Método

Ejercicios: Rango, varianza y desvío estándar

s2=∑(xi−xˉ)2n−1,CV=sxˉs^{2} = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}, \quad CV = \frac{s}{\bar{x}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Se registraron las ventas diarias en unidades: 23;10;26;21;19;10;6;523; 10; 26; 21; 19; 10; 6; 5. Calculá el rango, la varianza muestral y el desvío estándar.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=26−5=21R = x_{\max} - x_{\min} = 26 - 5 = 21 unidades. Depende solo de dos datos, así que resume poco.

2. Calculamos la media, que es el centro desde el que se miden las distancias. xˉ=1208=15\bar{x} = \dfrac{120}{8} = 15

3. Calculamos las distancias a la media y las elevamos al cuadrado. (5−15)2=100(5 - 15)^2 = 100 · (6−15)2=81(6 - 15)^2 = 81 · (10−15)2=25(10 - 15)^2 = 25 · (10−15)2=25(10 - 15)^2 = 25 · (19−15)2=16(19 - 15)^2 = 16 · (21−15)2=36(21 - 15)^2 = 36 · (23−15)2=64(23 - 15)^2 = 64 · (26−15)2=121(26 - 15)^2 = 121. Se elevan al cuadrado para que las diferencias negativas no cancelen a las positivas.

4. Sumamos y dividimos por n−1n - 1. s2=16+25+25+36+64+81+100+1218−1=4687≈66,8571s^2 = \dfrac{16 + 25 + 25 + 36 + 64 + 81 + 100 + 121}{8 - 1} = \dfrac{468}{7} \approx 66{,}8571

5. Sacamos la raíz para volver a las unidades originales. s=66,8571≈8,1766s = \sqrt{66{,}8571} \approx 8{,}1766 unidades.

6. Por qué el desvío y no la varianza. La varianza está en unidades al cuadrado y no se puede interpretar. El desvío está en unidades, las mismas unidades que los datos, y por eso es el que se informa.

Respuesta: R=21R = 21, s2=66,8571s^2 = 66{,}8571 y s=8,1766s = 8{,}1766 unidades

2. Se registraron los pesos de las piezas en gramos: 18;29;21;18;7;34;23;1018; 29; 21; 18; 7; 34; 23; 10. Calculá la varianza y el desvío en su versión poblacional y en su versión muestral, y comparalos.

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1. Calculamos la media. xˉ=1608=20\bar{x} = \dfrac{160}{8} = 20

2. Sumamos los cuadrados de las distancias a la media. (7−20)2=169(7 - 20)^2 = 169 · (10−20)2=100(10 - 20)^2 = 100 · (18−20)2=4(18 - 20)^2 = 4 · (18−20)2=4(18 - 20)^2 = 4 · (21−20)2=1(21 - 20)^2 = 1 · (23−20)2=9(23 - 20)^2 = 9 · (29−20)2=81(29 - 20)^2 = 81 · (34−20)2=196(34 - 20)^2 = 196, y suman 564564. Hasta acá las dos versiones hacen exactamente lo mismo.

3. Versión poblacional: dividimos por nn. σ2=5648=70,5\sigma^2 = \dfrac{564}{8} = 70{,}5 y σ=8,3964\sigma = 8{,}3964 gramos.

4. Versión muestral: dividimos por n−1n - 1. s2=5647≈80,5714s^2 = \dfrac{564}{7} \approx 80{,}5714 y s=8,9762s = 8{,}9762 gramos.

5. Comparamos. La muestral siempre da más grande, porque se divide por un número menor. Acá la diferencia entre los desvíos es de 0,57970{,}5797 gramos, un 6,9%6{,}9\%.

6. Cuál usar. Si los 88 datos son toda la población, va la poblacional. Si son una muestra y se quiere estimar la dispersión de la población, va la muestral. La corrección importa cuando nn es chico y se vuelve despreciable cuando es grande.

Respuesta: Poblacional: σ2=70,5\sigma^2 = 70{,}5 y σ=8,3964\sigma = 8{,}3964. Muestral: s2=80,5714s^2 = 80{,}5714 y s=8,9762s = 8{,}9762 gramos

3. En un mismo estudio se midieron dos variables. Para el consumo, en kWh, la media fue 4545 kWh y el desvío 88 kWh. Para el gasto, en miles de pesos, la media fue 210210 miles de pesos y el desvío 2424 miles de pesos. Decidí cuál de las dos variables es más dispersa.

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1. Vemos por qué no alcanza con comparar los desvíos. 24>824 > 8, pero están en unidades distintas y sobre medias muy distintas. Un desvío de 2424 miles de pesos sobre una media de 210210 no significa lo mismo que uno de 88 kWh sobre 4545.

2. Usamos el coeficiente de variación, que es el desvío relativo a la media. CV=sxˉCV = \dfrac{s}{\bar{x}}. Es un cociente entre dos cantidades de la misma unidad, así que no tiene unidades y se puede comparar entre variables distintas.

3. Calculamos el de el consumo, en kWh. CV=845≈0,1778CV = \dfrac{8}{45} \approx 0{,}1778, o sea el 17,78%17{,}78\%.

4. Calculamos el de el gasto, en miles de pesos. CV=24210≈0,1143CV = \dfrac{24}{210} \approx 0{,}1143, o sea el 11,43%11{,}43\%.

5. Comparamos. 17,78%>11,43%17{,}78\% > 11{,}43\%, así que el consumo, en kWh es la variable relativamente más dispersa.

6. Cómo se lee el resultado. El CVCV dice cuánto pesa la dispersión frente al tamaño típico del dato. Un 17,78%17{,}78\% significa que el desvío es esa fracción de la media.

Respuesta: CV=0,1778CV = 0{,}1778 y CV=0,1143CV = 0{,}1143: es más dispersa el consumo, en kWh

4. Dos grupos registraron las ventas diarias en unidades. Grupo A: 18;12;20;14;14;1818; 12; 20; 14; 14; 18. Grupo B: 25;7;25;34;−2;725; 7; 25; 34; -2; 7. Calculá la media y el desvío estándar de cada uno y decidí cuál es más homogéneo.

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1. Calculamos las dos medias. Grupo A: xˉ=966=16\bar{x} = \dfrac{96}{6} = 16. Grupo B: xˉ=966=16\bar{x} = \dfrac{96}{6} = 16. Son iguales, así que la media sola no distingue a los dos grupos.

2. Calculamos la suma de cuadrados del grupo A. (12−16)2=16(12 - 16)^2 = 16 · (14−16)2=4(14 - 16)^2 = 4 · (14−16)2=4(14 - 16)^2 = 4 · (18−16)2=4(18 - 16)^2 = 4 · (18−16)2=4(18 - 16)^2 = 4 · (20−16)2=16(20 - 16)^2 = 16, que suman 4848.

3. Calculamos la del grupo B. (−2−16)2=324(-2 - 16)^2 = 324 · (7−16)2=81(7 - 16)^2 = 81 · (7−16)2=81(7 - 16)^2 = 81 · (25−16)2=81(25 - 16)^2 = 81 · (25−16)2=81(25 - 16)^2 = 81 · (34−16)2=324(34 - 16)^2 = 324, que suman 972972.

4. Calculamos los desvíos. sA=485≈3,0984s_A = \sqrt{\dfrac{48}{5}} \approx 3{,}0984 y sB=9725≈13,9427s_B = \sqrt{\dfrac{972}{5}} \approx 13{,}9427 unidades.

5. Decidimos. 3,0984<13,94273{,}0984 < 13{,}9427, así que el grupo A es más homogéneo: sus datos están más cerca de la media. El grupo B tiene el mismo centro pero mucho más desparramo.

6. Lo que muestra el ejercicio. Dos conjuntos con la misma media pueden ser completamente distintos. Informar el promedio sin una medida de dispersión al lado esconde exactamente esta diferencia.

Respuesta: Las dos medias valen 1616. sA=3,0984s_A = 3{,}0984 y sB=13,9427s_B = 13{,}9427: el grupo A es más homogéneo

5. Se registraron las temperaturas registradas en grados: 7;24;26;16;19;107; 24; 26; 16; 19; 10. Calculá el rango, la varianza muestral y el desvío estándar.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=26−7=19R = x_{\max} - x_{\min} = 26 - 7 = 19 grados. Depende solo de dos datos, así que resume poco.

2. Calculamos la media, que es el centro desde el que se miden las distancias. xˉ=1026=17\bar{x} = \dfrac{102}{6} = 17

3. Calculamos las distancias a la media y las elevamos al cuadrado. (7−17)2=100(7 - 17)^2 = 100 · (10−17)2=49(10 - 17)^2 = 49 · (16−17)2=1(16 - 17)^2 = 1 · (19−17)2=4(19 - 17)^2 = 4 · (24−17)2=49(24 - 17)^2 = 49 · (26−17)2=81(26 - 17)^2 = 81. Se elevan al cuadrado para que las diferencias negativas no cancelen a las positivas.

4. Sumamos y dividimos por n−1n - 1. s2=1+4+49+49+81+1006−1=2845=56,8s^2 = \dfrac{1 + 4 + 49 + 49 + 81 + 100}{6 - 1} = \dfrac{284}{5} = 56{,}8

5. Sacamos la raíz para volver a las unidades originales. s=56,8≈7,5366s = \sqrt{56{,}8} \approx 7{,}5366 grados.

6. Por qué el desvío y no la varianza. La varianza está en grados al cuadrado y no se puede interpretar. El desvío está en grados, las mismas unidades que los datos, y por eso es el que se informa.

Respuesta: R=19R = 19, s2=56,8s^2 = 56{,}8 y s=7,5366s = 7{,}5366 grados

6. Se registraron las notas de un grupo: 6;33;21;16;96; 33; 21; 16; 9. Calculá la varianza y el desvío en su versión poblacional y en su versión muestral, y comparalos.

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1. Calculamos la media. xˉ=855=17\bar{x} = \dfrac{85}{5} = 17

2. Sumamos los cuadrados de las distancias a la media. (6−17)2=121(6 - 17)^2 = 121 · (9−17)2=64(9 - 17)^2 = 64 · (16−17)2=1(16 - 17)^2 = 1 · (21−17)2=16(21 - 17)^2 = 16 · (33−17)2=256(33 - 17)^2 = 256, y suman 458458. Hasta acá las dos versiones hacen exactamente lo mismo.

3. Versión poblacional: dividimos por nn. σ2=4585=91,6\sigma^2 = \dfrac{458}{5} = 91{,}6 y σ=9,5708\sigma = 9{,}5708 puntos.

4. Versión muestral: dividimos por n−1n - 1. s2=4584=114,5s^2 = \dfrac{458}{4} = 114{,}5 y s=10,7005s = 10{,}7005 puntos.

5. Comparamos. La muestral siempre da más grande, porque se divide por un número menor. Acá la diferencia entre los desvíos es de 1,12971{,}1297 puntos, un 11,8%11{,}8\%.

6. Cuál usar. Si los 55 datos son toda la población, va la poblacional. Si son una muestra y se quiere estimar la dispersión de la población, va la muestral. La corrección importa cuando nn es chico y se vuelve despreciable cuando es grande.

Respuesta: Poblacional: σ2=91,6\sigma^2 = 91{,}6 y σ=9,5708\sigma = 9{,}5708. Muestral: s2=114,5s^2 = 114{,}5 y s=10,7005s = 10{,}7005 puntos

7. En un mismo estudio se midieron dos variables. Para los sueldos, en miles de pesos, la media fue 2525 miles de pesos y el desvío 44 miles de pesos. Para las edades, en años, la media fue 120120 años y el desvío 2828 años. Decidí cuál de las dos variables es más dispersa.

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1. Vemos por qué no alcanza con comparar los desvíos. 28>428 > 4, pero están en unidades distintas y sobre medias muy distintas. Un desvío de 2828 años sobre una media de 120120 no significa lo mismo que uno de 44 miles de pesos sobre 2525.

2. Usamos el coeficiente de variación, que es el desvío relativo a la media. CV=sxˉCV = \dfrac{s}{\bar{x}}. Es un cociente entre dos cantidades de la misma unidad, así que no tiene unidades y se puede comparar entre variables distintas.

3. Calculamos el de los sueldos, en miles de pesos. CV=425=0,16CV = \dfrac{4}{25} = 0{,}16, o sea el 16%16\%.

4. Calculamos el de las edades, en años. CV=28120≈0,2333CV = \dfrac{28}{120} \approx 0{,}2333, o sea el 23,33%23{,}33\%.

5. Comparamos. 23,33%>16%23{,}33\% > 16\%, así que las edades, en años es la variable relativamente más dispersa.

6. Cómo se lee el resultado. El CVCV dice cuánto pesa la dispersión frente al tamaño típico del dato. Un 23,33%23{,}33\% significa que el desvío es esa fracción de la media.

Respuesta: CV=0,16CV = 0{,}16 y CV=0,2333CV = 0{,}2333: es más dispersa las edades, en años

8. Dos grupos registraron los tiempos de armado en minutos. Grupo A: 27;29;23;27;23;2127; 29; 23; 27; 23; 21. Grupo B: 16;34;34;43;7;1616; 34; 34; 43; 7; 16. Calculá la media y el desvío estándar de cada uno y decidí cuál es más homogéneo.

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1. Calculamos las dos medias. Grupo A: xˉ=1506=25\bar{x} = \dfrac{150}{6} = 25. Grupo B: xˉ=1506=25\bar{x} = \dfrac{150}{6} = 25. Son iguales, así que la media sola no distingue a los dos grupos.

2. Calculamos la suma de cuadrados del grupo A. (21−25)2=16(21 - 25)^2 = 16 · (23−25)2=4(23 - 25)^2 = 4 · (23−25)2=4(23 - 25)^2 = 4 · (27−25)2=4(27 - 25)^2 = 4 · (27−25)2=4(27 - 25)^2 = 4 · (29−25)2=16(29 - 25)^2 = 16, que suman 4848.

3. Calculamos la del grupo B. (7−25)2=324(7 - 25)^2 = 324 · (16−25)2=81(16 - 25)^2 = 81 · (16−25)2=81(16 - 25)^2 = 81 · (34−25)2=81(34 - 25)^2 = 81 · (34−25)2=81(34 - 25)^2 = 81 · (43−25)2=324(43 - 25)^2 = 324, que suman 972972.

4. Calculamos los desvíos. sA=485≈3,0984s_A = \sqrt{\dfrac{48}{5}} \approx 3{,}0984 y sB=9725≈13,9427s_B = \sqrt{\dfrac{972}{5}} \approx 13{,}9427 minutos.

5. Decidimos. 3,0984<13,94273{,}0984 < 13{,}9427, así que el grupo A es más homogéneo: sus datos están más cerca de la media. El grupo B tiene el mismo centro pero mucho más desparramo.

6. Lo que muestra el ejercicio. Dos conjuntos con la misma media pueden ser completamente distintos. Informar el promedio sin una medida de dispersión al lado esconde exactamente esta diferencia.

Respuesta: Las dos medias valen 2525. sA=3,0984s_A = 3{,}0984 y sB=13,9427s_B = 13{,}9427: el grupo A es más homogéneo

9. Se registraron los tiempos de armado en minutos: 26;23;10;4;13;2026; 23; 10; 4; 13; 20. Calculá el rango, la varianza muestral y el desvío estándar.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=26−4=22R = x_{\max} - x_{\min} = 26 - 4 = 22 minutos. Depende solo de dos datos, así que resume poco.

2. Calculamos la media, que es el centro desde el que se miden las distancias. xˉ=966=16\bar{x} = \dfrac{96}{6} = 16

3. Calculamos las distancias a la media y las elevamos al cuadrado. (4−16)2=144(4 - 16)^2 = 144 · (10−16)2=36(10 - 16)^2 = 36 · (13−16)2=9(13 - 16)^2 = 9 · (20−16)2=16(20 - 16)^2 = 16 · (23−16)2=49(23 - 16)^2 = 49 · (26−16)2=100(26 - 16)^2 = 100. Se elevan al cuadrado para que las diferencias negativas no cancelen a las positivas.

4. Sumamos y dividimos por n−1n - 1. s2=9+16+36+49+100+1446−1=3545=70,8s^2 = \dfrac{9 + 16 + 36 + 49 + 100 + 144}{6 - 1} = \dfrac{354}{5} = 70{,}8

5. Sacamos la raíz para volver a las unidades originales. s=70,8≈8,4143s = \sqrt{70{,}8} \approx 8{,}4143 minutos.

6. Por qué el desvío y no la varianza. La varianza está en minutos al cuadrado y no se puede interpretar. El desvío está en minutos, las mismas unidades que los datos, y por eso es el que se informa.

Respuesta: R=22R = 22, s2=70,8s^2 = 70{,}8 y s=8,4143s = 8{,}4143 minutos

10. Se registraron las temperaturas registradas en grados: 10;13;9;20;19;1310; 13; 9; 20; 19; 13. Calculá la varianza y el desvío en su versión poblacional y en su versión muestral, y comparalos.

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1. Calculamos la media. xˉ=846=14\bar{x} = \dfrac{84}{6} = 14

2. Sumamos los cuadrados de las distancias a la media. (9−14)2=25(9 - 14)^2 = 25 · (10−14)2=16(10 - 14)^2 = 16 · (13−14)2=1(13 - 14)^2 = 1 · (13−14)2=1(13 - 14)^2 = 1 · (19−14)2=25(19 - 14)^2 = 25 · (20−14)2=36(20 - 14)^2 = 36, y suman 104104. Hasta acá las dos versiones hacen exactamente lo mismo.

3. Versión poblacional: dividimos por nn. σ2=1046≈17,3333\sigma^2 = \dfrac{104}{6} \approx 17{,}3333 y σ=4,1633\sigma = 4{,}1633 grados.

4. Versión muestral: dividimos por n−1n - 1. s2=1045=20,8s^2 = \dfrac{104}{5} = 20{,}8 y s=4,5607s = 4{,}5607 grados.

5. Comparamos. La muestral siempre da más grande, porque se divide por un número menor. Acá la diferencia entre los desvíos es de 0,39740{,}3974 grados, un 9,54%9{,}54\%.

6. Cuál usar. Si los 66 datos son toda la población, va la poblacional. Si son una muestra y se quiere estimar la dispersión de la población, va la muestral. La corrección importa cuando nn es chico y se vuelve despreciable cuando es grande.

Respuesta: Poblacional: σ2=17,3333\sigma^2 = 17{,}3333 y σ=4,1633\sigma = 4{,}1633. Muestral: s2=20,8s^2 = 20{,}8 y s=4,5607s = 4{,}5607 grados

11. En un mismo estudio se midieron dos variables. Para la altura de las plantas, en centímetros, la media fue 2525 cm y el desvío 77 cm. Para el peso de los frutos, en gramos, la media fue 350350 gramos y el desvío 3131 gramos. Decidí cuál de las dos variables es más dispersa.

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1. Vemos por qué no alcanza con comparar los desvíos. 31>731 > 7, pero están en unidades distintas y sobre medias muy distintas. Un desvío de 3131 gramos sobre una media de 350350 no significa lo mismo que uno de 77 cm sobre 2525.

2. Usamos el coeficiente de variación, que es el desvío relativo a la media. CV=sxˉCV = \dfrac{s}{\bar{x}}. Es un cociente entre dos cantidades de la misma unidad, así que no tiene unidades y se puede comparar entre variables distintas.

3. Calculamos el de la altura de las plantas, en centímetros. CV=725=0,28CV = \dfrac{7}{25} = 0{,}28, o sea el 28%28\%.

4. Calculamos el de el peso de los frutos, en gramos. CV=31350≈0,0886CV = \dfrac{31}{350} \approx 0{,}0886, o sea el 8,86%8{,}86\%.

5. Comparamos. 28%>8,86%28\% > 8{,}86\%, así que la altura de las plantas, en centímetros es la variable relativamente más dispersa.

6. Cómo se lee el resultado. El CVCV dice cuánto pesa la dispersión frente al tamaño típico del dato. Un 28%28\% significa que el desvío es esa fracción de la media.

Respuesta: CV=0,28CV = 0{,}28 y CV=0,0886CV = 0{,}0886: es más dispersa la altura de las plantas, en centímetros

12. Dos grupos registraron las temperaturas registradas en grados. Grupo A: 26;29;29;27;30;2726; 29; 29; 27; 30; 27. Grupo B: 20;36;36;20;44;1220; 36; 36; 20; 44; 12. Calculá la media y el desvío estándar de cada uno y decidí cuál es más homogéneo.

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1. Calculamos las dos medias. Grupo A: xˉ=1686=28\bar{x} = \dfrac{168}{6} = 28. Grupo B: xˉ=1686=28\bar{x} = \dfrac{168}{6} = 28. Son iguales, así que la media sola no distingue a los dos grupos.

2. Calculamos la suma de cuadrados del grupo A. (26−28)2=4(26 - 28)^2 = 4 · (27−28)2=1(27 - 28)^2 = 1 · (27−28)2=1(27 - 28)^2 = 1 · (29−28)2=1(29 - 28)^2 = 1 · (29−28)2=1(29 - 28)^2 = 1 · (30−28)2=4(30 - 28)^2 = 4, que suman 1212.

3. Calculamos la del grupo B. (12−28)2=256(12 - 28)^2 = 256 · (20−28)2=64(20 - 28)^2 = 64 · (20−28)2=64(20 - 28)^2 = 64 · (36−28)2=64(36 - 28)^2 = 64 · (36−28)2=64(36 - 28)^2 = 64 · (44−28)2=256(44 - 28)^2 = 256, que suman 768768.

4. Calculamos los desvíos. sA=125≈1,5492s_A = \sqrt{\dfrac{12}{5}} \approx 1{,}5492 y sB=7685≈12,3935s_B = \sqrt{\dfrac{768}{5}} \approx 12{,}3935 grados.

5. Decidimos. 1,5492<12,39351{,}5492 < 12{,}3935, así que el grupo A es más homogéneo: sus datos están más cerca de la media. El grupo B tiene el mismo centro pero mucho más desparramo.

6. Lo que muestra el ejercicio. Dos conjuntos con la misma media pueden ser completamente distintos. Informar el promedio sin una medida de dispersión al lado esconde exactamente esta diferencia.

Respuesta: Las dos medias valen 2828. sA=1,5492s_A = 1{,}5492 y sB=12,3935s_B = 12{,}3935: el grupo A es más homogéneo

Integradores de Estadística descriptiva y conteo: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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