Rango, varianza y desvío estándar

Las medidas de dispersión dicen qué tan agrupados o esparcidos están los datos. Dos conjuntos pueden tener la misma media y ser completamente distintos.

El rango es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Es la más simple pero también la peor: depende solo de dos datos, justamente los más extremos.

La varianza mide el promedio de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media. Se elevan al cuadrado para que las diferencias negativas no se cancelen con las positivas.

El problema de la varianza es que sus unidades están elevadas al cuadrado, así que no se puede comparar directamente con los datos.

El desvío estándar resuelve eso: es la raíz de la varianza, y vuelve a las unidades originales.

Por eso el desvío es la medida de dispersión que se usa para interpretar, y la varianza la que se usa para operar, porque tiene mejores propiedades matemáticas.

Hay dos fórmulas según se trabaje con población o con muestra: la muestral divide por uno menos que la cantidad de datos, y esa corrección importa cuando la muestra es chica.

s^{2} = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}, \quad CV = \frac{s}{\bar{x}}

Cuándo se usa

Cuando hay que comparar la variabilidad de dos conjuntos. Usá el desvío para interpretar, porque está en las mismas unidades que los datos. Fijate si el ejercicio pide la versión poblacional o la muestral.

Ejemplo 1

Calcular la varianza y el desvío estándar muestral de: $4, 6, 8, 10, 12$ .

Calculamos la media. $(4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8$ .
Sumamos los desvíos al cuadrado. $16 + 4 + 4 + 16 = 40$ .
Dividimos por $n - 1 y$ sacamos raíz. $s^{2} = 40 / 4 = 10$ y $s = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ .
Respuesta: $s^{2} = 10$ , $s \approx 3{,}16$

Ejemplo 2

Un grupo de alturas tiene media $170$ cm y desvío $8$ cm. Un grupo de pesos tiene media $68$ kg y desvío $6$ kg. Determinar cuál está más disperso.

Vemos que los desvíos no son comparables. Uno está en centímetros y el otro en kilos: $8$ no es mayor que $6$ en ningún sentido útil.
Calculamos el coeficiente de variación de cada uno. $8 / 170 \approx 0{,}047$ y $6 / 68 \approx 0{,}088$ .
Comparamos. El de los pesos es casi el doble, así que los pesos están relativamente más dispersos que las alturas.
Respuesta: Los pesos, con CV $0{,}088$ contra $0{,}047$

Error típico

Olvidar la raíz al final y dar la varianza como si fuera el desvío. Son dos números distintos y el enunciado casi siempre pide el segundo, porque es el que se interpreta.

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