eso conviene probar más de un agrupamiento antes de concluir.

Respuesta: Cuatro clases de amplitud $20$ con alturas $31$ ; $24$ ; $34$ ; $21$ , mismo total $n = 110$

9. Se agrupó la duración de las baterías en horas en cinco clases de igual amplitud: $[15; 20) \to 27$ · $[20; 25) \to 7$ · $[25; 30) \to 28$ · $[30; 35) \to 32$ · $[35; 40) \to 13$ . Dá la base y la altura de cada barra del histograma y verificá que las clases sean contiguas.

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1. Calculamos la amplitud de las clases. $a = 20 - 15 = 5$ horas, y es la misma en las cinco. Esa es la base de cada barra.

2. Con clases de igual amplitud, la altura es la frecuencia. $[15; 20)$ : altura $27$ · $[20; 25)$ : altura $7$ · $[25; 30)$ : altura $28$ · $[30; 35)$ : altura $32$ · $[35; 40)$ : altura $13$

3. Verificamos que las clases sean contiguas. El límite superior de cada una es el inferior de la siguiente: $20$ , $25$ , $30$ , $35$ . Por eso las barras van pegadas: entre el final de una clase y el comienzo de la otra no hay hueco.

4. Verificamos el total. $27 + 7 + 28 + 32 + 13 = 107$ observaciones.

5. Leemos el gráfico. La barra más alta es la de $[30; 35)$ , con $32$ datos, que son el $29{,}91\%$ del total.

6. El detalle que no es estético. Dejar espacio entre las barras convierte una variable continua en categorías y contradice el motivo por el que se armaron intervalos.

Respuesta: Base $5$ horas en las cinco. Alturas: $27$ ; $7$ ; $28$ ; $32$ ; $13$ . Total $n = 107$

10. Se agrupó el tiempo de espera en minutos en cuatro clases de distinta amplitud: $[10; 12) \to 38$ · $[12; 22) \to 30$ · $[22; 27) \to 48$ · $[27; 31) \to 56$ . Calculá la altura que corresponde a cada barra del histograma y decidí qué clase se ve más alta.

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1. Calculamos la amplitud de cada clase. $[10; 12)$ : $a_1 = 2$ · $[12; 22)$ : $a_2 = 10$ · $[22; 27)$ : $a_3 = 5$ · $[27; 31)$ : $a_4 = 4$ . No son iguales, así que la altura no puede ser la frecuencia.

2. Recordamos la regla. Con anchos distintos, lo que representa la frecuencia es el área de la barra, no su altura. Como el área es base por altura, la altura tiene que ser la frecuencia dividida por la amplitud.

3. Calculamos la densidad de frecuencia de cada clase. $\dfrac{38}{2} = 19$ · $\dfrac{30}{10} = 3$ · $\dfrac{48}{5} = 9{,}6$ · $\dfrac{56}{4} = 14$ , en datos por unidad de minutos.

4. Vemos qué clase queda más alta. Con las densidades, la barra más alta es la de $[10; 12)$ , con $19$ . Si se hubiera usado la frecuencia como altura, la más alta habría parecido la de $[27; 31)$ , con $56$ datos.

5. Verificamos que las áreas devuelvan las frecuencias. $19 \cdot 2 = 38$ · $3 \cdot 10 = 30$ · $9{,}6 \cdot 5 = 48$ · $14 \cdot 4 = 56$ , y suman $n = 172$ .

6. Por qué importa. Una clase ancha junta muchos datos solo por ser ancha. Usar la frecuencia como altura hace que parezca que ahí se concentran, cuando en realidad están más desparramados.

Respuesta: Alturas (densidades): $19$ ; $3$ ; $9{,}6$ ; $14$ . La más alta es $[10; 12)$

11. En un histograma de el tiempo de espera en minutos con clases de distinta amplitud, las alturas dibujadas son las densidades de frecuencia: $[5; 13) \to 6{,}75$ · $[13; 18) \to 7{,}2$ · $[18; 20) \to 13$ · $[20; 24) \to 3{,}5$ . Calculá qué proporción del área total corresponde al tramo $[13; 20)$ y cuántos datos hay ahí.

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1. Recordamos qué significa el área en un histograma. El área de cada barra es base por altura, y con la densidad como altura ese producto devuelve la frecuencia de la clase. Por eso el área es la cantidad de datos.

2. Calculamos el área de cada barra. $6{,}75 \cdot 8 = 54$ · $7{,}2 \cdot 5 = 36$ · $13 \cdot 2 = 26$ · $3{,}5 \cdot 4 = 14$

3. Calculamos el área total. $54 + 36 + 26 + 14 = 130$ , que es la cantidad total de datos.

4. Sumamos el área del tramo pedido. $36 + 26 = 62$ datos, que ocupan el tramo $[13; 20)$ .

5. Calculamos la proporción. $\dfrac{62}{130} \approx 0{,}4769$ , o sea el $47{,}69\%$ del área total.

6. Lo que no se puede hacer. Comparar alturas para responder esto. La barra más alta no es la que tiene más datos si su base es más angosta: lo que cuenta es el área.

Respuesta: El tramo $[13; 20)$ concentra el $47{,}69\%$ del área, que son $62$ datos

12. Un histograma de el peso de las piezas en gramos tiene ocho clases de amplitud $2$ : $[0; 2) \to 15$ · $[2; 4) \to 18$ · $[4; 6) \to 21$ · $[6; 8) \to 16$ · $[8; 10) \to 23$ · $[10; 12) \to 10$ · $[12; 14) \to 14$ · $[14; 16) \to 15$ . Reagrupá los mismos datos en cuatro clases juntando las de a pares, dá las nuevas alturas y compará las dos figuras.

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1. Armamos las clases nuevas. Juntando de a dos, la amplitud pasa de $2$ a $4$ : $[0; 4)$ · $[4; 8)$ · $[8; 12)$ · $[12; 16)$ .

2. Sumamos las frecuencias de cada par. $15 + 18 = 33$ · $21 + 16 = 37$ · $23 + 10 = 33$ · $14 + 15 = 29$

3. Verificamos que no se perdió ni se agregó nada. $33 + 37 + 33 + 29 = 132$ , el mismo total que con ocho clases.

4. Comparamos las dos figuras. Con ocho clases la barra más alta era $[8; 10)$ , con $23$ datos. Con cuatro es $[4; 8)$ , con $37$ . Las subidas y bajadas chicas del primer histograma desaparecen: la figura queda más suave y con menos detalle.

5. Qué muestra esta comparación. El histograma no es un hecho de los datos, es una decisión sobre ellos. Los mismos números agrupados distinto dan figuras que se leen distinto, y por eso conviene probar más de un agrupamiento antes de concluir.

Respuesta: Cuatro clases de amplitud $4$ con alturas $33$ ; $37$ ; $33$ ; $29$ , mismo total $n = 132$